多孔介质内对流换热的非热平衡模型相关问题研究

介质中的流动传热现象。

对多孔介质内的流动，可使用考虑非达西效应的Darcy –Brinkman -Forchheimer [1]模型进行分析；而对于多孔介质内的传热过程，能量方程可用热平衡(local thermal equilibrium,LTE)模型或非热平衡(local thermal non-equilibrium,LTNE)模型进行分析。

其中，热平衡模型被广泛用于分析多孔介质中的对流换热过程，该模型假设多孔固体骨架温度与流体温度局部相等（T s =T f ），适用于多孔固体骨架与流体局部温差不大的场合。

热平衡模型控制方程如下[2-4]：
()[]()()()T T c T c c t ∇+∇=∇+-+∂∂d m p pf f ps s pf f 1λλερερερu (1)
式中λm 为有效滞止导热系数[5]，λd 为热弥散导热系数。

然而，当多孔固体骨架与流体局部温差不能忽略（T s ≠T f ）时，热平衡模型便会引起较大误差，应该采用非热平衡模型。

非热平衡模型考虑多孔固体骨架与流体的对流换热，其控制方程包括流体能量方程和多孔固体骨架能量方程[3,6-9]：
()()()[]()f s sf sf f d f f p pf f f pf f T T a h T T c T c t -+∇+∇=∇+∂∂λελερερu (2)
()[]
()[]()f s sf sf s s s ps s 11T T a h T T c t --∇-∇=-∂∂λεερSchumann 最早在1929年就考虑了非热平衡模型，但在他的研究中忽略了导热项的影响。

Quintard [10]在1998年第11届国际传热大会的主旨报告中，对在多孔介质中采用局部非热平衡模型进行理论建模做了系统分析，并在非热平衡模型中考虑了颗粒与流体间界面热阻的影响。

不少研究者已经使用非热平衡模型进行了一系列的研究。

如多孔介质中的瞬态传热Nouri-Borujerdi 等[11]、混合对流Shi 和Vafai [12]、强制对流Jiang 等[3,6-9,13-17]、双扩散多孔介质Nield 和Kuznetsov [18]等。

本文作者近二十年来一直从事多孔介质中流动换热研究，采取理论分析、实验研究和热平衡或非热平衡模型数值模拟相结合的方法，对非烧结多孔颗粒堆积床和烧结多孔结构中的强迫对流换热开展研究[3,6-9,16,19,20]。

研究结果表明：非烧结多孔介质的存在能使槽道的对流换热系数增大4-8倍；而烧结多孔介质由于颗粒间接触热阻小，增强换热的能力比非烧结多孔介质更强，对流换热系数增大15-30倍[20]。

对于非烧结多孔介质，提出了一个临界颗粒直径d 0关联式，当直径d >d 0时，槽道对流换热系数随直径增大；d <d 0时则相反[19]。

对局部非热平衡模型中的热边界条件进行了分析研究。

此外，在Hsu 和Cheng [21]的工作基础上，Jiang [16]等根据水在多孔槽道中的对流换热实验数据提出了一个修正的热弥散模
型，并认为热弥散系数无论对热平衡与非热平衡模型都是非常重要的参数：
()()
ερλ-=1p p p d u d c C f (4)()[]8282
.0f p 1Pr Re 60.1--=εC 由于非热平衡模型增加了一个能量方程，因此，在处理热边界条件的时候也需要增加一个边界条件。

已有多位学者就此开展研究，提出了几种不同的模型。

此外，非热平衡模型引入了多孔介质固体骨架与流体间的内部对流换热系数h sf 与体积面比a sf 的概念，为了得到准确的h sf 表达式，还需要通过实验、孔隙尺度分析或其他手段获取。

本文主要对多孔介质中对流换热的非热平衡模型所涉及到的一些问题进行分析和讨论，特别是分析非热平衡模型中热边界条件的确定、多孔介质固体骨架与流体之间的对流换热规律、速度滑移和温度跳跃等对微尺度多孔介质中流动与换热的影响等。

