宁陵县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

宁陵县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知椭圆
（0＜b ＜3），左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若|AF 2|+|BF 2|
的最大值为8，则b 的值是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
2． 在△ABC 中，若2cosCsinA=sinB ，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形
3． 直线： （为参数）与圆：（为参数）的位置关系是（ ）
A ．相离
B ．相切
C ．相交且过圆心
D ．相交但不过圆心
4． 若复数满足7
1i i z
+=（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A ．1 B ．1- C ． D ．i -
5． 如图，
已知平面
=，
．是直线上的两点，是平面
内的两点，且
，
，，．是平面
上的一动点，且有
，则四棱锥
体积的最大值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6． 若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件
30,
230,,x y x y x m +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
则实数m 的最大值为 A 、1- B 、 C 、
3
2
D 、2 7． 在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若
1237k a a a a a =++++ ，则k =
A、22
B、23
C、24
D、25
8．已知点P（x，y）的坐标满足条件，（k为常数），若z=3x+y的最大值为8，则k的值为（）
A．B．C．﹣6 D．6
9．下列计算正确的是（）
A、
21
33
x x x
÷=B、
45
54
()
x x
=C、
4
5
5
4
x x x
=D、
44
550
x x
-
=
10．等比数列{a n}中，a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，则a6=（）
A．3 B．C．±D．以上皆非
11．下列关系式中，正确的是（）
A．∅∈{0} B．0⊆{0} C．0∈{0} D．∅={0}
12．执行如图所示的程序框图，若a=1，b=2，则输出的结果是（）
A．9 B．11 C．13 D．15
二、填空题
13．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，点P在侧面BCC1B1上运动．现有下列命题：
①若点P总保持PA⊥BD1，则动点P的轨迹所在曲线是直线；
②若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹所在曲线是圆；
③若P满足∠MAP=∠MAC1，则动点P的轨迹所在曲线是椭圆；
④若P到直线BC与直线C1D1的距离比为1：2，则动点P的轨迹所在曲线是双曲线；
⑤若P到直线AD与直线CC1的距离相等，则动点P的轨迹所在曲线是抛物丝．
其中真命题是（写出所有真命题的序号）
14．已知f（x+1）=f（x﹣1），f（x）=f（2﹣x），方程f（x）=0在[0，1]内只有一个根x=，则f（x）=0在区间[0，2016]内根的个数．
15．在△ABC中，若a=9，b=10，c=12，则△ABC的形状是．
16．执行如图所示的程序框图，输出的所有值之和是.
【命题意图】本题考查程序框图的功能识别，突出对逻辑推理能力的考查，难度中等.
17．已知一个动圆与圆C：（x+4）2+y2=100相内切，且过点A（4，0），则动圆圆心的轨迹方程．18．已知=1﹣bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则|a﹣bi|=．
三、解答题
19．如图，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，且椭圆C的短轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P，M，N椭圆C上的三个动点．
（i）若直线MN过点D（0，﹣），且P点是椭圆C的上顶点，求△PMN面积的最大值；
（ii）试探究：是否存在△PMN是以O为中心的等边三角形，若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．
20．设函数，若对于任意x∈[﹣1，2]都有f（x）＜m成立，求实数m的取值范围．
21．（本小题满分12分）
2014年7月16日，中国互联网络信息中心发布《第三十四次中国互联网发展状况报告》，报告显示：我国网络购物用户已达3.32亿．为了了解网购者一次性购物金额情况，某统计部门随机抽查了6月1日这一天100名网购者的网购情况，得到如下数据统计表．已知网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4．
（Ⅰ）确定x ，y ，p ，q 的值；
（Ⅱ）为进一步了解网购金额的多少是否与网龄有关，对这100名网购者调查显示：购物金额在2000元以上的网购者中网龄3年以上的有35人，购物金额在2000元以下（含2000元）的网购者中网龄不足3年的有20人．
（参考公式：()()()()()
2
n ad bc a b c d a c b d -K =++++，其中n a b c d =+++）
22．（本小题满分12分）已知向量(cos sin ,sin )m x m x x w w w =-a ，(cos sin ,2cos )x x n x w w w =--b ，
设函数()()2n f x x R =??a b
的图象关于点(,1)12
p
对称，且(1,2)w Î． （I ）若1m =，求函数)(x f 的最小值；
（II ）若()()4
f x f p
£对一切实数恒成立，求)(x f y 的单调递增区间．
【命题意图】本题考查三角恒等变形、三角形函数的图象和性质等基础知识，意在考查数形结合思想和基本运算能力．
23．已知f （x ）=x 2﹣3ax+2a 2．
（1）若实数a=1时，求不等式f （x ）≤0的解集； （2）求不等式f （x ）＜0的解集．
24．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且a2=2b．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l：x﹣y+m=0与椭圆交于A，B两点，是否存在实数m，使线段AB的中点在圆x2+y2=5上，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
宁陵县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：∵|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a=6，|AF 2|+|BF 2|的最大值为8，
∴|AB|的最小值为4，
当AB ⊥x 轴时，|AB|取得最小值为4，
∴
=4，解得b 2=6，b=
．
故选：D ．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2． 【答案】D
【解析】解：∵A+B+C=180°，
∴sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+sinCcosA=2cosCsinA ， ∴sinCcosA ﹣sinAcosC=0，即sin （C ﹣A ）=0， ∴A=C 即为等腰三角形． 故选：D ．
【点评】本题考查三角形形状的判断，考查和角的三角函数，比较基础．
3． 【答案】D
【解析】【知识点】直线与圆的位置关系参数和普通方程互化 【试题解析】将参数方程化普通方程为：直线：圆：
圆心（2,1），半径2． 圆心到直线的距离为：
，所以直线与圆相交。

