具有年龄结构的SIRS流行病模型的分析

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基于SIR模型的流行性传染病传播趋势预测研究

在研究方法部分，本研究采用数学建模的方法，基于 SIR模型对流行性传染病的传播趋势进行预测。首先，收集相关疫情数据，将数据划分为训练集和测试集。然后，通过非线性最小二乘法等参数估计方法，对 SIR模型的参数进行估计。最后，利用训练好的模型对未来一段时间内的疫情发展趋势进行预测。
结果与讨论
本研究发现，SIR模型在预测流行性传染病传播趋势方面具有一定的准确性和指导意义。此外，我们还发现感染率、隔离措施、社会距离等因素对流行性传染病的传播趋势具有显著影响。
研究方法
本研究采用文献综述和数学建模相结合的方法。首先，通过对SIR模型相关文献的梳理和评价，深入了解SIR模型在流行性传染病传播趋势预测中的应用及优缺点。然后，结合最新疫情数据，构建SIR模型并对其参数进行估计。最后，利用所建模型对未来一段时间内流行性传染病的传播趋势进行预测。
在文献综述部分，通过对国内外 SIR模型相关研究的深入剖析，总结 SIR模型在流行性传染病传播趋势预测中的实际应用及效果。同时，探讨 SIR模型的优化和改进方向，为后续研究提供参考。
具体来说，当感染率较高时，疫情扩散速度较快，需要采取更加严格的防控措施；当感染率较低时，可适当放宽防控措施，但需持续监测疫情发展。另外，隔离措施和社会距离也是控制疫情的重要因素。通过实施有效的隔离措施和社会距离控制，可以显著减缓疫情的传播速度。
结论
本研究基于 SIR模型对流行性传染病传播趋势进行了预测研究，并探讨了感染率、隔离措施、社会距离等因素对疫情发展的影响。结果表明 SIR模型在疫情预测方面具有一定的准确性和指导意义。我们发现感染率、隔离措施和社会距离是控制疫情传播的关键因素。
文献综述

SIR模型最早由英国数学家Sir R.A. Fisher于1927年提出，后经由西班牙病毒学家S.I. Axelrad和英国数学家R.M. Anderson进一步发展和完善。SIR模型将人口分为三个类别：易感者(Susceptible)，感染者(Infected)和康复者 (Recovered)。模型通过一组微分方程来描述这三个类别人口的数量变化，从而预测疾病的传播趋势。

sir模型

SIR模型引言SIR模型是一种常见的传染病传播模型，通过将人群划分为易感者（Susceptible）、感染者（Infected）和康复者（Recovered）三个群体，来描述传染病在人群中的传播动态。

该模型可以帮助我们了解传染病传播的机制，并为制定相关的防控策略提供理论依据。

模型假设SIR模型基于以下几个假设：1.人群是封闭的，不存在人口流动。

2.传染病具有传染性，即感染者能够传播疾病给易感者。

3.一旦染病，个体不会再次感染，也就是说一旦康复者，就会永久免疫。

4.感染者和康复者之间不存在自发恢复或死亡的情况，即感染者只能变为康复者，不会出现其他结果。

SIR模型基于一组微分方程来描述易感者、感染者和康复者的人数变化。

设总人口为N，易感者人数为S，感染者人数为I，康复者人数为R，则模型方程如下：dS/dt = -beta * S * I / NdI/dt = beta * S * I / N - gamma * IdR/dt = gamma * I其中，beta表示感染率，代表单位时间内一个感染者能够传染给多少易感者；gamma表示康复率，代表单位时间内一个感染者能够康复的比例。

