【好题】高中必修二数学下期中一模试卷附答案

【好题】高中必修二数学下期中一模试卷附答案
一、选择题
1．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线0l ：220x y --=的倾斜角的2倍，则直线l
的方程为（ ） A ．4330x y --= B ．3430x y --= C ．3440x y --=
D ．4340x y --=
2．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A ．若//l α，//l β，则//αβ
B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ
C ．若l α⊥，//l β，则//αβ
D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥
3．设α表示平面，a ，b 表示直线，给出下列四个命题：①a α//，a b b α⊥⇒//； ②a b //，a b αα⊥⇒⊥；③a α⊥，a b b α⊥⇒⊂；④a α⊥，b a b α⊥⇒//，其中正确命题的序号是（ ） A ．①②
B ．②④
C ．③④
D ．①③
4．直线20x y ++=截圆2
2
2210x y x y a ++-+-=所得弦的长度为4，则实数a 的值是（ ） A ．－3
B ．－4
C ．－6
D ．36-
5．如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD 外接球的表面积为
A ．20π
B ．
125
6
π C ．25π D ．100π
6．在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中， AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）
A ．
12
B ．12
-
C 3
D ．3
7．从点(,3)P m 向圆22(2)(2)1x y +++=引切线，则切线长的最小值( ) A ．26
B ．5
C ．26
D ．42+
8．矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角
B A
C
D --，则四面体ABCD 的外接球的体积是（ ）
A ．
125
12
π B ．
125
9
π C ．
125
6
π D ．
125
3
π 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，11111,2AA A D a A B a ===，点P 在线段1AD 上运动，当异面直线CP 与1BA 所成的角最大时，则三棱锥11C PA D -的体积为（ ）
A ．34a
B ．33a
C ．32
a
D ．3a 3a
10．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )
A ．a
B ．
2
a C ．2a
D ．
2a 11．已知直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈与圆()()2
2
1225x y -+-=交于A ，
B 两点，则弦长AB 的取值范围是（ ）
A ．[]4,10
B ．[]3,5
C ．[]8,10
D ．[]6,10
12．如图在正方体中，点为线段
的中点. 设点在线段
上，直
线
与平面
所成的角为，则
的取值范围是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是线段AB 、AD 、AA 1的中点，又P 、Q 分别在线段A 1B 1、A 1D 1上，且A 1P ＝A 1Q ＝x (0<x <1).设平面MEF ∩平面MPQ
＝l ，现有下列结论：
①l ∥平面ABCD ； ②l ⊥AC ；
③直线l 与平面BCC 1B 1不垂直； ④当x 变化时，l 不是定直线.
其中不成立的结论是________.(写出所有不成立结论的序号)
14．已知三棱锥P ABC -中，侧面PAC ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，
23PA PC ==，则三棱锥P ABC -外接球的半径为______.
15．已知一束光线通过点()3,5A -，经直线l ：0x y +=反射，如果反射光线通过点
()2,5B ，则反射光线所在直线的方程是______.
16．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB 、AD 、1AA 所成的角都相等，这样的直线l 可以作_________条.
17．如图，在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .
18．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 是棱1BB 的中点，则点1B 到平面
ADE 的距离为__________.
19．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且三棱锥的最长的棱长为2，则此三棱锥的外接球体积为_____________.
20．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，则直线BE 和平面11ABB A 所成的角的正弦值为_____________.
三、解答题
21．如图，在三棱台DEF ABC -中，2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点．
（Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ；
（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ,,AB BC CF DE ⊥=，
45BAC ∠=o ，求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小．
22．如图，ABCD 是正方形，O 是该正方体的中心，P 是平面ABCD 外一点，PO ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点.
（1）求证：//PA 平面BDE ； （2）求证：BD ⊥平面PAC .
23．已知圆C 的圆心坐标()1,1，直线l ：1x y +=被圆C 截得弦长为2. （1）求圆C 的方程；
（2）从圆C 外一点()2,3P 向圆引切线，求切线方程.
24．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA PD ⊥，底面
ABCD 是直角梯形，其中//BC AD ，90BAD ∠=︒，3AD BC =，2AO OD =.
（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD .
（2）试问在棱PA 上是否存在点E ，使得面//BOE 面PCD ，若存在，试指出点E 的位置并证明；若不存在，请说明理由.
