【瀚海导航】高考数学总复习第十单元 第三节 圆的方程课件
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或三个点时，常选用圆的一般方程． 2．解答与圆有关的问题，应注意数形结合，充
分运用圆的几何性质，以简化运算
3．在讨论含有字母参数度量的圆的方程问题时，始终要把 “方程表示圆的条件”作为首要条件．
4．点与圆的位置关系有三种情况：点在圆内、点在圆上、点
在圆外，其判断方法是看点到圆心的距离d与圆半径r的关 系：d<r时，点在圆内；d＝r时，点在圆上；d>r时，点在
(1)求实数b的取值范围； (2)求圆C的方程．
分析 抛物线，圆与坐标轴有共同的交点，充分利用这一
条件，把所求与已知联系起来．
解 (1)令x＝0，得抛物线与y轴交点是(0，b)；
令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0， 由题意得b≠0且Δ＝4－4b>0，解得b<1且b≠0.6分
(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程， 故D＝2，F＝b.9分 令x＝0，得y2＋Ey＋b＝0. 此方程有一个根为b，代入得出E＝－b－1. ∴圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.12分
规律总结 求圆的方程一般用待定系数法，同时要注意运
用几何法，即通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．运用 待定系数法要视不同条件灵活选择两种形式，若已知条件与 圆的圆心和半径有关可设圆的标准方程；若已知条件没有明 确给出圆的圆心和半径，可选择圆的一般方程．常用的圆的 几个性质：
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任 一弦的中垂线上；(3)弦心距、半径、一半弦长所构成直角 三角形；(4)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共 线．
整理得
＝1.
所以点M的轨迹是以 为圆心，半径为1的圆．
规律总结 (1)本例中M、A是相关动点，M、A、B三者存
在着不变的关系，抓住该关系可以实现动点M、A的坐标间
的转化．
(2)一般地，设点时，动点设为(x，y)，相关点设为(x0， y0)，并将(x0，y0)用(x，y)表示出来，代入(x0，y0)满足
第三节 圆的方程
求圆的方程
求经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直 线2x－y－3＝0上的圆的方程．
分析 因为条件只与圆心有直接关系，无需利用半径列
方程，因此可设圆的标准方程，也可设一般方程．
解 方法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
故圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
规律总结 (1)本题的求解关键是方程的转换，其依据
是圆，抛物线有共同的交点这一条件，充分利用这个条 件．
(2)数学综合问题的求解，就是如何将未知与已知联 系起来，联系的过程就是问题的解法．
变式训练4 在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与
直线x－y－4＝0相切．
(1)求圆的方程；
(2)圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使|PA|、
(1)求 的最大值和最小值；
(2)求y－x的最小值； (3)求x2＋y2的最大值和最小值．
分析 方程x2＋y2－4x＋1＝0表示圆心为(2,0)，半径为
的圆． 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率；
y－x可以看作直线y＝x＋b在y轴上的截距； x2＋y2是圆上一点与坐标原点距离的平方．
故上述问题可借助于平面几何知识，利用数形结合解决．
y0)·(2－x0，－y0)＝(x02－4)＋y02＝2x02－6.又点P 在圆内，∴x02＋y02<4. ∴2≤x02<3,
1．三个独立条件确定一个圆．待定系数法是求 圆的方程的基本方法，应熟练掌握．如果由已知条 件容易求得圆心坐标、半径或需要用圆心坐标列方 程，常选用圆的标准方程；如果已知圆经过某两个
得∴圆心坐标为(1，－4)，
∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
与圆相关的轨迹问题
已知线段AB的端点B的坐标是 (4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上 运动，求线段AB的中点M的轨迹方
程．
•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/152022/1/15January 15, 2022 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/152022/1/152022/1/151/15/2022 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/152022/1/15
的关系式．
变式训练2
已知如图，圆O1和圆O2的半径都是1，O1O2＝4，过 动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切 点)，使得|PM|＝|PN|，试建立适当的坐标系，并求动 点P的轨迹方程．
【解析】 以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x
轴，建立如图所示的直角坐标系，则O1(－2,0),O2(2,0)．
|PO|、|PB|成等比数列，求 PA PB 的取值范围．
【解析】 (1)设圆的方程为x2＋y2＝r2，
由平面几何知识得 ∴圆的方程是x2＋y2＝4.
(2)由(1)知A(－2,0)，B(2,0)，设P(x0，y0)，
又|PA|，|PO|，|PB|成等比数列， ∴PO2＝|PA|·|PB|，
整理得y02＝x02－2. ＝(－2－x0，－
|MQ|的最大值为|QC|＋r＝
最小值|QC|－r＝
(2)
的几何意义是圆上任一点M(x，y)与A(－2,3)的连线的
斜率，由平面几何知识可知，当过A点的直线与圆相切时，v取最
值，设过A点的切线斜率为k，则切线方程为y－3＝k(x＋2)，即
kx－y＋2k＋3＝0
圆方程的综合应用问题
(12分)在平面直角坐标系XOy中，设二次函数f(X) ＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点， 经过这三个交点的圆记为C.