参数估计与模拟为了应用SIR模型进行疫情预测，需要估计模型中的参数。

感染率beta和康复率gamma可以通过历史数据进行估计，例如根据已知的感染者和康复者数据来求解模型方程，拟合出合适的参数值。

针对已估计出的参数值，可以使用数值模拟方法对模型进行求解，得到不同时间点上各类人群的人数变化情况。

这样可以推测出疫情在未来的发展趋势，从而为做好疫情防控提供科学依据。

SIR模型具有广泛的应用价值，可以用于预测传染病的传播情况、评估防控策略的有效性以及比较不同策略的效果。

在实际应用中，研究者会根据特定的传染病特征和实际情况，进行模型的调整和改进。

一些常见的改进包括考虑潜伏期、医疗资源的限制、人群的社交行为等因素。

这样可以更加贴近实际情况，提高模型的准确性和可靠性。

一类具有年龄结构的SEIQR传染病模型

一
类具有年龄结构的ＳＩＲ传染病模型ＥＱ
苏细容，刘胜 ’
（北京林业大学理学院，北京１０８）００３
摘
要：以偏微分方程为工具建立了一类具有年龄结构和隔离措施的传染病模型，究了模型的有关性态。得到研
了再生数０的表达式，明了当，０）证（）＜１，时系统存在唯一全局渐近稳定的无病平衡态；（））１时，明了当，０．证
第２期
苏细容等：一类具有年龄结构的ＳＩＲ传染病模型ＥＱ
・２１１・
ｐ口单化换（）芳（）位变ｓｔ，：（，作口＝ｅ，口
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统：
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÷ 平均隔离周期。
假设人１年龄结构处于平衡状态，（，３即Ｐ口￡）＝
收稿日期：０９— ８— ７２０００
作简：馨１，硕生通作（一男副．：４１蕹器蠢苍４），星信薯刘？０），授Ｅｍ：０１６ｏ者介容支薯界细（一女士者胜１，教 —ｉｒ０３ｒ苏９蒙８．２：９６一ｌ＿＠．ａｘ调递减的，Ａ’ ）当

一类具有时滞和阶段结构的SIR流行病模型分析

云南民族大学学报：自然科学版，２０１５，２４（３）：２１１— ２１６
ｄｏｉ：１２．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７２—８５１３．２０１５．０３．０１０
ＣＮ５３— １１９２／ＮＩＳＳＮ１６７２—８５１３
＝
ｋｌｌ
）＿（
），２（
收稿日期：２０１４—１２—１２．基金项目：国家自然科学基金（１１０６１０１７）．
作者简介：王丽敏（１９８８一），女，硕士研究生．主要研究方向：生物数学
２１２
Ｒ＝ｌ，ｌ（ｔ）＋ｙ２，２（ｔ）一（ｔ）．其中，Ｓ（ｔ），，。（ｔ），１２（ｔ），Ｒ（ｔ）分别表示ｔ时刻易感者数目，轻度染病者数目，重度染病者数目，恢复者数目．Ａ
为种群输人率，为自然死亡率，（ｉ＝１，２）为种群，类的感染率，（ｉ＝１，２）为种群的恢复率，ｋ为轻度染病者发展为重度染病者的速率，丁≥ ０为轻度染病者发展为重度染病者所经历的时间．以上所有参数均为
为重度染病者且种群无因病死亡率，建立了如下模型：Ｓ＝Ａ一／ｚＳ（ｔ）一１Ｓ（ｔ）ｉｌ（ｔ）一卢２Ｓ（ｔ）／２（ｔ），
，－卢－｜ｓ（），ｔ（）＋ｆｌ２Ｓ（ｔ）Ｉ２（）一（＋－），（）一ｋＩ１（ｔ一下），，２：ｋｌ１（ｔ — ）一（＋２），２（ｔ），（１）

传染病疫情报告的模型与趋势分析

传染病疫情报告的模型与趋势分析一、引言传染病疫情报告是了解和控制传染病流行状况的重要手段。

传染病的爆发往往具有一定的规律性和趋势，通过建立合适的数学模型，可以对传染病的发展趋势进行预测和分析，从而为疫情防控提供科学依据。

本文将介绍传染病疫情报告中常用的模型以及趋势分析方法，并结合实际案例进行论述。

二、传染病报告的模型1. SIR模型SIR模型是传染病疫情报告中最常用的模型之一。

该模型将人群划分为易感染者(Susceptible)、感染者(Infectious)和康复者(Removed)三类，通过建立这三类人群之间的转化关系来描述传染病的发展过程。

