广东省广州市2012-2013学年高二数学上学期期中考试试题 理 新人教A版

广州市铁一中学2012学年第一学期期中
高二数学（理科）试题
第I 卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1已知}6,5,4,3,2,1{},5,4,3{},6,4,2,1{===U B A 求=B A C u ( ) A 、}6,5,4,3,2,1{ B }6,4,2,1{ C 、}5,4,2{ D 、}5,4,3{
2．已知向量a 与向量b 的夹角为120°，若向量c=a+b ，且a ⊥c ，则
|
||
|b a 的值为（ ） A ．
2
1 B ．
3
3
2 C ．2
D ．3
3．已知)4
tan(,54sin ),0,2(π
ααπ
α+-=-∈则等于 （ ）
A ．－7
B ．－71
C ．7
1
D ．7
4．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的
体积是 （ ） A ．27 B ．30 C ．33 D ．36
5．有编号分别是1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的球的编
号互不相同的概率为 （ ）
A ．
21
5
B ．
7
2 C ．
3
1 D ．
21
8 6．对于实数x ，符号[x]表示不超过x 的最大整数，例如2]08.1[,3][-=-=π，定义函数
{x}][x x -=，则下列命题中正确的是
（ ）
A ．函数}{x 的最大值为1
B ．函数2
1
}{)(-=x x G 有且仅有一个零点 C ．函数}{x 是周期函数 D ．函数}{x 是增函数
7、已知实数,x y 满足235230x y x y y +≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，则3x y +的最大值是（ ）
A .
52 B .3 C . 4 D .92
8、在各项均不为零的等差．．
数列{}n a 中，若2
110(2)n n n a a a n +--+=≥，则214n S n --=（ ）
A .－2
B .0
C .1
D .2
9．如图，从双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左焦点F 引圆222a y x =+的切线，切点
为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则
a b MT MO --与||||的大小关系为（ ）
A ．a b MT MO ->-||||
B ．a b MT MO -=-||||
C ．a b MT MO -<-||||
D ．大小关系不确定
网
10、函数()y f x =是定义在[,]a b 上的增函数，其中,a b R ∈，且0b a <<-，已知()y f x =无零点，设函数2
2
()()()F x f x f x =+-，对于()F x 有如下四个说法：①定义域是
[,]b b -；②是偶函数；③最小值是0；④在定义域内单调递增；其中正确说法的个数有
A .4个
B .3个
C .2个
D .1个
第II 卷（共100分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在题中的横线上.
11、已知向量
向量(2,1)b y x =--，若a ∥b ，则22
x y += .网 12．已知一三角形ABC 用斜二测画法画出的直观图是面积为
3的正三角形C B A '''(如图)，则三角形ABC 中边长与
正三角形C B A '''的边长相等的边上的高为_______
y ’
A ’
B ’
C ’
O ’ 1 2 0.5 1
x
y
z
(1,2)a x y =--
A
B
E
13、在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差
数列，每一纵列成等比数列，那么，x y z ++的值为 . 14已知函数f(x) =
13
21---x x 的零点有四个x 1
、x 2
、x 3
、x 4
，则
f(x 1+x 2+ x 3+x 4)=_______.
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足
C b B c a cos cos )2(=-．
（Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）设)1,1(),1,(sin -==n A m ，求n m ⋅的最小值．
16. (本小题满分12分) 某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.
（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？ （3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率？
17．（本题满分14分） 如图5，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，
△ACD 为等边三角形，2AD DE AB ==，F 为CD 的中点．
组号 分组 频数 频率
第1组 [)165,160 5 0.050
第2组 [)170,165 ① 0.350
第3组 [)175,170 30 ② 第4组 [)180,175 20 0.200
第5组 [180,185] 10 0.100 合计 100 1.00
x ’
A
C （1）求证：//AF 平面BCE ； （2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ；
18、（本题14分）如图，公园有一块边长为2的等边△ABC 的边角地，现修成草坪，图中DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上. （1）设AD ＝x ，DE ＝y ，求y 关于x 的函数关系式； （2）如果DE 是灌溉水管，我们希望它最短，DE 的位置应在哪 里？请予证明. 19、（本题14分）
已知数列{}n a 满足12a =， . （1）求证数列 是等比数列，并求其通项公式； （2）设n
n a b n
=
，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （3）设n n
n
c a =，求证：123710n c c c c +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<.
20．（本小题满分14分）过双曲线2x 2-y 2
=1上一点A (1,1)作两条动弦AB , AC ,且直线AB , AC 的斜率的乘积为3.
(1)问直线BC 是否可与坐标轴垂直?若可与坐标轴垂直,求直线BC 的方程,若不与坐标轴垂直,试说明理由.
(2)证明直线BC 过定点.
四、附加题：（一班学生做，满分20分）
对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[],m n D ⊆，同时满足下列条件：①()
f x 21
1
2(1)()n n a a n N n
++=+⋅∈2{}n a
n
在[],m n 内是单调的；②当定义域是[],m n 时，()f x 的值域也是[],m n 时，则称[],m n 是该函数的“和谐区间”。