又圆心不在直线上，所以直线不过圆心。

故答案为：D 4． 【答案】A 【解析】
试题分析：4
2
7
3
1,1i i i i i ==-∴==- ,因为复数满足7
1i i z +=,所以()1,1i i i i z i z
+=-∴=- ，所以复数的虚部为,故选A.
考点：1、复数的基本概念；2、复数代数形式的乘除运算. 5． 【答案】A
【解析】【知识点】空间几何体的表面积与体积 【试题解析】由题知：是直角三角形，又，所以。

因为，所以PB=2PA 。

作于M ，则。

令AM=t ，则
所以
即为四棱锥的高，
又底面为直角梯形，
所以
故答案为：A
6． 【答案】B
【解析】如图，当直线m x =经过函数x y 2=的图象 与直线03=-+y x 的交点时，
函数x y 2=的图像仅有一个点P 在可行域内， 由230
y x
x y =⎧⎨
+-=⎩，得)2,1(P ，∴1≤m ．
7． 【答案】A
【解析】1237k a a a a a =++++ 17672
a d ⨯=+121
(221)d a d ==+-，
∴22k =． 8． 【答案】 B
【解析】解：画出x ，y 满足的可行域如下图：z=3x+y 的最大值为8， 由，解得y=0，x=，
（
，0）代入2x+y+k=0，∴k=﹣
，
故选B ．
4
25
4141
5432
【点评】如果约束条件中含有参数，可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x ，y 后，即可求出参数的值．
9． 【答案】B 【解析】 试题分析：根据()
a
a β
ααβ⋅=可知，B 正确。