在传染病爆发初期，SIR模型中的感染者数目迅速增加，而易感染者则逐渐减少。

随着时间的推移，感染者逐渐康复或死亡，成为康复者，康复者的数量也会增加。

通过对SIR模型中的各个参数进行调整，可以拟合出疫情发展的趋势，并预测疫情最终的规模和时长。

2. SEIR模型SEIR模型是对SIR模型的扩展，增加了潜伏期(E)这一概念。

潜伏期是指感染者被感染后尚未出现症状的时间段，潜伏者在这段时间内仍然可以传播病毒。

SEIR模型中的人群被划分为易感染者(S), 潜伏者(E), 感染者(I)和康复者(R)四类。

通过对这四类人群之间的转化关系进行建模，可以更加准确地描述传染病的传播过程。

三、传染病报告的趋势分析1. 疫情曲线分析疫情曲线是描述疫情发展趋势的一种图形表示方式。

根据每天报告的感染者数量，可以绘制出疫情曲线图。

通过观察疫情曲线的形态以及曲线上的波动情况，可以初步判断疾病的传播速度和爆发规模。

当疫情曲线呈现上升趋势时，意味着疫情正在快速扩散，此时需要采取紧急措施进行干预。

而当疫情曲线出现拐点或下降趋势时，表示疫情得到了一定的控制，但仍需警惕可能的反弹。

2. 基本传染数分析基本传染数R0是衡量传染病传播能力的重要指标，表示一个感染者在疫情蔓延过程中平均能够传染的其他人数。

具有阶段结构和非线性传染率的SIRS传染病模型的研究

具有阶段结构和非线性传染率的SIRS 传染病模型的研究1杨允海1，李自珍2，黄磊1，刘红涛11．兰州大学数学与统计学院，兰州（730000）2．兰州大学干旱与草地教育部重点实验室，兰州（730000）E-mail ：yunhailanzhou@摘要：本文对一类具有阶段结构和非线性传染率的SIRS 模型进行了分析，讨论了解的正性和有界性，给出了各类平衡点存在的阈值条件，得到模型的平衡点的局部渐近稳定性. 关键词：阶段结构；非线性传染率；局部渐近稳定性引言近年来，以Kermack 和Mckendrick 为代表的流行病动力学有了相当的发展，它们在预防治疗疾病方面起到了不同程度的指导作用，而现在随着环境的污染，生态的破坏以及国际交流的的频繁，许多已经得到控制的的疾病又死灰复燃，给人们的生活造成严重的影响，因此应用数学模型来研究传染病一直是一个重要的课题，许多作者对各种流行病模型进行了大量的研究并得到了很多重要的结果[1 3 4 5 6 7 9 10 11 12].大多数文献中总是假定各年龄阶段的种群个体对某种传染病均有相同的传染率，事实上对于某些疾病，并非如此，如麻疹，水痘等，多发于幼儿时期，而伤寒，白喉，流行性脑脊髓炎等传染病多在成人之间流行，因此考虑阶段结构的传染病模型是很有实际意义的.[1]对一类具有阶段结构的SI 传染病模型进行了研究，得到了传染病最终消除和成为地方病的阈值;[2]对具有阶段结构的SIRS 传染病模型进行了分析，得到了模型的渐近性质和其平衡点的局部渐近稳定性.本文在[2]的基础上，进一步研究了具有非线性接触率的情况，我们讨论了解的正性和有界性，给出了各类平衡点存在的阈值条件和模型平衡点的局部渐近稳定性,并且得到了与[2]不同的结论.1. 模型的建立)()()()()()()()(1)()()()(1)()()()()(24231122111t Y b t Y ae dtdY t R c t R b t I c dtdR t I c t I b t I t I t S u dt dI t R c t I t I t S u t Y ae t S b t aY dt dS b b −−=−−=−−+=++−−−−=−−ττττ （1）其中)(),(),(t R t I t S 分别表示幼年易感者，染病者和移出者的数量，)(t Y 表示t 时刻成年个体的数量，a 表示出生率，u 为传染系数，321,,b b b 分别表示幼年易感者，染病者和移出者的死亡率，4b 为成年个体的死亡率，1c 为染病者的康复系数，2c 为染病者再次成为易感者的比例，τ表示从幼年到成年的间隔，τ1b e−表示τ−t 时刻出生的幼年个体活到t 时刻的概率. 1本课题得到国家社科重点基金项目（No. 04AJL007）和国家自然科学基金（No. 30470298）的资助。