原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．而圆心 到原点的距离为2，圆的半径为.
规律总结 涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性质，
利用数形结合求解，一般地：
(1)形如 值问题．
的最值问题，可转化为直线斜率的最
(2)形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为直线截距的最
值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点到
由已知
得|PM|2＝2|PN|2.
因为两圆半径均为1，
所以|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)． 设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]， 即(x－6)2＋y2＝33， 所以所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.
与圆有关的最值问题
已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
解 原方程化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，半径为的
圆．
(1)设 ＝k，即y＝kx，当直线和圆相切时，斜率k取得最值，此时
有
解得
(2)设y－x＝b，即y＝x＋b，当y＝x＋b与圆相切时，直线在y轴上
的截距取得最大值和最小值，
(3)x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识可知：
定点距离平方的最值问题．
变式训练3
已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，
(1)若M是圆C上任一点，Q(－2,3)，求|MQ|的最大值与最小
值．
(2)求
的最大值．
【解析】 (1)圆方程可化为(x－2)2＋(y－7)2＝(2
C(2,7)，半径r＝2 2 . 所以|QC|＝
)2.圆心
2
由平面几何知识可知
•
分析 动点M的轨迹与点A的位置变化有关，因此可以
把点A的坐标用点M的坐标表示出来，再代入点A所满足的方 程求得点M的轨迹方程．
解 设点M的坐标为(x，y)，点A(x0，y0)．
因为M是线段AB的中点，且B(4,3)，
①
又点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，
所以(x0＋1)2＋y02＝4.② 把①代入②，得(2x－4＋1)2＋(2y－3)2＝4，
圆外．
详 见 Word 文 档 “课时作业”
方法二：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 故所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0.
方法三：∵圆过A(5,2)，B(3,－2)两点， ∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上，线段AB的垂直平分线方
程为设所求圆的圆心坐标来自C(a，b)，则有∴C(2,1)， ∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
变式训练1 已知圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x
＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，求圆的方程．
【解析】 方法一：设所求的圆的方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
解方程组，得
故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
方法二： 由于圆心在直线y＝－4x上，又在过切点P与切线x ＋y－1＝0垂直的直线y＋2＝x－3即x－y－5＝0上，
分运用圆的几何性质，以简化运算
3．在讨论含有字母参数度量的圆的方程问题时，始终要把 “方程表示圆的条件”作为首要条件．
4．点与圆的位置关系有三种情况：点在圆内、点在圆上、点
在圆外，其判断方法是看点到圆心的距离d与圆半径r的关 系：d<r时，点在圆内；d＝r时，点在圆上；d>r时，点在
(1)求实数b的取值范围； (2)求圆C的方程．
分析 抛物线，圆与坐标轴有共同的交点，充分利用这一
条件，把所求与已知联系起来．
解 (1)令x＝0，得抛物线与y轴交点是(0，b)；
令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0， 由题意得b≠0且Δ＝4－4b>0，解得b<1且b≠0.6分
(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程， 故D＝2，F＝b.9分 令x＝0，得y2＋Ey＋b＝0. 此方程有一个根为b，代入得出E＝－b－1. ∴圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.12分
规律总结 求圆的方程一般用待定系数法，同时要注意运
用几何法，即通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．运用 待定系数法要视不同条件灵活选择两种形式，若已知条件与 圆的圆心和半径有关可设圆的标准方程；若已知条件没有明 确给出圆的圆心和半径，可选择圆的一般方程．常用的圆的 几个性质：
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任 一弦的中垂线上；(3)弦心距、半径、一半弦长所构成直角 三角形；(4)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共 线．
整理得
＝1.
