下花园区第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

下花园区第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知在S n 中有S 17＜0，S 18＞0，那么S n 中最小的是（ ） A ．S 10 B ．S 9
C ．S 8
D ．S 7
2． 点集{（x ，y ）|（|x|﹣1）2
+y 2=4}表示的图形是一条封闭的曲线，这条封闭曲线所围成的区域面积是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 已知全集I={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，那么∁I （A ∩B ）等于（ ） A ．{3，4} B ．{1，2，5，6} C ．{1，2，3，4，5，6} D ．∅
4． 若，，且，则λ与μ的值分别为（ ）
A ．
B ．5，2
C ．
D ．﹣5，﹣2
5． 已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． =0.08x+1.23
6． 某大学数学系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ）
A ．80
B ．40
C ．60
D ．20
7． 设α、β是两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，命题p ：若平面α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；命题q ：l ∥α，m ⊥l ，m ⊂β，则β⊥α，则下列命题为真命题的是（ ）
A ．p 或q
B ．p 且q
C ．￢p 或q
D ．p 且￢q
8． 已知f （x ）=m •2x +x 2+nx ，若{x|f （x ）=0}={x|f （f （x ））=0}≠∅，则m+n 的取值范围为（ ） A ．（0，4） B ．[0，4） C ．（0，5] D ．[0，5]
9． 已知x ，y 满足约束条件，使z=ax+y 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为（ ）
A ．﹣3
B ．3
C ．﹣1
D ．1
10．奇函数()f x 满足()10f =，且()f x 在()0+∞，上是单调递减，则
()()
21
0x f x f x -<--的解集为（ ）
A ．()11-，
B ．()
()11-∞-+∞，，
C ．()1-∞-，
D ．()1+∞，
11．已知
22(0)()|log |(0)
x x f x x x ⎧≤=⎨
>⎩，则方程[()]2f f x =的根的个数是（ ）
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个
12．已知函数()21
11
x f x x ++=+，则曲线()y f x =在点()()11f ，处切线的斜率为（ ）
A ．1
B ．1-
C ．2
D ．2-
二、填空题
13．已知一个动圆与圆C ：（x+4）2+y 2
=100相内切，且过点A （4，0），则动圆圆心的轨迹方程 ．
14．已知f （x ），g （x ）都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：
①f （x ）=a x g （x ）（a ＞0，a ≠1）； ②g （x ）≠0；
③f （x ）g'（x ）＞f'（x ）g （x ）；
若
，则a= ．
15．给出下列四个命题：
①函数f （x ）=1﹣2sin 2的最小正周期为2π； ②“x 2﹣4x ﹣5=0”的一个必要不充分条件是“x=5”；
③命题p ：∃x ∈R ，tanx=1；命题q ：∀x ∈R ，x 2﹣x+1＞0，则命题“p ∧（￢q ）”是假命题； ④函数f （x ）=x 3﹣3x 2+1在点（1，f （1））处的切线方程为3x+y ﹣2=0．
其中正确命题的序号是 ．
16．某公司租赁甲、乙两种设备生产A B ，两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费用为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为__________元. 17．在三角形ABC 中，已知AB=4，AC=3，BC=6，P 为BC 中点，则三角形ABP 的周长为 ．
18．在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则此三角形的最大内角的度数等 于__________.
三、解答题
19．【无锡市2018届高三上期中基础性检测】在一块杂草地上有一条小路AB,现在小路的一边围出一个三角
形（如图）区域，在三角形ABC 内种植花卉.已知AB 长为1千米，设角,C θ=AC 边长为BC 边长的()1a a >倍，三角形ABC 的面积为S （千米2）. 试用θ和a 表示S ；
（2）若恰好当60θ=时，S 取得最大值，求a 的值.
20．某公司对新研发的一种产品进行合理定价，且销量与单价具有相关关系，将该产品按事先拟定的价格进行
（1）现有三条y 对x 的回归直线方程： =﹣10x+170； =﹣20x+250；
=﹣15x+210；根据所学的统计
学知识，选择一条合理的回归直线，并说明理由．
（2）预计在今后的销售中，销量与单价服从（1）中选出的回归直线方程，且该产品的成本是每件5元，为使公司获得最大利润，该产品的单价应定多少元？（利润=销售收入﹣成本）
21．（本小题满分13分）
设1
()1f x x
=+，数列{}n a 满足：112a =，1(),n n a f a n N *+=∈．
（Ⅰ）若12,λλ为方程()f x x =的两个不相等的实根，证明：数列12n n a a λλ⎧⎫
-⎨⎬-⎩⎭
为等比数列；
（Ⅱ）证明：存在实数m ，使得对n N *
∀∈，2121222n n n n a a m a a -++<<<<．
）
22．已知函数f （x ）
=1+
（﹣2＜x ≤2）．
（1）用分段函数的形式表示函数； （2）画出该函数的图象； （3）写出该函数的值域．
23．如图，正方形ABCD 中，以D 为圆心、DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆O 交于点F ，连接CF 并延长交AB 于点E ． （Ⅰ）求证：AE=EB ；
（Ⅱ）若EF •
FC=，求正方形ABCD 的面积．
24．【南通中学2018届高三10月月考】设，，函数，其中是自然对数的底数，曲线
在点处的切线方程为.