具有年龄结构的SIRS流行病模型的分析_刘军军

当 R0 <1 时 , 式(8)只有唯一解 , 相应的系统
(2)只有唯一的无病平衡解 P0 (1 , 0 , 0), 当 R0 >1 时 , 即 H(0)>1 。由式(5)及 i ＊(a)<1 且有
∫a k(τ)λ＊ ∫ s＊(τ)e- d aτα(σ)dσ τ<1 , 0
从而对任意的 λ＊ >0 , 由式(9)和(10)得 :
An SIRS Epidemic Model with an Age-Structured
L IU Junjun , YAN Ping , BAI Jianghong
(College o f M athematics and Systems Science , Xinjiang U niver sity , U rumqi 830046)
第 29 卷第 1 期 2011 年 2 月
石河子大学学报(自然科学版) Journal of Shihezi University(Natural Science)
Vo l .29 No .1 Feb .2011
文章编号 :1007-7383(2011)01-0120-05
具有年龄结构的 SIRS 流行病模型的分析
进入具有免疫力的移出者类 , 再以比例丧失免疫力而变成易感者。
靳祯[ 9] 和 Cooke 虽然考虑了具有非终身免疫的传染病模型 , 但没有考虑年龄结构的因素。而年龄结构对传染病的影响是很重要的[ 11] , 因此 , 建立和研究非终身免疫且带有年龄结构的传染病模型具
有重要的理论和实际意义。本文建立和研究具有非
∫ i ＊(a)= a k(τ)λ＊s＊(τ)e-∫aτα(σ)dσdτ, 0

一类具有阶段结构的SIRS传染病模型的稳定性

１平衡点的存在性
令系统（）的四个方程右边等于零，而１中从
）（一））Ｔ）＝ｙ一㈩一ｘ
｛１ｔ＝Ｘ一ｙ（）２ｔ＋ｃ２），（）Ｙ（）Ｃ，）Ｂ１ｔｙ（）ｙ（＋，ｔＯ（３
ｌｔ＝ｙ（）２ｔ一Ｔ２ｔ一ｃ２ｔ一２ｔＹ（）１１ｙ（）Ｙ（）ｙ（）ｙ（）２３
一
类具有阶段结构的ＳＲＩＳ传染病模型的稳定性
于宇梅，张秋娟
（大连交通大学理学院，宁大连１６２）辽１０８
摘
要：建立了一类具有阶段结构并且含有出生函数的ＳＲＩＳ传染病模型，通过定性分析，得到了传染病
Ｗｄ＋卢Ｗ＋卢Ｗ８＋２ｄｙ＋２ｄｔ＋卢８＋。ｏ＋２ｙｏ２卢ｔ＋
４ｙｏｔｄ＋４ｔ卢ｙ８＋３ｄｏｙ６＋２ｄ）＋卢ｔ８ｏ（２。／ｙ＋２ｙ）（卢３
北京：科学出版社，０１２０．
Ｈ３＋）ＴＹ＞０（ｄｆ２ｌ
由ＲｕｈＨｒｉ定理可知，方病平衡点ｏｔ— ｕｗｔｚ地
局部渐近稳定的．
是
ＳｔｂｌｔｆＡＲＳＥｐｉｍｉｏｅｔｔｇ－ｔｕｃｕｅａｉｉｙｏＳＩｄｅｃＭｄｌｗｉｈＳａｅＳｒｔｒ
＝
３结论
本文建立了一类具有阶段结构并且含有出生
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年龄结构SIR流行病传播数学模型渐近分析