25．已知直线1:20l ax y a +--=，22:0l x ay ++=，点(5,0)P - （1）当12//l l 时，求a 的值；
（2）求直线1l 所过的定点Q ，并求当点P 到直线1l 的距离最大时直线1l 的方程. 26．如图，正方体1111ABCDA B C D 的棱长为2，E F M 、、分别是1111C B C D ，和AB 的中点．
（1）求证：1//MD 平面BEFD ． （2）求M 到平面BEFD 的距离．
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一、选择题 1．D 解析：D 【解析】
设直线0l 的倾斜角为α，则斜率01
tan 2
k α==
，所以直线l 的倾斜角为2α，斜率2
2tan 4tan 21tan 3k ααα==
=-，又经过点（1,0），所以直线方程为4
(1)3
y x =-，即4340x y --=，选D.
2．B
解析：B 【解析】
A 中，,αβ也可能相交；
B 中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；
C 中，,αβ也可能相交；
D 中，l 也可能在平面β内. 【考点定位】点线面的位置关系
3．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
①a ∥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故①错误； ②若a ∥b ，a ⊥α，由直线与平面垂直和判定定理得b ⊥α，故②正确； ③a ⊥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故③错误； ④若a ⊥α，b ⊥α，则由直线与平面垂直的性质得a ∥b ，故④正确． 故选B ．
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
求出圆心坐标和半径，根据圆的弦长公式，进行求解即可. 【详解】
由题意，根据圆的方程2
2
2210x y x y a ++-+-=，即2
2
(1)(1)2x y a ++-=-，
则圆心坐标为(1,1)-，半径r =
又由圆心到直线的距离为d =
=
所以由圆的弦长公式可得4=，解得3a =-，故选A. 【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系的因公，以及弦长公式的应用，其中根据圆的方程，求得圆心坐标和半径，合理利用圆的弦长公式列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
5．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】
由三视图可知，这是三棱锥的三视图，如下图所示，三角形BCD 为等腰直角三角形， 其外心为BD 中点1O ，设O 为AD 中点， 则O 为外接球球心，
半径长度为
1522
AD =， 所以表面积为25π.
6．A
解析：A 【解析】
如图，分别取,,,BC CD AD BD 的中点,,,M N P Q ，连,,,MN NP PM PQ ，
则,MN BD NP AC P P ，
∴PNM ∠即为异面直线AC 和BD 所成的角（或其补角）． 又由题意得PQ MQ ⊥，11
,22
PQ AB MQ CD =
=. 设2AB BC CD ===，则2PM =
又11
2,222
MN BD NP AC =
=== ∴PNM ∆为等边三角形， ∴60PNM =︒∠，
∴异面直线AC 与BD 所成角为60︒，其余弦值为1
2
．选A ． 点睛：
用几何法求空间角时遵循“一找、二证、三计算”的步骤，即首先根据题意作出所求的角，并给出证明，然后将所求的角转化为三角形的内角．解题时要注意空间角的范围，并结合解三角形的知识得到所求角的大小或其三角函数值．
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
设切线长为d ,则2222
(2)51(2)24d m m =++-=++再利用二次函数的图像和性质求函数的最小值得解. 【详解】
设切线长为d ,则2
2
2
2
(2)51(2)24d m m =++-=++, min 26d ∴=. 故选:A. 【点睛】
本题主要考查圆的切线问题,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
由矩形的对角线互相平分且相等即球心到四个顶点的距离相等推出球心为AC 的中点，即可求出球的半径，代入体积公式即可得解. 【详解】
因为矩形对角线互相平分且相等，根据外接球性质易知外接球球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC 上，且球的半径为AC 长度的一半，
即22115222r AC AB BC ==+=，所以3
34451253326
V r π
ππ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭.
故选：C 【点睛】
本题考查球与几何体的切、接问题，二面角的概念，属于基础题.
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大，由此能求出当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时，三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积． 【详解】
如图，当P 与A 重合时，
异面直线CP 与BA 1所成的角最大， ∴当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时， 三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积：
11C PA D V -=11C AA D V -=11
13AA D S AB ⨯⨯V =1111132AA A D AB ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=11232a a a ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=
3
3
a ． 故选:B ． 【点睛】
求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．
10．D
解析：D 【解析】 【分析】
设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求
HI 的长度即可.