1．非热平衡模型的必要性判断
非热平衡模型比热平衡模型更复杂，当热平衡模型引起的误差不大时，人们更乐意选择热平衡模型以简化研究难度。

因此何种条件下热平衡模型失效，并必须使用非热平衡模型，一直受到研究者们的关注。

Jiang 等[6,19]通过一系列实验研究了流体在不同颗粒材料的多孔槽道中的受迫对流换热现象，并分别利用热平衡模型与非热平衡模型[3,6]对实验工况进行了数值模拟。

结果表明：对于水在玻璃颗粒堆积多孔结构中（流体与颗粒导热系数相差不大）的对流换热，两种模型的结果都能与实验吻合；然而对于水在金属颗粒多孔结构中（流体与颗粒导热系数相差较大）的对流换热，只有非热平衡能与实验结果吻合。

可见当多孔固体骨架导热系数与流体导热系数的相差较大时，热平衡假设便可能引起较大误差。

Lee 和Vafai [22](1999)、Marafie 和Vafai [23](2001)用解析求解的方法得出了进一步的结论，即多孔固体骨架与流体的有效导热系数比(λs,eff /λf,eff )越大，
Biot 数越小，热平衡模型的误差越大，并给出了热平衡模型失效的判断准则。

其Biot 数表达式为：
eff
s,sf sf 4Bi λH D a h e =Kim 和Jang [24](2002)基于量级分析并结合计算的结果，分别讨论了导热占优和对流占优两种情况下的热平衡成立条件，提出了热平衡假设成立的以下判据：
1
Nu Da Re Pr 21f eff,<<εMinkowycz 等[25](1999)考虑了边界热流急剧变化引起的瞬态传热过程，发现
当Sparrow 数满足Sp<100时，热平衡模型失效。

其Sparrow 数的表达形式如下：
eff
2
sf sf Sp λL a h =非热平衡模型的必要性的判断准则仍然需要更多实验结果的验证。

此外，当多孔介质内流体发生相变[26]，或多孔介质内有内热源[27]时，更需要关注热平衡模型的有效性问题。

2．非热平衡模型的热边界条件
在采用非热平衡模型进行分析或数值计算时，多孔介质与不可渗透壁面（如加热壁面）界面上的能量方程边界条件是一个不容忽视的问题。

非热平衡模型的双能量方程需要两个相互耦合的边界条件，而且不同的边界条件处理对结果影响很大。

很多学者对等热流的加热壁面的边界条件进行了分析，如Amiri 等[28]，Jiang 等[3,8,13]Kim 和Kim [29]，Quintard 等[10]，Martin [30]，Kim 和Kim [29]，并提出了各自的边界条件和见解，但是并没有统一的结论。

主要的争议点在于壁面上固体骨架与流体的温度是否局部相等，以及各自的热流如何分配。

Amiri 等[28]在1995年为等热流的加热壁面提出两种边界条件：第一种是局部等壁温边界条件，即假设多孔固体骨架和流体的温度在壁面处局部相等，而各自的温度梯度由热量平衡与各自的有效导热系数决定：
()()()w s w f w wf ws 1,y T y T q T T ws w wf w ∂∂--∂∂-==λελε(5)另一种是局部等热流边界条件，即假设多孔固体骨架和流体在壁面处得到的热流密度与总热流密度q w 相等：
()()w s w f w y T y T q ws wf ∂∂-=∂∂-=λλ(6)
他们使用局部等热流边界(5)进行数值模拟，得到了与实验相符合的结果，但没有进一步分析边界条件(5)适用的原因。

Martin [30](1998)也在其研究中提出了一个局部等壁温边界条件：
()[]()w s w w y T q T T ∂∂-+-==w wf w wf ws 1,λελε(7)
Alazmi 和Vafai [31](2002)比较了8种不同的热边界条件，并发现使用不同热边界条件，模型的结果完全不同，从中选出合适的边界条件并不容易。

Jiang [17](2001)通过对近壁面单个颗粒的局部传热问题的数值模拟，首先揭示了造成非烧结多孔介质与烧结多孔介质不同边界条件的原因。

对于多孔固体骨架与流体导热系数比值较高的情况，由于非烧结堆积颗粒与加热壁面之间是点接触，存在接触热阻，通过加热壁面传给固体颗粒与流体的热流密度会比较接近，而加热壁面与固体颗粒或流体的接触处温度则可能相差较大。