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关于SIRS传染病模型中疾病发生率的作用

关于SIRS传染病模型中疾病发生率的作用SIRS（易感-感染-恢复-易感）传染病模型是一种描述传染病传播和流行的数学模型，主要用于预测和分析传染病的流行情况，以便采取有效的控制措施。

在SIRS传染病模型中，人群被分为四个组群：易感者（S）、感染者（I）、康复者（R）和再次易感者（S）。

本文将探讨SIRS传染病模型中疾病发生率的作用。

疾病发生率是指在一定时间内，人群中新发病例的数量。

在传染病模型中，疾病发生率可以通过感染率（infection rate）来描述，即感染者与易感者之间的接触导致感染的速率。

感染率通常受到多种因素的影响，如传染性、易感者的数量、传播途径等。

在SIRS传染病模型中，疾病发生率的作用主要表现在以下几个方面：1. 影响传播速率：疾病发生率直接影响了传染病的传播速率。

传染病的传播速率是描述病原体在人群中传播的速度和强度的指标，通常可以通过基本传染数（basic reproduction number）来表示。

疾病发生率越高，传播速率也就越快，病原体在人群中的传播范围也会更广。

因此，在SIRS传染病模型中，及时控制感染率是遏制传染病流行的关键。

2.影响疾病持续时间：疾病发生率也会影响疾病在人群中的持续时间。

当疾病发生率较低时，感染者到康复者的转化速度相对较慢，疾病持续时间也会相对较长。

反之，当疾病发生率较高时，感染者到康复者的转化速度较快，疾病持续时间会相对较短。

因此，调控感染率可以有效缩短疾病流行的时间，减少病原体在人群中的传播。

3.影响疫情规模：疾病发生率还会影响疫情的规模。

高疾病发生率意味着更多的人受到感染，疫情规模也会更大。

相反，低疾病发生率可以减少感染者的数量，缓解疫情的严重程度。

因此，在SIRS传染病模型中，控制感染率是预防疫情扩散和减少疫情规模的重要手段。

综上所述，疾病发生率在SIRS传染病模型中扮演着至关重要的作用。

通过控制感染率，可以有效地减缓疾病的传播速度、减少疫情的持续时间和缩小疫情规模。

具有接种疫苗年龄结构的SIRS流行病模型分析

关键词：种疫苗年龄；ＩＳ流行病模型；接ＳＲ闽值；平衡点；定性稳
中图分类号：７．０１５８
文献标识码：Ａ
文章编号：０３０７（０７０－３５０１０－９２２０）４９－０４
ＡｎｙｉｆａＲＳＥｐｉｍｉｏｅｔｎｅｄｐｅｄｅｔＶａｃｎｉｎａｓｓｏｎＳＩｄｅｃＭｄｌｗｉｈａＡｇ－ｅｎｎｃｉａｔｏ
３ＺｅｇｈｕＴａｈｒＣｌｇ，ｈｎｚｏ５０４，ｈｎ）．ｈｎｚｏｅｃｅｓｏｅｅＺｅｇｈｕ４０４ＣｉａＡｂｔａｔＡＩｐｄｍｉｄｌｗｉｎａｅｄｐｎｅｔｖｃｉａｉｎｉｃｎｉｅｅ．ｙｕｉｇｓｒｃ：ｎＳＲＳｅｉｅｃｍｏｅｔａｇ — ｅｅｄｎａｃｎｔｓｏｓｄｒｄＢｓｎｈｏ
摘
一
要：建立和研究了具有接种疫苗年龄结构的ＳＲＩＳ流行病模型．运用微分方程和积分方程理论，得到
个与接种疫苗有关的再生数的表达式．证明了＂Ｒ（）３０＜ｌ时，－无病平衡态是全局吸引的．当Ｒ（＜ｌ时，）
无病平衡态是局部渐近稳定的；当Ｒ（）＞ｌ时，无病平衡态是不稳定的，此时存在一个地方病平衡态．最后给出地方病平衡态局部渐近稳定的条件．
ｔｆｔｅｅｄｅｃｅｕｌｒｕｉｉｅｙｏｈｎｍｉｑｉｉｉｍｓｇｖｎ．ｂＫｅｒｙｗｏｄｓ：ｈｇ－ｐｎｅｔｖｃｉｔｏＳＲＳｅｉｅｃｍｏｌｔｒｓｏｄ；ｔａｙｓａｅｓａｉ－ｔｅａｅｄｅｅｄｎａｃｎａｉｎ；Ｉｐｄｍｉｄｅ；ｈｅｈｌｓｅｄｔｔｓ；ｔｂｌ