考点：指数运算。

10．【答案】C
【解析】解：∵a 3，a 9是方程3x 2
﹣11x+9=0的两个根， ∴a 3a 9=3，
又数列{a n }是等比数列，
则a
62
=a 3a 9=3，即a 6=±
．
故选C
11．【答案】C
【解析】解：对于A ∅⊆{0}，用“∈”不对，
对于B 和C ，元素0与集合{0}用“∈”连接，故C 正确； 对于D ，空集没有任何元素，{0}有一个元素，故不正确．
12．【答案】C
【解析】解：当a=1时，不满足退出循环的条件，故a=5， 当a=5时，不满足退出循环的条件，故a=9， 当a=9时，不满足退出循环的条件，故a=13，
当a=13时，满足退出循环的条件，
故输出的结果为13，
故选：C
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
二、填空题
13．【答案】①②④
【解析】解：对于①，∵BD1⊥面AB1C，∴动点P的轨迹所在曲线是直线B1C，①正确；
对于②，满足到点A的距离为的点集是球，∴点P应为平面截球体所得截痕，即轨迹所在曲线为圆，
②正确；
对于③，满足条件∠MAP=∠MAC1的点P应为以AM为轴，以AC1为母线的圆锥，平面BB1C1C是一个与轴AM平行的平面，
又点P在BB1C1C所在的平面上，故P点轨迹所在曲线是双曲线一支，③错误；
对于④，P到直线C1D1的距离，即到点C1的距离与到直线BC的距离比为2：1，
∴动点P的轨迹所在曲线是以C1为焦点，以直线BC为准线的双曲线，④正确；
对于⑤，如图建立空间直角坐标系，作PE⊥BC，EF⊥AD，PG⊥CC1，连接PF，
设点P坐标为（x，y，0），由|PF|=|PG|，得，即x2﹣y2=1，
∴P点轨迹所在曲线是双曲线，⑤错误．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了圆锥曲线的定义和方方程，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．
14．【答案】2016．
【解析】解：∵f（x）=f（2﹣x），
∴f（x）的图象关于直线x=1对称，即f（1﹣x）=f（1+x）．
∵f （x+1）=f （x ﹣1），∴f （x+2）=f （x ）， 即函数f （x ）是周期为2的周期函数，
∵方程f （x ）=0在[0，1]内只有一个根x=，
∴由对称性得，f （）=f （）=0，
∴函数f （x ）在一个周期[0，2]上有2个零点， 即函数f （x ）在每两个整数之间都有一个零点， ∴f （x ）=0在区间[0，2016]内根的个数为2016， 故答案为：2016．
15．【答案】锐角三角形
【解析】解：∵c=12是最大边，∴角C 是最大角
根据余弦定理，得cosC=
=
＞0
∵C ∈（0，π），∴角C 是锐角，
由此可得A 、B 也是锐角，所以△ABC 是锐角三角形 故答案为：锐角三角形
【点评】本题给出三角形的三条边长，判断三角形的形状，着重考查了用余弦定理解三角形和知识，属于基础题．
16．【答案】54
【解析】根据程序框图可知循环体共运行了9次，输出的x 是1，3，5，7，9，11，13，15， 17中不是3的倍数的数，所以所有输出值的和54171311751=+++++.
17．【答案】
+
=1 ．
【解析】解：设动圆圆心为B ，半径为r ，圆B 与圆C 的切点为D ，
∵圆C ：（x+4）2+y 2
=100的圆心为C （﹣4，0），半径R=10，
∴由动圆B 与圆C 相内切，可得|CB|=R ﹣r=10﹣|BD|， ∵圆B 经过点A （4，0），
∴|BD|=|BA|，得|CB|=10﹣|BA|，可得|BA|+|BC|=10， ∵|AC|=8＜10，
∴点B 的轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆，
设方程为（a＞b＞0），可得2a=10，c=4，
∴a=5，b2=a2﹣c2=9，得该椭圆的方程为+=1．
故答案为：+=1．
18．【答案】．
【解析】解：∵=1﹣bi，∴a=（1+i）（1﹣bi）=1+b+（1﹣b）i，
∴，解得b=1，a=2．
∴|a﹣bi|=|2﹣i|=．
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意得解得a=2，b=1，
所以椭圆方程为．
（Ⅱ）（i）由已知，直线MN的斜率存在，
设直线MN方程为y=kx﹣，M（x1，y1），N（x2，y2）．
由得（1+4k2）x2﹣4kx﹣3=0，
∴x1+x2=，x1x2=，
又．
所以S△PMN=|PD|•|x1﹣x2|=
=．
令t=，则t≥，k2
=
所以S△PMN=，