（1） 判断函数4
3y x
=-是否存在“和谐区间”，并说明理由； （2） 如果[]
,m n 是函数()()2
210a a x y a a x
+-=
≠的一个
“和谐区间”，求n m -的最大值； （3） 有些函数有无数个“和谐区间”，如y x =，请你再举一类（无需证明）
广州市铁一中学2012学年高二期中考
数学试题（理科）答案
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11． 5 12、62
13、 1 ；14、 19 ；
三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分12分） 解：（I ）由正弦定理
R B
b C
c A a 2sin sin sin ===，有
A R a sin 2=，
B R b sin 2=，
C R c sin 2=
代入(2a －c)cosB=bcosC ，得（2sinA －sinC ）cosB=sinBcosC.……………………………4分
即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)
∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA.…………………………………………6分 ∵0<A<π,∴sinA ≠0. ∴cosB=
2
1
.…………………………………………………………………7分 ∵0<B<π，∴B=
3
π
.…………………………………………………………8分 （II ）n m ⋅=－sinA+1 ……………………………………10分
由B=
3π得A ∈（0，3
2π） ……………………………………11分 所以，当2
π
=A 时，n m ⋅取得最小值0．………………………………12分
16．（本题满分12分） 解：（1）由题可知，第2组的频数为0.3510035⨯=人, …………… 1分 第3组的频率为
30
0.300100
=, ………2分 频率分布直方图如右:
………………………… 5分
（2）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60 名学生中抽取6名学生,每组分别为:
第3组:
30
6360⨯=人, ………… 6分 第4组:20
6260⨯=人, ………… 7分 第5组:10
6160
⨯=人, ………… 8分 所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人。