传染病防治服务中的流行病学模型与预测方法

传染病防治服务中的流行病学模型与预测方法在传染病防治服务中，流行病学模型与预测方法起着至关重要的作用。

通过建立合理的模型和运用有效的预测方法，可以帮助政府和卫生部门更好地掌握传染病的发展趋势，制定针对性的应对措施，以最大限度地减少传染病的传播和影响。

一、流行病学模型1. SIR模型SIR模型是流行病学中最基本和最常用的模型之一。

它将人群分为三个基本群体：易感染者 (Susceptible)，被感染者 (Infectious)和康复者/死亡者(Recovered/Deceased)。

该模型假设人群中的每个个体都有相同的感染和恢复概率，并以微分方程的形式描述了人群中各个群体之间的转移过程。

通过建立SIR模型，我们可以估计传染病的基本传染数 (Basic Reproduction Number, R0)。

R0代表了一个感染者在易感人群中平均会传染多少个人。

当R0小于1时，传染病不会造成大规模传播；而当R0大于1时，传染病有可能引起大规模传播。

因此，通过计算和监测R0的变化，我们可以判断传染病的传播趋势，并及时采取相应的措施。

2. SEIR模型SEIR模型在SIR模型的基础上引入了潜伏期 (Exposed)的概念。

潜伏期是指个体被感染后，尚未出现明显症状但已可传播疾病的时间。

通过引入潜伏期，SEIR模型可以更准确地描述传染病在人群中的传播过程。

SEIR模型不仅考虑了易感染者、感染者和康复者/死亡者，还考虑了潜伏者。

通过建立SEIR模型，我们可以更好地估计传染病在不同阶段的人群中的传播情况，从而为制定针对性的防控策略提供科学依据。

二、预测方法1. 时间序列分析时间序列分析是一种常用的预测方法，可以通过对历史数据的分析，利用时间序列模型进行未来传染病发展趋势的预测。

时间序列模型可以基于传染病发病人数或其他相关指标进行建模，然后对未来的变化趋势进行预测。

通过时间序列分析，我们可以提前预测出传染病的发展趋势，从而为卫生部门提供有效的决策依据。

一类具有年龄结构的SIR传染病模型的最优控制问题

第34卷第5期2020年9月兰州文理学院学报(自然科学版)Journal of Lanzhou University of Arts and Science(Natural Sciences)Vol.34No.5Sept.2020文章编号：2095-6991(2020)05-0022-04一类具有年龄结构的SIR传染病模型的最优控制问题许泽宇(兰州交通大学数理学院，甘肃兰州730070)摘要：建立了一类幼年个体和成年个体分别独立且具有双线性感染率的SIR传染病模型，通过Van den Dricssche 和Watmough提出的基本再生数的计算方法，得出了基本再生数R n.R0=1是区分疾病流行的临界点，当R0< 1时，疾病逐渐减弱直至消失；当R0>1时，疾病流行,地方病产生.同时，运用最优控制理论，对幼年个体施加(1—u()的约束，得出了使易感者与染病者数量最小的条件.关键词：年龄结构；传染病模型;最优控制中图分类号：O175.1文献标志码:A0引言人类生活在大千世界，无时无刻不在与病菌、病毒进行接触.在此过程中，病原体通过不断地传播进行种群繁衍，给人类的健康生活带来了极大危害.因此，对传染病最优控制问题的研究显得尤为重要.传染病的最优控制问题，主要是通过控制染病者的数量，使得被感染者数量降至最低，以此来达到控制疾病传播的目的.近年来，学者对具有年龄结构的传染病模型的最优控制问题进行广泛研究,收获颇丰［-3］.在文献［4］中，刘汉武对一类具有年龄结构的接种传染病模型进行研究；文献寸论了传染病在成年种群间传播的一系列问题;文献［6］对SIR传染病模型添加免疫和治疗项，并研究此模型的最优控制问题.