比较之下，烧结多孔介质与加热壁面的接触热阻可以忽略，当加热壁足够厚时，加热壁面与固体颗
粒或流体的接触处温度近似相等，而通过加热壁面传给固体颗粒与流体的热流密度可能相差很大。

Jiang 等[3,6,7,9,19]从1996年开始，开展了一系列针对非烧结多孔介质的实验研究，包括水、油和空气分别流过玻璃和金属颗粒堆积多孔结构的对流换热，并使用热平衡模型和非热平衡模型对实验工况进行了数值模拟(见图1)。

结果表明：对于非烧结多孔介质，使用局部等热流边界(6)并考虑非达西效应、变孔隙
率、热弥散效应等，能得到跟实验一致的结果。

图1多孔槽道中的受迫对流换热系统示意图[9]
Jiang 等[8,16,20]在2002和2004年的针对烧结多孔介质对流换热的实验和数值模拟研究中，用实验结果验证了使用局部等壁温的边界条件的正确性，并提出了一个新的局部等壁温边界条件，其计算结果与实验结果非常一致：
()w m y T q T T ∂∂-==λw wf ws ,(8)
其中λm 为有效滞止导热系数，使用Zehner 和Schlunder
[5]提出的关系式计算：()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-⎪⎭⎫ ⎝⎛----+--=σB B B σB σB B σσB εελλ11211ln 11112112f m (9)
()[]9101251//εε.B -=，s f /λλ
σ=更进一步地，为了深入研究多孔介质边界处的传热规律，传统的体积平均研究方法已经不再满足需要。

Jiang 和Lu [13,15](2006，2007)通过对多孔介质槽道对流换热进行孔隙尺度的整场数值模拟，研究了有限加热壁厚和零厚度加热壁、有接触热阻和无接触热阻的多孔介质对流换热过程，分别对应非烧结与烧结多孔介质的情况，得到了多孔介质在边界处的流场、温度场和热流分布等详细数据。

图2显示了上述几种条件下的温度分布，可见加热壁面厚度与接触热阻对多孔介质边界处的传热影响很大。

该计算结果与实验结果吻合一致，其关于宏观尺度边界条件的结论与Jiang [17]的分析也非常一致，即：对于考虑接触热阻的非烧结多孔介质，有q w ≈q wf ≈q ws ，应采用局部等热流的边界条件，如式(6)比较合适，对零厚度加热壁的情况也是如此；对于不考虑接触热阻的烧结多孔介质，在加热壁足够厚时，有T wf ≈T ws ，应采用局部等壁温的边界条件，如式(5)和式(8)比较合适。

其他学者的研究结果也同样支持上述结论。

如Hwang等[32](1995)的烧结多孔实验与数值模拟研究，Kim和Kim[29](2001)关于烧结多孔介质的对流换热的简化解析解等。

经过理论分析、实验以及孔隙尺度数值模型研究，可得出结论：在为与多孔介质接触的加热壁设定热边界条件时，必须考虑多孔介质与壁面的接触热阻以及壁面厚度的影响，并由此来选择局部等热流、局部等壁温或其他边界条件。

(a)零厚度加热壁面、无接触热阻
(b)有限厚度加热壁面、无接触热阻
(c)有限厚度加热壁面、有接触热阻
u0=1mm/s,q wo=1×105W/m2,d p=1.7mm,T f0=300K,e m=0.4578图2多孔介质中零厚度或有限厚度加热壁面在有无接触热阻时的温度分布
(孔隙尺度数值模拟结果)[13]
3．多孔介质内部的对流换热规律
在利用非热平衡模型进行分析时，多孔介质内部对流换热系数h sf 是非常重要的参数，因此h sf 的测量对于非热平衡模型的发展与对多孔介质内热传递规律有着重要意义。