（Ⅰ）求实数、的值；
（Ⅱ）求证：函数存在极小值；
（Ⅲ）若，使得不等式成立，求实数的取值范围.
下花园区第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：∵S 16＜0，S 17＞0， ∴
=8（a 8+a 9）＜0，
=17a 9＞0，
∴a 8＜0，a 9＞0， ∴公差d ＞0． ∴S n 中最小的是S 8． 故选：C ．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2． 【答案】A
【解析】解：点集{（x ，y ）|（|x|﹣1）2+y 2
=4}表示的图形是一条封闭的曲线，关于x ，y 轴对称，如图所示．
由图可得面积S==+=+2．
故选：A ．
【点评】本题考查线段的方程特点，由曲线的方程研究曲线的对称性，体现了数形结合的数学思想．
3． 【答案】B 【解析】解：∵A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，
∴A ∩B={3，4}，
∵全集I={1，2，3，4，5，6}， ∴∁I （A ∩B ）={1，2，5，6}， 故选B ． 【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价
转化．
4． 【答案】A
【解析】解：由，得
．
又，，
∴，解得．
故选：A ．
【点评】本题考查了平行向量与共线向量，考查向量的性质，大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化，该题是基础题．
5． 【答案】C
【解析】解：法一：
由回归直线的斜率的估计值为1.23，可排除D 由线性回归直线方程样本点的中心为（4，5）， 将x=4分别代入A 、B 、C ，其值依次为8.92、9.92、5，排除A 、B
法二：
因为回归直线方程一定过样本中心点，
将样本点的中心（4，5）分别代入各个选项，只有C 满足，
故选C
【点评】本题提供的两种方法，其实原理都是一样的，都是运用了样本中心点的坐标满足回归直线方程．
6． 【答案】B
【解析】解：∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，
∴三年级要抽取的学生是×200=40，
故选：B ．
【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例，本题也可以先做出三年级学生数和每个个体被抽到的概率，得到结果．
7． 【答案】 C
【解析】解：在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中
命题p ：平面AC 为平面α，平面A 1C 1为平面β，直线A 1D 1，和直线AB 分别是直线m ，l ，
显然满足α∥β，l ⊂α，m ⊂β，而m 与l 异面，故命题p 不正确；﹣p 正确；
命题q：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，
直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，
显然满足l∥α，m⊥l，m⊂β，而α∥β，故命题q不正确；﹣q正确；
故选C．
【点评】此题是个基础题．考查面面平行的判定和性质定理，要说明一个命题不正确，只需举一个反例即可，否则给出证明；考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．
8．【答案】B
【解析】解：设x1∈{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}，
∴f（x1）=f（f（x1））=0，
∴f（0）=0，
即f（0）=m=0，
故m=0；
故f（x）=x2+nx，
f（f（x））=（x2+nx）（x2+nx+n）=0，
当n=0时，成立；
当n≠0时，0，﹣n不是x2+nx+n=0的根，
故△=n2﹣4n＜0，
故0＜n＜4；
综上所述，0≤n+m＜4；
故选B．
【点评】本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根的判断，属于中档题．
9．【答案】D
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=ax+y，得y=﹣ax+z，