文献［7］中，张永成和雒志学建立了一类具有非线性传染率且人口有输入输出的SEIS传染病模型，得到了控制疾病的阈值;文献［8］对两个年龄独立的霍乱传染病模型进行研究，得到使染病数量最小的控制条件.本文在此基础上考虑具有双线性感染率SIR传染病模型的最优控制问题.1模型假设传染病在幼年个体(记号为1)与成年个体(记号为2)中分别传播，建立两个年龄分别独立的SIR传染病模型.t=“N—011SI1—012S2I—d tfS\—“S1,“S;t=011S1I1+0SI—f1—<t z(1)(+“)1,1=021S2I1+022S2I2+fh—(+“)2;d R1=11一R1—R1,—r2—-=y I1+R1—“R、—其中N=S1+S2+I1+I2+R1+R2是常数；0V 表示传染率系数;感染率为双线性感染率0SI 不仅考虑同一年龄组，还考虑不同年龄组间的关系；出生率和死亡率都用“来表示；f表示S1到S2的转化率；Y表示恢复率.2基本再生数Macdonald于1957年通过解释和估计参数给Ross的模型增加了一层生物现实意义，创造了基本再生数R0,表示在发病初期，有人均为感染者时,一个病人在平均患病期间所感染的人数.收稿日期：2020-02-22作者简介：许泽宇(995-)，女，山西大同人，在读硕士，研究方向：生物数学及最优控制理论.E-mail：156299236，l@qq.com.第5期许泽宇：一类具有年龄结构的SIR传染病模型的最优控制问题23基本再生数的算法有3种：I.通过计算无病平衡点的雅克比矩阵特征值求得．n.根据数学方法把R o定义为下一代算子谱半径.川.Van den Driessche和Wat.mough[9]提出的计算方法．下面用方法川计算模型(1)的基本再生数.将模型(1)右侧表示为P—Q的形式,其中P=011S1I1+012S1I2、021S2I1+022S2I2OOoo/i fI1+11+“11、一f i+I2+“I2—“N+011S1I1+0SI2+“S i+fS i—fS i+021S2I1+022S2I2+“S2—11+fR i+“R i、—y I2—fR i+“R?设系统的无病平衡点为c o*由P—Q=)可知11=12=O=R1=R?,因此c=(O,O,S i(O),S2(O)**).设矩阵P1为描述新感染率的矩阵，求得011S1(O)012S1(O)021S2(O)022S2(o).设矩阵Q为描述染病者衰减，在染病仓室内转移的矩阵，求得f+Y+“O]I—f Y+“丿令011=012，021=022*则模型(1)的基本再生数R o=Q{eig[P i(Q)]-】}=0ii S i(())(Y+“)+02S i(0)f+02S?(0)(f+Y+“)(f+Y+“)(+“)R o=1是区分疾病流行的临界点•当R o<1时，疾病逐渐减弱直至消失；当R o>1时，疾病流行，地方病产生.假设此传染病在某地区流行，下面讨论此流行病的最优控制问题.3最优控制一类具有动态系统约束条件的泛函极值问题被称为最优控制问题口0].解决方法如下：设X'=f(X()U(t t)，其中x(t o=x o*x(t i=x i．若U*()€U t且满足上述条件.要使函数J(U(*))=「f o(X()Ut*)dtJ t o达到最大值或最小值，则存在A(^)=(A i(),A2()，…，A”()),使得U*()X*()成为泛函I=「[f o(XU,)+A T(f(X,U,t)—X')dz J t o的极值函数.设H为哈密顿函数，贝」HXU*)=f0XU*)+A T(r)f(X,U,).