【精品推荐】2020版高三数学新课标大二轮专题辅导与增分攻略数学(理)课件：1-3 分类讨论思想

(2)等比数列{an}的公比 q≠0.对于 A，若 a3>0，a1q2>0，所以 a1>0，所以 a2019＝a1q2018>0，所以 A 不成立；对于 B，若 a4>0， 则 a1q3>0，所以 a1q>0，所以 a2018＝a1q2017>0，所以 B 不成立； 对于 C，若 a3>0，则 a1＝aq32>0，所以当 q＝1 时，S2019>0，当 q≠1 时，S2019＝a111－－qq2019>0(1－q 与 1－q2019 同号)，所以 C 一定成 立，易知 D 不一定成立，故选 C.
－
2 x
′
＝
a
－
2a＋1 x
＋
2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
＝
ax2－2ax＋2 1x＋2＝ax－1x2x－2.
当 a＝0 时，f′(x)＝－xx－2 2.
可以看出，当 x>2 时，f′(x)<0；
当 0<x<2 时，f′(x)>0，
所以，a＝0 时，函数 f(x)在区间(0,2)上单调递增；在(2，＋ ∞)上单调递减．当 a≠0 时，
注意到 f(1)＝12e2＋a－(a＋1)e＝12e2－e＋a(1－e)>0， 所以当 x∈(0,1)时，f(x)有一个零点． 当 x<0 时，f(x)＝ax＋ex12ex－a－1>ax－(a＋1)ex>ax－(a＋1)， 取 x0<1＋1a<0，则 f(x0)>0， 所以当 x∈(x0,0)时，f(x)有一个零点． 所以当－12<a<0 时，f(x)有两个零点，符合题意． ③当 a＝1 时，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，
1．(2019·山东济南二模)已知函数 f(x)＝12e2x－(a＋1)ex＋ax. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)若 f(x)有两个零点，求 a 的取值范围．
[解] (1)f′(x)＝e2x－(a＋1)ex＋a＝(ex－1)(ex－a)， ①若 a≤0， 当 x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当 x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． ②当 a>0 时，令 f′(x)＝0，则 x1＝0，x2＝lna， 若 a＝1，则 x1＝x2，f′(x)≥0 恒成立， f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增． 若 0<a<1，则 x1>x2， 当 x∈(－∞，lna)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
f′(x)＝x－2x22 2≥0.
所以 a＝12时，在定义域(0，＋∞)上，函数 f(x)为单调递增函 数．
④若 a>12，则 0<1a<2， 解不等式ax－1ax2x－2>0，得 0<x<1a或 x>2； 解不等式ax－1ax2x－2<0，得1a<x<2.
所以，a>12时，函数 f(x)在0，1a和(2，＋∞)上单调递增；在 1a，2上单调递减．
得
0<x<2
或
x>1a；解不等式ax－1ax2x－2<0，得
1 2<x<a.
