专题：对勾函数

根本不等式与对勾函数
一、 对勾函数b
y ax x
=+
)0,0(>>b a 的图像与性质 性质：
1.
界说域：
),0()0,(+∞⋃-∞
2. 值域：),2()2,(+∞⋃--∞ab ab
3.
奇偶性：奇函数,函数图像整体呈两个“对勾”的外形,且函数图像关于原点呈中间对称,即0)()(=-+x f x f
4.
图像在一.三象限
当0x >时,由根本不等式知b y ax x =+≥ab 2（当且仅当b x a
=取等号）,
即)(x f 在x=a
b 时,取最小值ab 2
由奇函数性质知： 当x<0时,)(x f 在x=a
b -
时,取最大值ab 2-
5.
单调性：增区间为（
∞+,a b ）,（a
b -∞-,）
减区间是（0,a
b
）,（a
b -
,0）
一、对勾函数的变形情势
类型一：函数b y ax x
=+)0,0(<<b a 的图像与性质
此函数与对勾函数x
b x a y )
()(-+-=关于原点对称,故函数图像为 性质：
类型二：斜勾函数b y ax x
=+)0(<ab
①
,0<>b a 作图
如下
性质： ②0,0><b a 作图如下： 类型三：函数
)0()(2>++=ac x
c bx ax x f
此类函数可变形为b x c ax x f ++=)(,则)(x f 可由对勾函数x
c ax y +=高低平移得到 例1作函数x
x x x f 1)(2++=的草图
解：
11)(1)(2++=⇒++=x
x x f x x x x f 作图如下：
类型四：函数)0,0()(≠>++=k a k
x a
x x f 此类函数可变形为
k
k
x a
k x x f -+++=)()(,则)(x f 可由对勾函数
x
a
x y +
=阁下平移,高低平移得到
例2作函数2
1
)(-+=x x x f 的草图 解：22
1
2)(21)(+-+-=⇒-+
=x x x f x x x f 作图如下： 例3作函数x x x x f +++=2
3
)(的作图：
解：12
1
2211212)(23)(-+++=+++=++++=⇒+++=x x x x x x x x f x x x x f
演习：1.求函数421
)(-+=x x x f 在),2(+∞上的最低点坐标
2. 求函数1)(-+=x x
x x f 的单调区间及对称中间
类型五：函数)0,0()(2>≠+=b a b
x ax
x f
此类函数界说域为R ,且可变形为x b x a
x
b
x a x f +
=+=
2
)( a.若0>a ,则)(x f 的单调性和对勾函数x
b x y +=的单调性相反,图像如下：
性质：
1．界说域：),(+∞-∞ 2. 值域：)21,21(b
a b
a ⋅
⋅
-
3. 奇偶性：奇函数,函数图像整体呈两个倒着的“对勾”的外形,且函数图像关于原点呈中间对称,即0)()(=-+x f x f
4. 图像在一.三象限
当0x >时,由根本不等式知b
a x
b x a x f 22)(=
⋅
≤
（当且仅当
b x =取等号）,
即)(x f 在b x =时,取最大值b
a 2
由奇函数性质知：
当x<0时,)(x f 在x=b -时,取最小值b
a 2-
5. 单调性：减区间为（
∞+,b ）,（b -∞-,）
增区间是],[b b -
例4作函数1
)(2
+=x x
x f 的草图 解：x x x
x x f x x
x f 111
1)(1)(2
2+
=+=⇒+=
b.若0<a ,作出函数图像： 例5作函数4
2)(2+-=x x
x f 的草图 类型六：函数)0()(2≠+++=a m
x c bx ax x f
此
类
函数可变形为
)0()()()()(2>++++=+++++=at s m
x t m x a m x t m x s m x a x f ,
则)(x f 可由对勾函数x
t
ax y +=阁下平移,高低平移得到 例6解释函数11)(2+++=x x x x f 由对勾函数x
x y 1+=若何变换而来
解：
11
1111)1()1()(2-+++=+++-+=x x x x x x f
故 此函数)(x f 可由对勾函数x
x y 1+=向（填“左”.“右”）平移单位,向（填“上”.“下”）平移单位.草图如下： 演习：1.已知1->x ,求函数
1
107)(2+++=
x x x x f 的最小值
1<x ,求函数
1
109)(2--+=x x x x f 的最大值
类型七：函数)0()(2
≠+++=a c
bx ax m
x x f 例7求函数
2
1)(2++-=
x x x x f 在区间),1(+∞上的最大值
解：当1=x 时,0)1(=f 当1≠x 时,3
1411
1
4
)1(3)1(14)1(3)1(1)(22+-+-=-+-+-=+-+--=
x x x x x x x x x f
问：若区间改为),4[+∞则)(x f 的最大值为 演习
2
3
2)(22++++=x x x x x f 在区间),0[+∞上的最大值
类型八：函数a
x b x x f ++=
)(
此类函数可变形为尺度情势：
)0()(>-+-++=+-++=
a b a
x a b a x a
x a
b a x x f
例8求函数1
3)(-+=x x x f 的最小值
解：1
411
41)(-+
-=-+-=
x x x x x f
演习：1．求函数1
5)(++=
x x x f 的值域
2.求函数3
2
)(++=
x x x f 的值域 类型九：函数)0()(2
2>++=
a a
x b x x f
此类函数可变形为尺度情势：
)()()(2
22
22o a b a
x a b a x a
x a
b a x x f >-+-+
+=+-++=
例9求函数4
5)(2
2++=x x x f 的最小值
解：4
5)(2
2++=
x x x f 4
144
14)(2
22
2++
+=+++=
⇒x x x x x f
演习：1. 求函数
17
1
)(22++=x x x f 的值域
例10
已知20,a >求函数的最小值.
解：2=令
t ≥则1
t t +y=
1即1a ≥时
,min y
1即01a <<时,2min y =。