【详解】
解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点， 则ABEG 四点共面， 且平面1//A BGE 平面1B HI ， 又1//B F Q 面1A BE ，
F ∴落在线段HI 上，
Q 正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，
112
2HI CD a ∴==，
即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是2
2
a ． 故选D ．
【点睛】
本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.
11．D
解析：D 【解析】 【分析】
由直线()()21110k x k y ++++=，得出直线恒过定点()1,2P -，再结合直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】
由直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈，可得()210k x y x y ++++=， 又由2010x y x y +=⎧⎨
++=⎩，解得1
2
x y =⎧⎨=-⎩，即直线恒过定点()1,2P -，圆心()1,2C ，
当CP l ⊥时弦长最短，此时2
22
2AB CP r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，解得min 6AB =，
再由l 经过圆心时弦长最长为直径210r =， 所以弦长AB 的取值范围是[]6,10. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
12．B
解析：B 【解析】
【分析】
【详解】
设正方体的棱长为，则，所以
，
.
又直线与平面所成的角小于等于，而为钝角，所以的范围为，选B.
【考点定位】
空间直线与平面所成的角.
二、填空题
13．④【解析】【详解】连接BDB1D1∵A1P＝A1Q＝x∴PQ∥B1D1∥BD∥EF则P Q∥平面MEF又平面MEF∩平面MPQ＝l∴PQ∥ll∥EF∴l∥平面ABCD故①成立；又EF⊥AC∴l⊥AC故
解析：④
【解析】
【详解】
连接BD，B1D1，∵A1P＝A1Q＝x，∴PQ∥B1D1∥BD∥EF，则PQ∥平面MEF，
又平面MEF∩平面MPQ＝l，∴PQ∥l，l∥EF，
∴l∥平面ABCD，故①成立；
又EF⊥AC，∴l⊥AC，故②成立；
∵l∥EF∥BD，故直线l与平面BCC1B1不垂直，故③成立；
当x变化时，l是过点M且与直线EF平行的定直线，故④不成立．
即不成立的结论是④.
14．【解析】【分析】设三棱锥外接球球心为半径为如图所示作辅助线设则解得答案【详解】设三棱锥外接球球心为半径为故在平面的投影为中点为中点故侧面底面故底面连接作于易知为矩形设则解得故答案为：【点睛】本题考查 34
【解析】 【分析】
设三棱锥P ABC -外接球球心为O ，半径为R ，如图所示作辅助线，设1OO h =，则
()2
22
222
1R PD h OH R h CO ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩
，解得答案. 【详解】
设三棱锥P ABC -外接球球心为O ，半径为R ，
90BAC ∠=︒，故O 在平面ABC 的投影为BC 中点1O ，D 为AC 中点，
PA PC =，故PD AC ⊥，侧面PAC ⊥底面ABC ，故PD ⊥底面ABC .
连接1O D ，作OH PD ⊥于H ，易知1OO DH 为矩形，设1OO h =，
则()2
22222
1R PD h OH R h CO ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩
，22PD =，12OH DO ==，122CO =34R =
34
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
15．【解析】【分析】计算关于直线的对称点为计算直线得到答案【详解】设关于直线的对称点为故故故反射光线为：化简得到故答案为：【点睛】本题考查了直线的反射问题找出对称点是解题的关键 解析：27310x y -+=
【解析】 【分析】
计算()3,5A -关于直线0x y +=的对称点为()15,3A -，计算直线1A B 得到答案.
【详解】
设()3,5A -关于直线0x y +=的对称点为()1,A x y ，故513
350
22y x x y -⎧
=⎪⎪+⎨-+⎪+=⎪⎩，故()15,3A -. 故反射光线为1A B ：()53
2525
y x -=-++，化简得到27310x y -+=. 故答案为：27310x y -+=.
【点睛】
本题考查了直线的反射问题，找出对称点是解题的关键.