所以 0<a<12时，函数 f(x)在区间2，1a上单调递减；在区间
(0,2)，1a，＋∞上单调递增． ③若 a＝12，则 f′(x)＝x－2x22 2，在定义域(0，＋∞)上，总有
当 x∈(lna,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当 x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 若 a>1，则 x1<x2， 当 x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当 x∈(0，lna)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当 x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 综上所述，当 a≤0 时，f(x)在(－∞，0)上单调递减， 在(0，＋∞)上单调递增； 当 a＝1 时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增； 当 0<a<1 时，f(x)在(－∞，lna)上单调递增，
综上可知 m＝13.故选 B
(2)函数 f(x)＝－x－a22＋a42的图象的对称轴为 x＝a2，应分a2< －1，－1≤a2≤1，a2>1，即 a<－2，－2≤a≤2 和 a>2 三种情形讨 论．
①当 a<－2 时，由图(1)可知 f(x)在[－1,1]上的最大值为 f(－ 1)＝－1－a＝－(a＋1)，由－(a＋1)＝4，得 a＝－5，满足题意．
①当焦点在 x 轴上时，则有3m－－m1<>00， 解得 m<1，
此时渐近线方程为 y＝±
1－m 3－m
x，
由题意得， 13－ －mm＝12，解得 m＝13；
②当焦点在 y 轴上时，则有3m－－m1><00， 解得 m>3，
此时渐近线方程为 y＝±
m－1 m－3
x，
由题意得， mm－ －13＝12，无解．
x≥0 y≥0 2．(2019·河北沧州调研)若不等式组2x＋y－6≤0 x－y＋m≤0
表示的平面区域是一个三角形，则实数 m 的取值范围是 _(_－__∞__，__－__3_]∪__[_0_,_6_) ___．
[解析] 如图，上、下平移直线 x－y＋m＝0.当直线 x－y＋m ＝0 过(0,0)时，m＝0；当直线过(0,6)时，m＝6；当直线过(3,0)时， m＝－3.由图知欲使可行域为三角形，则 m∈(－∞，－3]∪[0,6)．
思想方法突破
要点一 由概念、性质、运算引起的分类讨论
【 例 1 】 (1)(2019·河 北 衡 水 中学 模 拟 )已 知 函 数 f(x)＝
－log23－x，x<2 2x－2－1，x≥2，
若 f(2－a)＝1，则 f(a)等于( A
)
A．－2
B．－1
C．1
D．2
(2)(2019·江西南昌调研)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn， 则下列说法中一定成立的是( C )
在(lna,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增； 当 a>1 时，f(x)在(－∞，0)上单调递增， 在(0，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增． (2)①当 a＝0 时，f(x)＝12e2x－ex＝ex12ex－1， 令 f(x)＝0，得 x＝ln2， 此时只有一个零点，不合题意． ②当 a<0 时，由(1)可知， f(x)在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数， 若 f(x)有两个零点，则 f(0)＝－a－12<0，即 a>－12.
A．若 a3>0，则 a2019<0 B．若 a4>0，则 a2018<0 C．若 a3>0，则 S2019>0 D．若 a4>0，则 S2018>0 [解题指导] 确定分 类标准 →
定义域、公比 q＝1或q≠1 → 进行计算 或推理
[解析] (1)①当 2－a≥2，即 a≤0 时，22－a－2－1＝1， 解得 a＝－1， 则 f(a)＝f(－1)＝－log2[3－(－1)]＝－2； ②当 2－a<2 即 a>0 时，－log2[3－(2－a)]＝1， 解得 a＝－12，舍去．综上所述，f(a)＝－2.故选 A.
f′(x)＝ax－1x2x－2＝ax－1ax2x－2. ①若 a<0，则1a<0<2，当 0<x<2 时，f′(x)>0；当 x>2 时，f′(x)<0， 所以 a<0 时，f(x)在(0,2)上单调递增；在(2，＋∞)上单调递减． ②若 0<a<12，则 0<2<1a，解不等式ax－1ax2x－2>0，
[解析] ∵C＝π－(A＋B)，sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，∴sin(A ＋ B) ＋ sin(B － A) ＝ sinAcosB ＋ cosAsinB ＋ sinBcosA － cosBsinA ＝ 2cosAsinB＝4sinAcosA，
∴cosA＝0 或 sinB＝2sinA. 若 cosA＝0，则 A＝2π； 若 sinB＝2sinA，则 b＝2a， 所以 c2＝a2＋b2－2abcosC＝3a2，c＝ 3a，
1．(2019·河南安阳二模)正三棱柱的侧面展开图是边长分别为
6 和 4 的矩形，则它的体积为( D )
83 A. 3
B．4 3
23 C. 9
D．4 3或833
[解析] 当正三棱柱的高为 4 时，体积 V＝2× 3×12×4＝
4
3；当正三棱柱的高为
6
时，体积
V＝43×2
3
3×12×6＝8
3
3 .