令h（t）=，t∈[，+∞），则h′（t）=1﹣=＞0，所以h（t）在[，+∞），单调递增，
则t=，即k=0时，h（t）的最小值，为h（）=，
所以△PMN面积的最大值为．
（ii）假设存在△PMN是以O为中心的等边三角形．
（1）当P在y轴上时，P的坐标为（0，1），则M，N关于y轴对称，MN的中点Q在y轴上．
又O为△PMN的中心，所以，可知Q（0，﹣），M（﹣，），N（，）．
从而|MN|=，|PM|=，|MN|≠|PM|，与△PMN为等边三角形矛盾．
（2）当P在x轴上时，同理可知，|MN|≠|PM|，与△PMN为等边三角形矛盾．
（3）当P不在坐标轴时，设P（x0，y0），MN的中点为Q，则k OP=，
又O为△PMN的中心，则，可知．
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=2x Q=﹣x0，y1+y2=2y Q=﹣y0，
又x12+4y12=4，x22+4y22=4，两式相减得k MN=，
从而k MN =．
所以k OP •k MN =
•（
）=
≠﹣1，
所以OP 与MN 不垂直，与等边△PMN 矛盾． 综上所述，不存在△PMN 是以O 为中心的等边三角形．
【点评】本小题考查点到直线的距离公式、椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、分析解决问题能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、特殊与一般思想、化归与转化思想
20．【答案】
【解析】解：∵
，
∴f ′（x ）=3x 2
﹣x ﹣2=（3x+2）（x ﹣1），
∴当x ∈[﹣1，﹣），（1，2]时，f ′（x ）＞0；
当x ∈（﹣，1）时，f ′（x ）＜0；
∴f （x ）在[﹣1，﹣），（1，2]上单调递增，在（﹣，1）上单调递减；
且f （﹣）=﹣
﹣×+2×+5=5+
，f （2）=8﹣×4﹣2×2+5=7；
故f max （x ）=f （2）=7；
故对于任意x ∈[﹣1，2]都有f （x ）＜m 成立可化为7＜m ；
故实数m 的取值范围为（7，+∞）．
【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于中档题．
21．【答案】
【解析】（Ⅰ）因为网购金额在2000元以上的频率为40.， 所以网购金额在2000元以上的人数为10040.⨯=40 所以4030=+y ，所以10=y ，……………………1分
15=x ，……………………2分
所以10150.,.==q p ……………………4分
⑵由题设列联表如下
……………………7分
所以)
)()()(()(d b c a d c b a bc ad n K ++++-=2
2
=
5656040257554020351002.)(≈⨯⨯⨯⨯-⨯…………9分 因为0245565..>……………………10分
所以据此列联表判断，有597.%的把握认为网购金额超过2000元与网龄在三年以上有关．
……………………12分 22．【答案】 23．【答案】
【解析】解：（1）当a=1时，依题意得x 2
﹣3x+2≤0
因式分解为：（x ﹣2）（x ﹣1）≤0， 解得：x ≥1或x ≤2． ∴1≤x ≤2．
不等式的解集为{x|1≤x ≤2}．
（2）依题意得x 2﹣3ax+2a 2
＜0
∴（x ﹣a ）（x ﹣2a ）＜0… 对应方程（x ﹣a ）（x ﹣2a ）=0 得x 1=a ，x 2=2a 当a=0时，x ∈∅．
当a ＞0时，a ＜2a ，∴a ＜x ＜2a ； 当a ＜0时，a ＞2a ，∴2a ＜x ＜a ；
综上所述，当a=0时，原不等式的解集为∅； 当a ＞0时，原不等式的解集为{x|a ＜x ＜2a}； 当a ＜0时，原不等式的解集为{x|2a ＜x ＜a}；
24．【答案】
【解析】解：（1）由题意得
e=
=
，a 2=2b ，a 2﹣b 2=c 2，
解得
a=
，b=c=1
故椭圆的方程为x 2
+
=1；
（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
线段AB的中点为M（x0，y0）．
联立直线y=x+m与椭圆的方程得，
即3x2+2mx+m2﹣2=0，
△=（2m）2﹣4×3×（m2﹣2）＞0，即m2＜3，
x1+x2=﹣，
所以x0==﹣，y0=x0+m=，
即M（﹣，）．又因为M点在圆x2+y2=5上，
可得（﹣）2+（）2=5，
解得m=±3与m2＜3矛盾．
故实数m不存在．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查存在性问题的解法，属于中档题．。