16．【解析】【分析】将小正方体扩展成4个小正方体根据直线夹角的定义即可判断出符合条件的条数【详解】解：设ABCD ﹣A1B1C1D1边长为1第一条：AC1是满足条件的直线；第二条：延长C1D1到C1且D1 解析：4
【解析】
【分析】
将小正方体扩展成4个小正方体，根据直线夹角的定义即可判断出符合条件的条数． 【详解】
解：设ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1边长为1． 第一条：AC 1是满足条件的直线；
第二条：延长C 1D 1到C 1且D 1C 2＝1，AC 2是满足条件的直线； 第三条：延长C 1B 1到C 3且B 1C 3＝1，AC 3是满足条件的直线； 第四条：延长C 1A 1到C 4且C 4A 12=
，AC 4是满足条件的直线．
故答案为4． 【点睛】
本题考查满足条件的直线条数的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查分类与整合思想，是基础题．
17．【解析】中因为所以由余弦定理可得所以设则在中由余弦定理可得故在中由余弦定理可得所以过作直线的垂线垂足为设则即解得而的面积设与平面所成角为则点到平面的距离故四面体的体积设因为所以则（1）当时有故此时因 解析：
12
【解析】
ABC ∆中，因为2,120AB BC ABC ==∠=o ，
所以30BAD BCA ∠==o .
由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅
2222222cos12012=+-⨯⨯=o ，
所以23AC =
设AD x =，则023t <<23DC x =.
在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅
22222cos30x x =+-⋅o 2234x x =-+.
故2234BD x x =
-+
在PBD ∆中，PD AD x ==，2PB BA ==.
由余弦定理可得222222
2(2
34)3
cos
2222
PD PB BD x x x
BPD
PD PB x
+-+--+
∠===
⋅⋅⋅
，所以30
BPD
∠=o.
过P作直线BD的垂线，垂足为O.设PO d
=
则
11
sin
22
PBD
S BD d PD PB BPD
∆
=⨯=⋅∠，
2
11
2342sin30
22
x x d x
-+=⋅o，
解得
2234
d
x x
=
-+
.
而BCD
∆的面积
111
sin(23)2sin303)
222
S CD BC BCD x x
=⋅∠=⋅=
o.
设PO与平面ABC所成角为θ，则点P到平面ABC的距离sin
h dθ
=.
故四面体PBCD的体积
2
11111
sin(23)
33332234 BcD BcD BcD
V S h S d S d x
x x
θ
∆∆∆
=⨯=≤⋅=⨯
-+ 2
1(23)
6234
x x
x x
-
=
-+
设22
234(3)1
t x x x
=-+=-+023
x
≤≤12
t
≤≤.
则2
31
x t
-=-
（1）当03
x
≤≤时，有2
331
x x t
==-
故2
31
x t
=-
此时，
22
1(31)[23(31)]
t t
V
-----
=
2
1414
()
66
t
t
t t
-
=⋅=-.
2
14
()(1)
6
V t
t
=--
'，因为12
t
≤≤，
所以()0
V t'<，函数()
V t在[1,2]上单调递减，故
141
()(1)(1)
612
V t V
≤=-=.
（2x <≤x x =-=
故x =
此时，V =
21414
()66t t t t
-=⋅=-. 由（1）可知，函数()V t 在(1,2]单调递减，故141
()(1)(1)612
V t V <=-=. 综上，四面体PBCD 的体积的最大值为
1
2
. 18．【解析】【分析】点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于证得平面利用等面积法求得点到平面的距离也即点到平面的距离【详解】由于是的中点故点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于由于故平面在直角三角
【解析】 【分析】
点1B 到平面ADE 的距离等价于点B 到平面ADE 的距离，过B 作BF AE ⊥，交AE 于
F ，证得BF ⊥平面ADE ，利用等面积法求得点B 到平面ADE 的距离，也即点1B 到平
面ADE 的距离. 【详解】
由于E 是1BB 的中点，故点1B 到平面ADE 的距离等价于点B 到平面ADE 的距离，过B 作BF AE ⊥，交AE 于F ，由于BF AD ⊥，AD AE E ⋂=，故BF ⊥平面ADE .在直
角三角形ABE 中，11,,2AB BE AE ==
=
，所以1122AB BE AE BF ⋅⋅=⋅⋅,解得
BF =
.
【点睛】
本小题主要考查点到面的距离，考查等面积法求高，考查线面垂直的证明，属于基础题.