综上，当 a≤0 时，f(x)在(0,2)上单调递增；在(2，＋∞)上单 调递减；
当 0<a<12时，函数 f(x)在2，1a上单调递减；在(0,2)，1a，＋∞ 上单调递增；
当 a＝12时，在定义域(0，＋∞)上，函数 f(x)为单调递增函数； 当 a>12时，函数 f(x)在0，1a和(2，＋∞)上单调递增；在1a，2 上单调递减．
1．(2019·福建漳州一中月考)已知集合 A＝{x|－2≤x≤7}，B
＝ {x|m ＋ 1<x<2m － 1} ， 若 B ⊆ A ， 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 _(_－__∞__，__4_]_____．
[解析] 当 B＝∅时，有 m＋1≥2m－1，则 m≤2； 当 B≠∅时，若 B⊆A，如图．
第 一
数学思想、技法
篇
第三讲
分类讨论思想
[思想方法诠释] 分类讨论的思想，就是将一个较复杂的数学问题分解(或分割) 成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问 题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个 已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小 问题(或基础性问题)，优化了解题思路，降低了问题难度．
(2)(2019·湖北武汉调研)若函数 f(x)＝－x(x－a)在 x∈[－1,1] 上的最大值为 4，则 a 的值为_5__或__－__5_．
[解题指导] (1) 双曲线的焦点位置 → 确定m值 (2) 对称轴x＝a2与区间[－1，1]的位置 → 分类计算
[解析] (1)根据题意可分以下两种情况讨论：
②当－2≤a≤2 时，由图(2)可知 f(x)在[－1,1]上的最大值为 fa2＝a42，由a42＝4，得 a＝±4(舍去)．
③当 a>2 时，由图(3)可知 f(x)在[－1,1]上的最大值为 f(1)＝a －1，由 a－1＝4，得 a＝5，满足题意．
综上可知，a＝5 或－5.
几类常见的由图形的位置或形状引起的分类讨论 (1)二次函数对称轴的变化； (2)函数问题中区间的变化； (3)函数图象形状的变化； (4)直线由斜率引起的位置变化； (5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状 变化； (6)立体几何中点、线、面的位置变化等．
∴cosA＝b2＋2cb2c－a2＝ 23， 故 A＝6π. 综上所述，A＝2π或π6.
要点二 由图形位置或形状引起的分类讨论
【例 2】 (1)(2019·河南洛阳质检)若双曲线3－x2m＋m－y2 1＝1
的渐近线方程为 y＝±12x，则 m 的值为( B )
A．－1
1 B.3
11 C. 3
D．－1 或13
解决由概念、法则等引起的分类讨论问题的步骤 第一步：确定需分类的目标与对象．即确定需要分类的目标， 一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标． 第二步：根据公式、定理确定分类标准．运用公式、定理对 分类对象进行区分． 第三步：分类解决“分目标”问题．对分类出来的“分目 标”分别进行处理． 第四步：汇总“分目标”．将“分目标”问题进行汇总，并 作进一步处理．
破解由参数变化引起分类讨论的 4 个关键点 (1)确定范围，确定需要分类问题中参数的取值范围． (2)确定分类标准，这些分类标准都是在解题过程中根据解决 问题的需要确定的，注意有些参数可能出现多级分类，要做到不 重不漏． (3)分类解决问题，对分类出来的各相应问题分别进行求解． (4)得出结论，将所得到的结论进行汇总，得出正确结论．
m＋1≥－2 则2m－1≤7
m＋1<2m－1，
解得 2<m≤4.
综上，m 的取值范围为(－∞，4]．
2．(2019·湖北黄冈二模)已知 a，b，c 分别是△ABC 的内角 A， B__，π2_或_C_6π_所__对. 的边，C＝3π，若 sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，则 A＝
要点三 由参数变化引起的分类讨论 【例 3】 (2019·山东青岛调研)已知 f(x)＝ax－(2a＋1)lnx－2x， 其中 a∈R，讨论函数 f(x)在定义域上的单调性．
[解] 函数 f(x)＝ax－(2a＋1)lnx－2x的定义域为{x|x>0}．
f′(x)
＝
(ax)′
－
(2a
＋
1)(lnx)′