2021年优课系列高中数学北师大版选修2-2 5.1数系的扩充与复数的引入 课件(31张)

复数的代数运算
[典例] (1)i 为虚数单位，则11－＋ii2 018＝
A．－i
B．－1
C．i
D．1
(2)(2017·全国卷Ⅱ)31＋＋ii＝
A．1＋2i
B．1－2i
C．2＋i
D．2－i
(3)(2017·全国卷Ⅱ)(1＋i)(2＋i)＝
A．1－i
B．1＋3i
C．3＋i
D．3＋3i
() () ()
[解析] (1)∵11－ ＋ii＝1＋1i－1i－2 i＝1－22i－1＝－i， ∴11－ ＋ii2 018＝(－i)2 018 ＝(－i)2 016·(－i)2＝－1. (2)13＋＋ii＝31＋ ＋ii11－ －ii＝4－2 2i＝2－i. (3)(1＋i)(2＋i)＝2＋i2＋3i＝1＋3i. [答案] (1)B (2)D (3)B
02 题型二 复数的代数运算
03 题型三 复数的几何意义
04 课堂真题集中演练
目
录
05 高考达标检测
复数的有关概念
[典例] (1)设 i 是虚数单位．若复数 a－31－0 i(a∈R)是纯
虚数，则 a 的值为
()
A．－3
B．－1
C．1
D．3
(2)已知复数 z 满足1＋z i＝|2－i|，则 z 的共轭复数对应的
高考研究课(二) 数系的扩充与复数的 引入的命题3角度 ——概念、运算、意义
[全国卷 5 年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
复数的有关
虚部、模等有关概念与运算
概念
5年4考 结合考查
复数的几何
意义
5年2考 与运算结合考查几何意义
复数的运算 5年6考 考查乘法、除法、幂的运算
01 题型一 复数的有关概念
[即时演练] 1．设复数 z＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z＋z2＝
A．1＋i
B．1－i
C．－1－i
D．－1＋i
解析： 2z＋z2＝1＋2 i＋(1＋i)2＝1－i＋2i＝1＋i. 答案：A
()
2．已知复数 z＝1－3＋3ii2，z 是 z 的共轭复数，则 z·z ＝________. 解析：∵z＝1－3＋3ii2＝－2－3＋2 i 3i ＝－213＋＋i 3i＝－213＋＋i31i－1－3i3i ＝2 －3－8 2i＝－ 43＋14i，
故 z ＝－ 43－14i， ∴z·z ＝－ 43＋14i－ 43－14i＝136＋116＝14. 答案：14
3．已知 i 是虚数单位，1－2i2 018＋11＋ －ii6＝________. 解析：原式＝1－2i21 009＋11＋ －ii6＝－22i1 009＋i6＝i1 009＋i6＝ i4×252＋1＋i4＋2＝i＋i2＝－1＋i. 答案：－1＋i
∴z＝2－i，在复平面内对应的点(2，－1)位于第四象限． 答案：四
3．(2017·浙江高考)已知 a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i 是虚数单位)， 则 a2＋b2＝________，ab＝________. 解析：∵(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i， ∴a22a－b＝b24＝，3， ∴ab＝ ＝21， 或ab＝＝－－21，， ∴a2＋b2＝5，ab＝2. 答案：5 2
[方法技巧] 复数代数形式运算问题的解题策略
(1)复数的乘法 复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位 i 的看作一类同类项，不含 i 的看作另一类同类项，分别合并即可． (2)复数的除法 除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要 注意把 i 的幂写成最简形式．
[方法技巧] [提醒] 在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高 计算速度． (1)(1±i)2＝±2i；11－＋ii＝i；11－ ＋ii＝－i； (2)－b＋ai＝i(a＋bi)； (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i， i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
点位于复平面内的
()
பைடு நூலகம்
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(3)若复数 z 满足 z(1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，则|z|＝( )
A．1
B．2
C. 2
D. 3
[解析] (1)∵复数 a－31－0 i＝a－10130＋i＝(a－3)－i 为纯
虚数，∴a－3＝0，∴a＝3.
(2)∵1＋z i＝|2－i|＝ 5，∴z＝ 5＋ 5i，
答案：A
2．若复数21＋－aii(a∈R)是纯虚数(i 是虚数单位)，则复数 z＝a＋ (a－3)i 在复平面内对应的点位于第________象限．
解析：∵21＋－aii＝21＋－aii11＋＋ii＝2－a＋22＋ai＝2－2 a＋2＋2 ai 是纯虚数，
∴22＋－22 aa≠＝00，，
解得 a＝2.
则 z 的共轭复数 5－ 5i 对应的点( 5，－ 5)位于复平
面内的第四象限.
(3)法一：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则由 z(1＋i)＝2i，得(a＋
bi)·(1＋i)＝2i，所以(a－b)＋(a＋b)i＝2i，由复数相等的条件得
a－b＝0， a＋b＝2，
解得 a＝b＝1，所以 z＝1＋i，故|z|＝
[即时演练]
1．(2017·山东高考)已知 a∈R，i 是虚数单位．若 z＝a＋ 3 i，
z·z ＝4，则 a＝
()
A．1 或－1 C．－ 3
B. 7或－ 7 D. 3
解析：法一：由题意可知 z ＝a－ 3i，
∴z·z ＝(a＋ 3i)(a－ 3i)＝a2＋3＝4，故 a＝1 或－1.
法二：z·z ＝|z|2＝a2＋3＝4，故 a＝1 或－1.
复数的几何意义
[典例] (1)已知复数 z＝a＋i(a∈R)．若|z|< 2，则 z＋i2
在复平面内对应的点位于 A．第一象限
B．第二象限
()
C．第三象限
D．第四象限
(2)(2017·北京高考)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的
12＋12＝
2.
法二：由 z(1＋i)＝2i，得 z＝12＋i i＝2i12－i＝i－i2＝1＋i，
所以|z|＝ 12＋12＝ 2.
[答案] (1)D (2)D (3)C
[方法技巧] 求解与复数概念相关问题的技巧
复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念 都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关 的问题时，需把所给复数化为代数形式，即 a＋bi(a，b∈R) 的形式，再根据题意求解．