2016-2017学年高中数学人教A版选修2-1 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1

学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．方程x22＋m －y2
2－m ＝1表示双曲线，则m 的取值范围为( )
A ．－2＜m ＜2
B ．m ＞0
C ．m ≥0
D ．|m |≥2
【解析】 ∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m )(2－m )＞0.∴－2＜m ＜2.
【答案】 A
2．设动点P 到A (－5，0)的距离与它到B (5，0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( )
A.x29－y216＝1
B.y29－x216＝1
C.x29－y2
16＝1(x ≤－3)
D.x29－y2
16＝1(x ≥3)
【解析】 由题意知，轨迹应为以A (－5，0)，B (5，0)为焦点的双曲线的右支．由c ＝5，a ＝3，知b 2＝16，
∴P 点的轨迹方程为x29－y2
16＝1(x ≥3)． 【答案】 D
3．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲
线的方程为( )
A.x22－y23＝1
B.x23－y22＝1
C.x24－y 2
＝1 D ．x 2
－y2
4＝1
【解析】
由⎩⎨
⎧|PF1|·
|PF2|＝2，|PF1|2＋|PF2|2＝（2
5）2，
⇒(|PF 1|－|PF 2|)2＝16，
即2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝5，所以b ＝1，故选C. 【答案】 C
4．已知椭圆方程x24＋y2
3＝1，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为( )
A.2
B.3 C ．2
D ．3
【解析】 椭圆的焦点为(1，0)，顶点为(2，0)，即双曲线中a ＝1，c ＝2，所以双曲线的离心率为e ＝c a ＝2
1＝2.
【答案】 C
5．若k ＞1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( )
A ．焦点在x 轴上的椭圆
B ．焦点在y 轴上的椭圆
C ．焦点在y 轴上的双曲线
D ．焦点在x 轴上的双曲线
【解析】 原方程化为标准方程为x2k2－11－k
＋y
k2－1
＝1，
∵k ＞1，∴1－k ＜0，k 2－1＞0， ∴此曲线表示焦点在y 轴上的双曲线． 【答案】 C 二、填空题
6．设点P 是双曲线x29－y2
16＝1上任意一点，F 1，F 2分别是其左、右焦点，若|PF 1|＝10，则|PF 2|＝________．
【解析】 由双曲线的标准方程得a ＝3，b ＝4. 于是c ＝a2＋b2＝5. (1)若点P 在双曲线的左支上，
则|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，∴|PF 2|＝6＋|PF 1|＝16； (2)若点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝6， ∴|PF 2|＝|PF 1|－6＝10－6＝4. 综上，|PF 2|＝16或4. 【答案】 16或4
7．已知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，满足条件|PF 1|－|PF 2|＝2m －1的动点P 的轨迹是双曲线的一支，则m 可以是下列数据中的________．(填序号)
①2；②－1；③4；④－3.
【解析】 设双曲线的方程为x2a2－y2
b2＝1，则c ＝3，∵2a <2c ＝6，∴|2m －1|<6，且|2m －1|≠0，∴－52<m <72，且m ≠1
2，∴①②满足条件．
【答案】 ①②
8．已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线C ：x216－y2
9＝1的左、右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则|sin A －sin B|
sin P 的值等于________. 【导学号：18490058】
【解析】 由方程x216－y2
9＝1知a 2＝16，b 2＝9，即a ＝4，c ＝16＋9＝5.
在△ABP 中，利用正弦定理和双曲线的定义知，|sin A －sin B|sin P ＝||PB|－|P A|||AB|
＝2a 2c ＝2×42×5＝4
5. 【答案】 45 三、解答题
9．求与双曲线x24－y2
2＝1有相同焦点且过点P (2，1)的双曲线的方程．
【解】 ∵双曲线x24－y2
2＝1的焦点在x 轴上． 依题意，设所求双曲线为x2a2－y2
b2＝1(a >0，b >0)．
又两曲线有相同的焦点， ∴a 2＋b 2＝c 2＝4＋2＝6.
①
又点P (2，1)在双曲线x2a2－y2
b2＝1上， ∴4a2－1
b2＝1.
②
由①②联立得a 2＝b 2＝3， 故所求双曲线方程为x23－y2
3＝1.
10．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值分别指出方程所表示的曲线类型．
【解】 (1)当k ＝0时，y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线； (2)当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；
(3)当k ＜0时，方程为y24－x2
－4k
＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线；
(4)当0＜k ＜1时，方程为x24k ＋y2
4＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；
(5)当k ＞1时，方程为x24k
＋y2
4＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．
[能力提升]
1．椭圆x24＋y2a2＝1与双曲线x2a －y2
2＝1有相同的焦点，则a 的值为( )
A．1 B.2
C．2D．3
【解析】由题意知椭圆、双曲线的焦点在x轴上，且
a>0.∵4－a2＝a＋2，∴a2＋a－2＝0，
∴a＝1或a＝－2(舍去)．故选A.
【答案】 A
2．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在双曲线C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于()
A．2 B．4
C．6 D．8
【解析】不妨设P是双曲线右支上一点，
在双曲线x2－y2＝1中，a＝1，b＝1，c＝2，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，|F1F2|＝22，
∵|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，
∴8＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·1
2
，
∴8＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
∴8＝4＋|PF1||PF2|，
∴|PF1||PF2|＝4.故选B.
【答案】 B
3．已知双曲线x2
16－y2
25＝1的左焦点为F，点P为双曲线右支上的
一点，且PF与圆x2＋y2＝16相切于点N，M为线段PF的中点，O为
坐标原点，则|MN |－|MO |＝________．
【解析】 设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′(图略)，因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以|MO |＝1
2|PF ′|，又|FN |＝
|OF|2－|ON|2＝
5，由双曲线的定义知|PF |－|PF ′|＝8，故|MN |－|MO |＝|MF |－|FN |－1
2|PF ′|＝12(|PF |－|PF ′|)－|FN |＝1
2×8－5＝－1.
【答案】 －1
4．已知双曲线x216－y2
4＝1的两焦点为F 1，F 2.
(1)若点M 在双曲线上，且MF1→·MF2→＝0，求点M 到x 轴的距离； 【导学号：18490059】
(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程．
【解】 (1)不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，MF1
→·MF2→＝0， 则MF 1⊥MF 2， 设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，
由双曲线定义知，m －n ＝2a ＝8， ① 又m 2＋n 2＝(2c )2＝80，
②
由①②得m ·n ＝8，
∴12mn ＝4＝12|F 1F 2|·h ，∴h ＝25
5.
(2)设所求双曲线C 的方程为 x216－λ－y2
4＋λ
＝1(－4<λ<16)， 由于双曲线C 过点(32，2)， 所以1816－λ－44＋λ＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴所求双曲线C 的方程为x212－y2
8＝1.。