若a=0，此时y=z，此时函数y=z只在B处取得最小值，不满足条件．
若a＞0，则目标函数的斜率k=﹣a＜0．
平移直线y=﹣ax+z ，
由图象可知当直线y=﹣ax+z 和直线x+y=1平行时，此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个， 此时﹣a=﹣1，即a=1．
若a ＜0，则目标函数的斜率k=﹣a ＞0． 平移直线y=﹣ax+z ，
由图象可知当直线y=﹣ax+z ，此时目标函数只在C 处取得最小值，不满足条件． 综上a=1． 故选：D ．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用z 的几何意义是解决本题的关键．注意要对a 进行分类讨论．
10．【答案】B 【解析】
试题分析：由
()()()()()2121
02102x x x f x f x f x f x --<⇒⇒-<--，即整式21x -的值与函数()f x 的值符号相反，当0x >时，210x ->；当0x <时，210x -<，结合图象即得()
()11-∞-+∞，，．
考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性；3、不等式. 11．【答案】C
【解析】由[()]2f f x =，设f （A ）=2,则f （x ）=A,则2log 2x =，则A=4或A=1
4
，作出f （x ）的图像，由数型结合，当A=1
4
时3个根，A=4时有两个交点，所以[()]2f f x =的根的个数是5个。

12．【答案】A 【解析】
试题分析：由已知得()2112x f x x x -=
=-，则()21
'f x x
=，所以()'11f =． 考点：1、复合函数；2、导数的几何意义. 二、填空题
13．【答案】
+
=1 ．
【解析】解：设动圆圆心为B ，半径为r ，圆B 与圆C 的切点为D ，
∵圆C ：（x+4）2+y 2
=100的圆心为C （﹣4，0），半径R=10，
∴由动圆B 与圆C 相内切，可得|CB|=R ﹣r=10﹣|BD|， ∵圆B 经过点A （4，0），
∴|BD|=|BA|，得|CB|=10﹣|BA|，可得|BA|+|BC|=10， ∵|AC|=8＜10，
∴点B 的轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆，
设方程为
（a ＞b ＞0），可得2a=10，c=4，
∴a=5，b 2=a 2﹣c 2
=9，得该椭圆的方程为
+
=1．
故答案为： +=1．
14．【答案】 ．
【解析】解：由得
，
所以
．
又由f （x ）g'（x ）＞f'（x ）g （x ），即f （x ）g'（x ）﹣f'（x ）g （x ）＞0
，也就是
，说明函数
是减函数，
即
，故．
故答案为
【点评】本题考查了应用导数判断函数的单调性，做题时应认真观察．
15．【答案】 ①③④ ．
【解析】解：①
∵
，∴T=2π，故①正确；
②当x=5时，有x 2﹣4x ﹣5=0，但当x 2﹣4x ﹣5=0时，不能推出x 一定等于5，故“x=5”是“x 2﹣4x ﹣5=0”成立
的充分不必要条件，故②错误； ③易知命题p
为真，因为＞0，故命题q 为真，所以p ∧（￢q ）为假命题，故③正
确；
④∵f ′（x ）=3x 2﹣6x ，∴f ′（1）=﹣3，∴在点（1，f （1））的切线方程为y ﹣（﹣1）=﹣3（x ﹣1），即3x+y ﹣2=0，故④正确．
综上，正确的命题为①③④． 故答案为①③④．
16．【答案】2300 【解析】111]
试题分析：根据题意设租赁甲设备，乙设备，则⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥+≥+≥≥140
20y 10x 506y 5x 0y 0x ，求目标函数300y 200x Z +=的
最小值.作出可行域如图所示，从图中可以看出，直线在可行域上移动时，当直线的截距最小时，取最小值2300.
1111]
考点：简单线性规划.
【方法点晴】本题是一道关于求实际问题中的最值的题目，可以采用线性规划的知识进行求解；细查题意，设甲种设备需要生产天，乙种设备需要生产y 天，该公司所需租赁费为Z 元，则y x Z 300200+=，接下来列出满足条件的约束条件，结合目标函数，然后利用线性规划的应用，求出最优解，即可得出租赁费的最小值.