已经有较多学者对h sf 进行测量，目前使用比较多的关联式有：
Achenbach [33]
()()[]4140.75h 458
.0p
f sf Re 23.0Re 18.1+=d h λ(10))ε-1Re Re h =,()p sf 16d a ε-=Wakao [34]()p
6
.031f sf Re Pr 1.12d h +=λ,()p
sf 16d a ε-=(11)Dixon 和Cresswell [35]1s p f
3231p sf 10Re Pr 255.0-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=λλεd d h ,()p sf 16d a ε-=(12)
Hwang 等[32]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=350
Re ,Re Pr 064.175Re ,Re Pr 004.059.033.0p f 35.133.0p f p v sf d d d d h λλ(13)
sf v 4a d ε=，()p 2sf 1346.20d a εε-=Alazmi 和Vafai [36](2000)比较了式(11)-(13)在非热平衡模型中的表现，发现式
(11)在小孔隙率和低雷诺数下与式(12)、(13)预测的结果有所偏离。

Pallares 和Grau [37](2010)借鉴式(11)的形式，用孔隙尺度数值模拟与实验修正相结合的方法得到下式：()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=316.05.0p f sf Pr Re 11412εεελd h ，
(14)()p sf 16d a ε-=Jiang 和Lu [15](2006)通过对多孔颗粒结构孔隙尺度的数值计算和分析认为，在常物性下h sf 沿流动方向变化很小。

因为第一列颗粒表面的h sf 类似外掠顺排颗粒。

由于颗粒之间接触紧密，前排颗粒对后排颗粒流动和换热的影响不大。

对于较大Re 数的情况，前排边界层转变为湍流，能够提高后排换热系数。

大多数结
构中，h sf在第4、5列颗粒后趋向稳定，多孔介质中通常有很多列固体颗粒，因此可假设h sf沿流动方向不变。

h sf数值计算结果与两个关联式(12)、(11)相差30%（图3），趋势均为：h sf随Re增大而增大，随颗粒直径增大而减小。

1－式(12)、2－式(11)
图3h sf的数值计算结果与式(12)、(11)的比较[15]
4.微多孔内部对流换热规律研究
在最近二十年来，大量研究表明，气体在微尺度管道和槽道中流动时，稀薄气体效应不能被忽略。

利用Knudsen数将气体在微通道里的流动分为4个区域：连续介质区（Kn<0.001）,流动滑移与温度跳跃区(0.001<Kn<0.1),过渡区(0.1< Kn<10)和自由分子区(Kn>10)。

在微多孔结构内部的对流换热问题需要考虑微尺度效应对于微多孔内部对流换热的影响，尤其需要针对可压缩性、速度滑移和温度跳跃等对于微多孔介质内流动与换热的影响规律展开进一步的研究。

近几年来，姜培学课题组[39-48]结合实验研究、数值模拟和理论分析，对微细多孔介质内的流动与换热进行了研究。

图4示出了空气、氦气、二氧化碳平均对流换热努谢尔特数随流量的变化图，从图中可见，微多孔介质内部对流换热努谢尔特数随着颗粒直径和孔隙率的减小而减小。

实验结果和已有研究结果比较表明，颗粒直径相当时，在相同雷诺数下空气的结果符合较好。

证明实验结果的可靠性。

对于空气和二氧化碳，当颗粒直径大于48微米时，努谢尔特数都在已有研究结果的范围内。

而当颗粒直径为21和11微米时，努谢尔特数均比已有结果要小。

10-5
10
-4
10
-310-2
10
-110
0N u s f Re d
图4实验和已有研究结果中平均对流换热努谢尔特数随流量的变化
图5给出了实验结果与其他已有多孔介质内部换热系数计算关联式比较的结果。

其中包括式（10）、（12）以及Kar [49]等提出的计算关联式：
烧结金属多孔层中换热系数：
2 1.350.141/30.410Nu Re Pr -±=⨯（15）
球形堆积多孔层中换热系数：
1.040.091/30.093Nu Re Pr ±=（16）
铜棒颗粒烧结多孔层中换热系数：
0.760.021/30.081Nu Re Pr ±=（17）
N u s f /P r 1/3Re d
图5实验平均对流换热努谢尔特数随流量的变化与不同计算关联式结果的比较
如图5所示，关联式（10）、（12）、（16）、（17）的计算结果比本文实验得到的结果要大，而这些关联式都是基于特征尺度较大的多孔介质的实验结果得到的，与这些拟合关联式的比较可以认为：微多孔介质内部对流换热比常规尺度多孔介质中要弱；不同的拟合关联式间存在着差异，一些关联式对于多孔介质内部换热过程中存在微尺度效应的影响没有很好的考虑；因此，对于微细多孔介质内部换热的研究以及其他需要涉及微细多孔介质内部换热的应用中，微尺度效应的影响必须加以考虑。