19．【解析】【分析】根据题意可得平面所以得出为三棱锥的最长边根据直角三角形的性质边的中点到三棱锥的各顶点距离都相等所以为球心球直径即为【详解】平面平面平面所以三棱锥中最长边为设中点为在中所以三棱锥的外接 解析：
43
π 【解析】 【分析】
根据题意可得，BC ⊥平面PAC ，所以BC PC ⊥，得出PB 为三棱锥的最长边，
PA AB ⊥，根据直角三角形的性质，PB 边的中点到三棱锥的各顶点距离都相等，所以为球心，球直径即为PB . 【详解】
PA ⊥Q 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥,
,,AC BC PA AC A BC ⊥=∴⊥I 平面PAC ，BC PC ⊥，
,,,,PB BC PB PC PA AC PC AC PC PA ∴>>⊥∴>>，
所以三棱锥中最长边为2PB =，
设PB 中点为O ，在,Rt PAB Pt PBC ∆∆中，
1
2
AO CO PB ==
，所以三棱锥的外接球的球心为O ， 半径为41,3
V π∴=
.
故答案为:43
π. 【点睛】
本题考查几何体的“切”“接”球问题，确定球心是解题的关键，考查空间垂直的应用，属于中档题.
20．【解析】【分析】作出直线和平面所成的角解直角三角形求得线面角的正弦值【详解】设为的中点连接根据正方体的性质可知平面所以是直线和平面所成的角设正方体的边长为在中所以故答案为：【点睛】本小题主要考查线面 解析：
23
【解析】 【分析】
作出直线BE 和平面11ABB A 所成的角，解直角三角形求得线面角的正弦值. 【详解】
设F 为1AA 的中点，连接,,EF EB BF ，根据正方体的性质可知EF ⊥平面11ABB A ，所以EBF ∠是直线BE 和平面11ABB A 所成的角.设正方体的边长为2，在Rt EBF ∆中
2EF =，2222213BE =++=，所以2
sin 3
EF EBF BE ∠=
=. 故答案为：
23
【点睛】
本小题主要考查线面角的求法，考查空间想象能力，属于基础题.
三、解答题
21．（Ⅰ）略；（Ⅱ）60o 【解析】
试题分析：（Ⅰ）思路一：连接,DG CD ，设CD GF O ⋂=，连接OH ，先证明
//OH BD ，从而由直线与平面平行的判定定理得//BD 平面HDF ；思路二：先证明平面//FGH 平面ABED ，再由平面与平面平行的定义得到//BD 平面HDF .
（Ⅱ）思路一：连接,DG CD ，设CD GF O ⋂=，连接OH ，证明,,GB GC GD 两两垂直, 以G 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -，利用空量向量的夹角公式求解；思路二：作HM AC ⊥于点M ，作MN GF ⊥于点N ，连接NH ，证明MNH ∠即为所求的角，然后在三角形中求解. 试题解析：
（Ⅰ）证法一：连接,DG CD ，设CD GF O ⋂=，连接OH ， 在三棱台DEF ABC -中，
2,AB DE G =为AC 的中点
可得//,DF GC DF GC = 所以四边形DFCG 为平行四边形 则O 为CD 的中点 又H 为BC 的中点 所以//OH BD
又OH ⊂平面,FGH BD ⊂平面,FGH 所以//BD 平面FGH ．
证法二：
在三棱台DEF ABC -中， 由2,BC EF H =为BC 的中点 可得//,,BH EF BH EF = 所以四边形BHFE 为平行四边形 可得//BE HF
在ABC ∆中，G 为AC 的中点，H 为BC 的中点， 所以//GH AB
又GH HF H ⋂=，所以平面//FGH 平面ABED 因为BD ⊂平面ABED 所以//BD 平面FGH （Ⅱ）解法一： 设2AB =，则1CF = 在三棱台DEF ABC -中，
G 为AC 的中点
由
1
2
DF AC GC =
=， 可得四边形DGCF 为平行四边形， 因此//DG CF 又FC ⊥平面ABC 所以DG ⊥平面ABC
在ABC ∆中，由,45AB BC BAC o
⊥∠=，G 是AC 中点， 所以,AB BC GB GC =⊥ 因此,,GB GC GD 两两垂直,
以G 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -
所以())()
()0,0,0,2,0,0,2,0,0,0,1G B
C D
可得()
22,2,1H F ⎫⎪⎪⎝⎭
故()
22,2,122GH GF ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r
设(),,n x y z r
=是平面FGH 的一个法向量，则 由0,
{0,
n GH n GF ⋅=⋅=u u u r
r u u u r r 可得0{20x y z +=+=
可得平面FGH 的一个法向量(1,2n r
=-
因为GB uuu r
是平面ACFD 的一个法向量，(
)
2,0,0GB =
u
u u r
所以21cos ,2
22GB n GB n GB n ⋅===⋅u u u r r
u u u r r u u u r r
所以平面与平面所成的解（锐角）的大小为60o 解法二：
作HM AC ⊥于点M ，作MN GF ⊥于点N ，连接NH 由FC ⊥平面ABC ，得HM FC ⊥ 又FC AC C ⋂= 所以HM ⊥平面ACFD 因此GF NH ⊥
所以MNH ∠即为所求的角
在BGC ∆中,12//,,22
MH BG MH BG == 由GNM ∆∽GCF ∆ 可得
,MN GM
FC GF
= 从而6MN =
由MH ⊥平面,ACFD MN ⊂平面ACFD 得,MH MN ⊥ 因此tan 3HM
MNH MN
∠=
=所以60MNH ∠=o
所以平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小为60o .