所以点M的轨迹是以 为圆心，半径为1的圆．
规律总结 (1)本例中M、A是相关动点，M、A、B三者存
在着不变的关系，抓住该关系可以实现动点M、A的坐标间
的转化．
(2)一般地，设点时，动点设为(x，y)，相关点设为(x0， y0)，并将(x0，y0)用(x，y)表示出来，代入(x0，y0)满足
第三节 圆的方程
求圆的方程
求经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直 线2x－y－3＝0上的圆的方程．
分析 因为条件只与圆心有直接关系，无需利用半径列
方程，因此可设圆的标准方程，也可设一般方程．
解 方法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
故圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
规律总结 (1)本题的求解关键是方程的转换，其依据
是圆，抛物线有共同的交点这一条件，充分利用这个条 件．
(2)数学综合问题的求解，就是如何将未知与已知联 系起来，联系的过程就是问题的解法．
变式训练4 在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与
直线x－y－4＝0相切．
(1)求圆的方程；
(2)圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使|PA|、
(1)求 的最大值和最小值；
(2)求y－x的最小值； (3)求x2＋y2的最大值和最小值．
分析 方程x2＋y2－4x＋1＝0表示圆心为(2,0)，半径为
的圆． 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率；
y－x可以看作直线y＝x＋b在y轴上的截距； x2＋y2是圆上一点与坐标原点距离的平方．
故上述问题可借助于平面几何知识，利用数形结合解决．
y0)·(2－x0，－y0)＝(x02－4)＋y02＝2x02－6.又点P 在圆内，∴x02＋y02<4. ∴2≤x02<3,
1．三个独立条件确定一个圆．待定系数法是求 圆的方程的基本方法，应熟练掌握．如果由已知条 件容易求得圆心坐标、半径或需要用圆心坐标列方 程，常选用圆的标准方程；如果已知圆经过某两个
得∴圆心坐标为(1，－4)，
∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
与圆相关的轨迹问题
已知线段AB的端点B的坐标是 (4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上 运动，求线段AB的中点M的轨迹方
程．
•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/152022/1/15January 15, 2022 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/152022/1/152022/1/151/15/2022 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/152022/1/15
的关系式．
变式训练2
已知如图，圆O1和圆O2的半径都是1，O1O2＝4，过 动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切 点)，使得|PM|＝|PN|，试建立适当的坐标系，并求动 点P的轨迹方程．
【解析】 以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x
轴，建立如图所示的直角坐标系，则O1(－2,0),O2(2,0)．
|PO|、|PB|成等比数列，求 PA PB 的取值范围．
【解析】 (1)设圆的方程为x2＋y2＝r2，
由平面几何知识得 ∴圆的方程是x2＋y2＝4.
(2)由(1)知A(－2,0)，B(2,0)，设P(x0，y0)，
又|PA|，|PO|，|PB|成等比数列， ∴PO2＝|PA|·|PB|，
整理得y02＝x02－2. ＝(－2－x0，－
|MQ|的最大值为|QC|＋r＝
最小值|QC|－r＝
(2)
的几何意义是圆上任一点M(x，y)与A(－2,3)的连线的
斜率，由平面几何知识可知，当过A点的直线与圆相切时，v取最
值，设过A点的切线斜率为k，则切线方程为y－3＝k(x＋2)，即
kx－y＋2k＋3＝0
圆方程的综合应用问题
(12分)在平面直角坐标系XOy中，设二次函数f(X) ＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点， 经过这三个交点的圆记为C.
原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．而圆心 到原点的距离为2，圆的半径为.
规律总结 涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性质，
利用数形结合求解，一般地：
(1)形如 值问题．
的最值问题，可转化为直线斜率的最
(2)形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为直线截距的最
值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点到
由已知
得|PM|2＝2|PN|2.
因为两圆半径均为1，
所以|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)． 设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]， 即(x－6)2＋y2＝33， 所以所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.
与圆有关的最值问题
已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
解 原方程化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，半径为的
圆．
(1)设 ＝k，即y＝kx，当直线和圆相切时，斜率k取得最值，此时
有
解得
(2)设y－x＝b，即y＝x＋b，当y＝x＋b与圆相切时，直线在y轴上
的截距取得最大值和最小值，
(3)x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识可知：
定点距离平方的最值问题．
变式训练3
已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，
(1)若M是圆C上任一点，Q(－2,3)，求|MQ|的最大值与最小
值．
(2)求
的最大值．
【解析】 (1)圆方程可化为(x－2)2＋(y－7)2＝(2
C(2,7)，半径r＝2 2 . 所以|QC|＝
)2.圆心
2
由平面几何知识可知
•
分析 动点M的轨迹与点A的位置变化有关，因此可以
把点A的坐标用点M的坐标表示出来，再代入点A所满足的方 程求得点M的轨迹方程．
解 设点M的坐标为(x，y)，点A(x0，y0)．
因为M是线段AB的中点，且B(4,3)，
①
又点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，
所以(x0＋1)2＋y02＝4.② 把①代入②，得(2x－4＋1)2＋(2y－3)2＝4，
圆外．
详 见 Word 文 档 “课时作业”
方法二：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 故所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0.
方法三：∵圆过A(5,2)，B(3,－2)两点， ∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上，线段AB的垂直平分线方
程为设所求圆的圆心坐标来自C(a，b)，则有∴C(2,1)， ∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
变式训练1 已知圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x
＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，求圆的方程．
【解析】 方法一：设所求的圆的方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
解方程组，得
故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
方法二： 由于圆心在直线y＝－4x上，又在过切点P与切线x ＋y－1＝0垂直的直线y＋2＝x－3即x－y－5＝0上，