在实验数据的基础上，得到了考虑速度滑移和温度跳跃的经验关联式，并通过对雷诺数项的修正，来反映速度滑移对于换热可能带来的影响。

()2 1.151/313.70.9330.2450.0165Re Pr 170.5Kn sf d Nu Kn
εε+-+=+（18）
图5给出了实验结果与关联式（18）的比较结果。

从图中可以看到。

拟合关联式（18）对于各种气体，在不同Kn 范围都能符合的较好。

因此，拟合关联式
（18）能够较好拟合微尺度影响的微多孔介质内对流换热问题。

当然其可靠性还需要更多的实验加以验证。

同时，利用Fluent6.3软件对气体在微多孔介质内对流换热进行了孔隙尺度数值模拟。

网格划分如图6所示，颗粒的结构排列、边界条件的设定、网格划分等细节请参见文[48]。

分别采用不考虑速度滑移和温度跳跃边界条件和考虑速度
滑移和温度跳跃边界条件两种方法模拟。

（a ）流体网格
（b ）固体网格
图6流体和固体网格结构图7给出了不同气体流过这3种微多孔介质实验段数值模拟得到的对流换热努谢尔特数与雷诺数的关系，并与实验结果进行比较。

从图中可见，考虑速度滑移和温度跳跃得到的数值模拟结果和不考虑速度滑移和温度跳跃得到的结果有较明显差别，能够体现出微尺度效应不利于对流换热的现象。

但是，考虑了速度
滑移和温度跳跃的数值模拟结果，与实验结果仍然存在一定偏差，需要进一步展开研究。

1010
N u s f /P r 1/3
Re d 10
10N u s f /P r 1/3Re d
(a)48微米(b)21微米
图7气体流过微多孔介质平均换热努谢尔特数与雷诺数的关系，数值结果与实验结果
的比较
通过实验研究和数值模拟表明，当努森数Kn>0.003时，在速度滑移和温度跳跃的共同影响下，多孔介质内部的换热系数比常规尺度有所下降，微尺度效应使气体在多孔介质内部换热效率降低。

采用基于颗粒与孔隙尺度的三维数值模拟模型，对空气，氦气及二氧化碳在微多孔介质内的流动和换热进行数值模拟，结果表明：考虑速度滑移的数值模拟结果与实验结果符合较好；对于48微米以下的颗粒，或Kn>0.003的情形考虑速度滑移和温度跳跃的数值模拟结果能够体现出微尺度效应不利于对流换热的现象。

5．结论
多孔介质内的对流换热实质是一个很复杂的过程，无论热平衡还是非热平衡模型，都是采用体积平均方法对其进行简化研究。

因而一些重要的细节过程也被平均化，新的问题由此而生。

比如，关于非热平衡模型热边界条件、多孔介质内部对流换热系数、热弥散系数的争议等。

这些问题的根本的解决之道，在于还原那些被平均化的细节过程，此时必须通过其他研究方法来获得。

比如基于孔隙尺度甚至微观尺度、分子尺度的分析或数值模拟方法，宏观量的实验测量研究，运用高速摄像、高倍数放大镜、Nano-CT 等先进设备对微观过程的实验研究等等。

另一方面，新的学科技术发展，如发散冷却、热管技术、核能发电技术等，要求非热平衡模型尽快成熟，以融合到多物理场的研究中去。

因此，非热平衡模型中多孔区与自由流动区的耦合、与相变过程的耦合、与电磁过程的耦合、生物传热等等复杂过程仍然是非热平衡模型需要解决的问题。

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多孔介质内对流换热的非热平衡模型相关问题研究
作者：姜培学， 欧阳小龙， 胥蕊娜
作者单位：北京市CO2资源利用与减排技术重点实验室 热科学与动力工程教育部重点实验室 清华大学热能工程系 北京100084
引用本文格式：姜培学.欧阳小龙.胥蕊娜多孔介质内对流换热的非热平衡模型相关问题研究[会议论文] 2011。