（3）设第3组的3位同学为123,,A A A ,第4组的2位同学为12,B B ,第5组的1位同学为1C , 则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下: 12(,)A A ，13(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，
11(,)A C ，23(,),A A 21(,),A B 22(,),A B 21(,),A C 31(,),A B 32(,),A B 31(,),A C 12(,),B B 11(,),B C 21(,),B C …………………………………………………………………………10分
其中第4组的2位同学为12,B B 至少有一位同学入选的有: 11(,),A B 12(,),A B
21(,),A B 22(,),A B 31(,),A B 12(,),B B 32(,),A B 11(,),B C 21(,),B C 9中可能, …………11分
所以其中第4组的2位同学为12,B B 至少有一位同学入选的概率为93
155
=…………12分 17．（本题满分14分）
证明：(1) 证：取CE 的中点G ，连结FG BG 、．
∵F 为CD 的中点， ∴//GF DE 且1
2
GF DE =
． ∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴//AB DE ，∴//GF AB ．
又1
2
AB DE =
，∴GF AB =． ………… 4分 ∴四边形GFAB 为平行四边形，则//AF BG ． ∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ，
∴//AF 平面BCE ． ………… 7分 （2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ；
证：∵ACD ∆为等边三角形，F 为CD 的中点， ∴AF CD ⊥ ∵DE ⊥平面ACD ， ………… 9分
AF ⊂平面ACD ，∴DE AF ⊥．
又CD
DE D =，故AF ⊥平面CDE ．………… 11分
∵//BG AF ，∴BG ⊥平面CDE ． ∵BG ⊂平面BCE ， ∴平面BCE ⊥平面CDE ． …………14分
18．（本题满分14分）
解：（1）在△ADE 中，y 2＝x 2＋AE 2－2x ·AE·cos60°⇒y 2＝x 2＋AE 2－x ·AE,①
又S △ADE ＝ S △ABC ＝ x ·AE·sin60°⇒x ·AE＝2.②
②代入①得y 2
＝x 2
＋
－2（y ＞0）, ∴y
又x ≤2，若1x <， ，矛盾，所以x ≥
121
222
()x 2
2AE x
=>
∴y
（1≤x ≤2）. （2）如果DE 是水管y
=当且仅当x 2
＝24x
故DE ∥ BC ，且DE ＝2.
19．（本题满分14分）
解：（1）12a =，2*11
2(1)()n n a a n N n
+=+⋅∈ （3）102n n n n c a n ==
>⋅ 122
2(1)n n a a n n +∴=⋅+，*n N ∈2{}n a n ∴为等比数列 设123n n T c c c c =++++，则1234T T T T <<< 12122
2221
n n n n n a a a n n -∴=⋅=∴=⋅ 当n ≥4时， （2）2n n n a b n n ==⋅ 23411111
122232422n n
T n =+++++⋅⋅⋅⋅⋅ 12312341122232(1)222122232(1)22n n
n n n n S n n S n n -+∴=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+-⋅+⋅ 45
111111128244222n ⎡⎤
<+++⋅+++⎢⎥⎣⎦
12311122222222n n n n n S n n +++∴-=+++
+-⋅=--⋅
341
11()2122134
12
n -⎡
⎤-⎢⎥⎣⎦=+⋅-3
21111()34422n =+⋅-⋅
1(1)22n n S n +∴=-⋅+ 321121217
3433233010
2<+⋅=+<+=
综上：1237
10
n c c c c ++++<
20．（本题满分14分）
解:令B (x 1, y 1),C (x 2, y 2).
(1)当BC 与x 轴垂直时,有x 1=x 2, y 1= -y 2,
故:3=112
12
1212111111)1(2)1()1(2)1(11111x x x x x y x y x y -+=--=--=---⋅--⇒x 1=51
,与|x 1|≥22矛盾.因此AB 不与x 轴垂直.. 3分
当BC 与y 轴垂直时,有x 1= -x 2, y 1= y 2,
故:3=1
12121212
111111)1(21)1(21)1(1111y y y y x y x y x y +-=--=--=---⋅--⇒y 1= -51.因此AB 可与y 轴垂直, 此时AB 的方程为y= -5
1
. 5分
(2)当BC 不与坐标轴垂直时,k AB ·k AC =
1
1
112211--⋅--x y x y =3, 故3(x 1-1)(x 2-1)=(y 1-1)(y 2-1). ………① .............. 6分
令BC : y=kx+b ,代入双曲线方程有: 2x 2-(kx+b )2=1⇔(2-k 2)x 2-2kbx -b 2
-1=0.………② x 1,x 2是方程②的两个实根. 令f (x )= (2-k 2)x 2-2kbx -b 2-1, 则(x 1-1)(x 2-1)=
2
222
21
222)1(k
b kb k k
f -----=
-. ③ ……………….. 8分
直线方程又可写成:x=
k
b y -, 代入2x 2-y 2=1,有: 2(y -b )2-k 2y 2=k 2
, 整理得:(2-k 2
)y 2
-4by+2b 2
-k 2
=0.…④
y 1,y 2是方程④的两个实根. 令g (y )= (2-k 2)y 2-4by+2b 2-k 2. (y 1-1)(y 2-1)= .224222)1(2
2
22
k b b k k g -+--=
- …⑤ ………………10分 ③,⑤两式代入
①式,有:
,224222)
21(32
2
22
22k b b k k b kb k -+--=
---- 故3[1-(k+b )2
]=2[(b -1)2
-k 2
],
从而:3(1-k -b )(1+k+b )=2(b -1-k )(b -1+k ). ……⑥
因为点A (1,1)不在直线y=kx+b 上,故k+b ≠1. 利用⑥,可知: 3 (1+k+b )+ 2(b -1-k )=0, 即k+5b+1=0⇔.5151b k +⋅=- 因此直线AB 过定点M ⎪⎭
⎫
⎝⎛-51,51.直线y=-51也过定点M .
综上所述,直线AB 恒过定点M ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-51,51
. …………… 14分 附加题：（一班学生做，满分20分） 解（1）设[],m n 是函数43y x =-
的“和谐区间”，则43y x
=-在[],m n 上单调。

所以[](),,0m n ⊆-∞或[](),0,m n ⊆+∞
因此，4
3y x
=-在[],m n 上为增函数。

则()f m m =，()f n n =。

即方程4
3x x
-=有两个解,m n
又43x x
-=可化为2340x x -+=，而2
340x x -+=无实数解。

所以，函数4
3y x
=-不存在“和谐区间”
（2）因为()
()2
22111
a a x a f x a x
a a x
+-+=
=
-在[],m n 上是单调的， 所以[](),,0m n ⊆-∞或[](),0,m n ⊆+∞
则()f m m =，()f n n = 所以,m n 是
211
a x a a x
+-=的两个同号的实数根 即方程()
22
10a x a a x -++=有两个同号的实数根，注意到2
1
0mn a =
> 只要(
)
2
2
240a a
a ∆=+->，解得1a >或3a <-
所以n m -====
其中1a >或3a <-，所以，当3a =时，n m -（3），答案不唯一，如可写出以下函数：y a x =-(a 为常数），
k
y x
=(k o >为常数）。