考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、二面角的求法；3、空间向量在解决立体几何问题中的应用. 22．证明见解析． 【解析】
试题分析：（1）要证PA 与平面EBD 平行，而过PA 的平面PAC 与平面EBD 的交线为
EO ，因此只要证//PA EO 即可，这可由中位线定理得证；（2）要证BD 垂直于平面PAC ，就是要证BD 与平面PAC 内两条相交直线垂直，正方形中对角线BD 与AC 是垂直的，因此只要再证BD PO ⊥，这由线面垂直的性质或定义可得． 试题解析：证明：（1）连接EO ，∵四边形ABCD 为正方形， ∴O 为AC 的中点，
∵E 是PC 的中点，∴OE 是APC ∆的中位线.
∴//EO PA ，∵EO ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ， ∴//PA 平面BDE .
（2）∵PO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴PO BD ⊥，
∵四边形ABCD 是正方形， ∴AC BD ⊥，
∵PO AC O ⋂=，AC ⊂平面PAC ，PO ⊂平面PAC ， ∴BD ⊥平面PAC .
考点：线面平行与线面垂直的判断．
23．（1）()()2
2
111x y -+-=；（2）2x =和3460x y -+=. 【解析】 【分析】
()1设圆C 的半径为r ，根据圆心坐标写出圆的标准方程，利用点到直线的距离公式求出
圆心到直线l 的距离即为弦心距，然后根据垂径定理得到其垂足为弦的中点，由弦长的一半，圆心距及半径构成的直角三角形，根据勾股定理列出关于r 的方程，求出方程的解即可得到r 的值，从而确定圆C 的方程；
()2当切线方程的斜率不存在时，显然得到2x =为圆的切线；
当切线方程的斜率存在时，设出切线的斜率为k ，由p 的坐标和k 写出切线方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到所设直线的距离d ，根据直线与圆相切，得到d 等于圆的半
径，列出关于k 的方程，求出方程的解即可得到k 的值，从而确定出切线的方程，综上，得到所求圆的两条切线方程. 【详解】
（1）设圆C 的标准方程为： ()()2
2
211x y r -+-= (0)r > 圆心()1,1C 到直线10x y +-=的距离：
2
d =
=
，
则2
22
111222r d ⎛=+=+= ⎝⎭
∴圆C 的标准方程： ()()2
2
111x y -+-=
（2）①当切线斜率不存在时，设切线： 2x =，此时满足直线与圆相切. ②当切线斜率存在时，设切线： ()32y k x -=-，即23y kx k =-+ 则圆心()1,1C 到直线230kx y k --+=的距离：
1d =
=
解得： 43k =，即3
4k =
则切线方程为： 3460x y -+=
综上，切线方程为： 2x =和3460x y -+= 24．（1）见解析；（2）在棱PA 上存在点E 且E 满足
2AE
EP
=时能使得面//BOE 面PCD ，证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）可证PD ⊥平面PAB ，从而得到要证明的面面垂直. （2）在棱PA 上存在点E 且E 满足2AE
EP
=时能使得面//BOE 面PCD ， 利用面面平行的判断定理可证明该结论. 【详解】
（1）因为90BAD ∠=︒，故BA AD ⊥
又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD I 底面ABCD AD =，BA ⊂平面ABCD ， 所以BA ⊥平面PAD .