17．【答案】 7+
【解析】解：如图所示， 设∠APB=α，∠APC=π﹣α． 在△ABP 与△APC 中，
由余弦定理可得：AB 2=AP 2+BP 2
﹣2AP •BPcos α，
AC 2=AP 2+PC 2﹣2AP •PCcos （π﹣α），
∴AB 2+AC 2=2AP 2
+， ∴42+32=2AP 2+
，
解得AP=．
∴三角形ABP 的周长=7+．
故答案为：7+
．
【点评】本题考查了余弦定理的应用、中线长定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．【答案】120 【解析】
考
点：解三角形．
【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理、余弦定理的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于基础题，本题的解答中根据
sin :sin :sin 3:5:7A B C =，根据正弦定理，可设3,5,7a b ===，即可利用余弦定理求解最大角的余弦，
熟记正弦、余弦定理的公式是解答的关键．
三、解答题
19．【答案】（1）21sin 212cos a S a a θ
θ
=
⋅+- （2）2a =【解析】试题
解析：
（1）设边BC x =，则AC ax =， 在三角形ABC 中，由余弦定理得：
22212cos x ax ax θ=+-，
所以2
2112cos x a a θ=+-，
所以2
11sin 2212cos a S ax x sin a a θ
θθ
=⋅⋅=⋅+-，
（2）因为()
()
2
2
2cos 12cos 2sin sin 1212cos a a a a a S a a θθθθ
θ
+--⋅=+-'⋅， ()
()
22
2
2cos 121212cos a a a
a a θθ
+-=⋅+-， 令0S '=，得02
2cos ,1a
a θ=
+ 且当0θθ<时，02
2cos 1a
a θ>+，0S '>， 当0θθ>时，02
2cos 1a
a θ<+，0S '<，
所以当0θθ=时，面积S 最大，此时0060θ=，所以2
21
12
a a =+，
解得2a = 因为1a >
，则2a =点睛：解三角形的实际应用，首先转化为几何思想，将图形对应到三角形，找到已知条件，本题中对应知道一个角，一条边，及其余两边的比例关系，利用余弦定理得到函数方程；面积最值的处理过程中，若函数比较复杂，则借助导数去求解最值。

20．【答案】 【解析】（1
）
=
（8+8.2+8.4+8.6+8.8+9）=8.5
，
=
（90+84+83+80+75+68）=80；
∵
（
，
）在回归直线上， ∴
选择
=﹣20x+250；
（2）利润w=（x ﹣5）（﹣20x+250）=﹣20x 2+350x ﹣1250=﹣20（x ﹣8.75）2
+281.25，
∴当x=8.75元时，利润W 最大为281.25（万元）， ∴当单价定8.75元时，利润最大281.25（万元）．
21．【答案】
【解析】解：证明：2
()10f x x x x =⇔+-=，∴2112221010λλλλ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，∴211
2
22
11λλλλ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩． ∵1
21111111
1212
222222
21
11111n n n n n n n n n n
a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ++--+----====⋅------+， （3分）
11120a a λλ-≠-，12
0λ
λ≠，
∴数列12n n a a λλ⎧⎫
-⎨
⎬-⎩⎭
为等比数列． （4分）
（Ⅱ）证明：设m =
()f m m =． 由112a =及111n n
a a +=+得223a =，335a =，∴130a a m <<<．
∵()f x 在(0,)+∞上递减，∴13()()()f a f a f m >>，∴24a a m >>．∴1342a a m a a <<<<，（8分） 下面用数学归纳法证明：当n N *
∈时，2121222n n n n a a m a a -++<<<<．
①当1n =时，命题成立． （9分）
②假设当n k =时命题成立，即2121222k k k k a a m a a -++<<<<，那么 由()f x 在(0,)+∞上递减得2121222()()()()()k k k k f a f a f m f a f a -++>>>> ∴2222321k k k k a a m a a +++>>>>
由2321k k m a a ++>>得2321()()()k k f m f a f a ++<<，∴2422k k m a a ++<<， ∴当1n k =+时命题也成立， （12分）
由①②知，对一切n N *
∈命题成立，即存在实数m ，使得对n N *
∀∈，2121222n n n n a a m a a -++<<<<.
22．【答案】
【解析】解：（1）函数f （x ）
=1+
=
，
（2）函数的图象如图：
．
（3）函数值域为：[1，3）．
23．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）∵以D 为圆心、DA 为半径的圆弧与以BC 为直径半圆交于点F ， 且四边形ABCD 为正方形，
∴EA为圆D的切线，且EB是圆O的切线，
由切割线定理得EA2=EF•EC，
故AE=EB．
（Ⅱ）设正方形的边长为a，连结BF，
∵BC为圆O的直径，∴BF⊥EC，
在Rt△BCE中，由射影定理得EF•FC=BF2=，
∴BF==，解得a=2，
∴正方形ABCD的面积为4．
【点评】本题考查两线段相等的证明，考查正方形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
24．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【解析】试题分析：
（Ⅰ）利用导函数研究函数的切线，得到关于实数a,b的方程组，求解方程组可得；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）中求得的函数的解析式首先求解导函数，然后利用导函数讨论函数的单调性即可确定函数存在极小值；
试题解析：
（Ⅰ）∵，∴，由题设得，∴；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴，∴，∴函数在
是增函数，∵，，且函数图像在上不间断，∴，使得
）
∴函数存在极小值；
（Ⅲ），使得不等式成立，即，使得不等式成立……
（*），令，，
则，
∴结合（Ⅱ）得，其中，满足，
即，∴，，∴，∴，，∴在内单调递增，
∴，
结合（*）有，即实数的取值范围为．。