因为PD ⊂平面PAD ，故BA PD ⊥，
又因为PA PD ⊥，PA AB A =I ，PA ⊂平面PAB ，AB Ì平面PAB ， 所以PD ⊥平面PAB ，而PD ⊂平面PCD ，故平面PAB ⊥平面PCD . （2）在棱PA 上存在点E ，使得面//BOE 面PCD ，E 满足2AE
EP
=，证明如下： 因为
2AE
EP =，2AO OD =，所以D
AE EP AO O =，故//OE PD .
因为OE ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，故//OE 平面PCD .
因为//BC AD ，1
3
OD AD BC =
=，故//,OD BC OD BC =， 所以四边形BCDO 为平行四边形，故//BO CD ，
因为BO ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，故//BO 平面PCD .
因为BO ⊂平面EOB ，EO ⊂平面EOB ，BO EO O ⋂=， 故面//BOE 面PCD .
【点睛】
本题考查面面垂直的证明和面面平行的探索，前者注意空间中三种垂直关系的转化，后者应根据题设条件得到动点满足的位置特征，然后再根据判定定理来证明，本题属于中档题. 25．（1）1a =±;（2）(1,2)Q ;350x y +-=. 【解析】 【分析】
（1）由平行可知系数的关系为21a =，进而可求a 的值；
（2）整理直线1l 方程可知()120a x y -+-=，由10
20x y -=⎧⎨-=⎩
可求得定点坐标.
由分析知，当当(5,0)P -在直线上的射影为(1,2)Q 时，点P 到直线1l 距离最大，由
1PQ l ⊥可求出1l 的斜率，结合已知的1l 的方程，可求出此时a 的值，进而可求出直线1
l 的方程. 【详解】
解：（1）12//l l Q ，21a ∴=，解得1a =±
检验：当1a =时12:30:20l x y l x y +-=++=，符合12//l l 当1a =-时12:10:20l x y l x y -+=-+=，符合12//l l 综上：1a =±.
（2）解：1:20l ax y a +--=Q 整理可得()120a x y -+-= ，由10
20
x y -=⎧⎨
-=⎩ ，
解得1
2
x y =⎧⎨
=⎩ ，所以定点(1,2)Q .则当(5,0)P -在直线上的射影为(1,2)Q 时，距离最大. 此时1PQ l ⊥ ，直线PQ 的斜率为201153PQ k -==+，则1l 的斜率113PQ
k k =-=- ， 即3a -=-，解得3a =，此时直线1l 的方程为350x y +-=. 【点睛】
本题考查了两点斜率的求解，考查了直线平行、垂直.本题的难点是分析何时点P 到直线1l 的距离最大.易错点是做第一问时，求出1a =± 后未检验.对于已知直线平行，根据系数关系求出参数值后，应带回直线方程进行验证. 26．（1）见解析（2）2
3
【解析】 【分析】
（1）连接BF ，证明四边形1BMD F 是平行四边形即可得出1//D M BF ，故1//MD 平面
BEFD ；（2）根据M BDE E BDM V V --=求出M 到平面BEFD 的距离．
【详解】
解：（1）证明：连接BF ， ∵111111111111
////22
D F A B D F A B BM A B BM A B =
=，，，， ∴11//D F BM D F BM =，， ∴四边形1BMD F 是平行四边形， ∴1//D M BF ，
又1D M ⊄平面BEFD ，BF ⊂平面BEFD ， ∴1//MD 平面BEFD ． （2）解：连接ED EM DM ，，， 则112
122323
E BDM V -=⨯⨯⨯⨯=，
又3BD BE DE =
=====，
∴222cos 2BD BE DE DBE BD BE +-∠==
⋅，∴sin DBE ∠=
∴13210
BDE S =
⨯=V ， 设M 到平面BEFD 的距离为d ，则12
333
M BDE V d -=⨯⨯=， ∴23d =
．即M 到平面BEFD 的距离为2
3
．
【点睛】
本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．。