因此极值函数存在的必要条件Euler方程组为[d HU=0,X’=f(X()U()t)“/d HA=-X、x(t)=X o X(t)=X1.在本模型中，通过对幼年个体施加约束，形成最优控制问题.定理1设u*€U为最优约束，则存在(A s i*S2*；i*；2*R i*R2)，满足d A s i=—A s i[“—(1一u)01111—(—u)012I2—“—F]—A s g f—A I[(—u)011I1+(1一u)012I],d A st=—A s i“+A$2(021I1+022I2+“)—A'(021I1+022I2)，d；i〒=—A[“—(1—u)0ii S i]+A$.,021S2—dt2A I[(—u)0ii S i—f—Y—“]—A i2(02i S2+f)—A r i Y,d A It=—A$1(“—012S i)+A s022S2—A I i i—u)0i2S i—24兰州文理学院学报（自然科学版）第34卷A i2(022S2一Y—“)一A r2Y,d A R=A R1(f+“)一A R2f，d A R2t j"截断条件为A s1(T)=A s2(T)=A i(T)=A i2TT)= A r1(T)=A r，2(T)=0.最优控制为u*=min[u m;ix,max(0,C(i1—A s J T11s111+012S1I)].证明参考文献[8]对幼年个体施加T—u()的约束，定义所有可能的约束形成的集合为约束集U=0W u T)W u ln;1x｝，对模型T)进行转化，转化后的模型为—s1=“N—T一u)011S1l1——((—u)012S2I2—fS1—“S1,d S2d2=fS1—021S2I1—022S2I2—“S2,d t—i=((一u)011S1l1+T—u)012S1l2—d t“fh一Y+“)1,1=021S2h+022S2I2+fh—(+“)h，d td R1—-=Y11—fR1—“R1,d td R2t-=Y11+fR1—“R2.目标函数为J(u)=[[Ah T)+Bh T)+C u2T)—.J0则哈密顿函数为H=A11+B h+Cu2+A s[“N—(1—u)011S111—T—u)012S h2—“S1—fS1] +A s[fS】—021S2I1—022S2I2—“S2]+A i JT 一u)011Sh1+(1—u)012Sh2—fl1一Y11—“h]+A12001S2I1+022S2I2+fh—YI2—“I2]+A R1[YI—fR1—“R1]+A R2[YI+fR1—“R2]．根据最优控制理论方法,可知系统存在最优控制.4结束语研究了一类具有年龄结构的双线性感染率SIR传染病模型,通过Van den Driessche和Watmough〔9]提出的计算方法计算基本再生数R0可知：当R0<1时，疾病逐渐减弱直至消失;当R0>1时，疾病流行，地方病产生.并且运用最优控制的方法，得出了易感者与染病者的数量最小的条件为u*=min[u””x,max(0,C(A11—A,1)(011S1I1+012S1h)).参考文献:[1]HOPPENSTE F.An age dependent epidemic model[J].Journal of Franklin a Institute,1974(297)：325333.[2]MCKENDRICK A G．Applicationsofmathematicstomedicalproblems[J]．Proceedingsofthe Edinburgh Mathematical Society,1925(41)：98-130.[3]BUSENBERG B S,COOKE K.Vertically transmitteddiscascs[M].Berlin.Springer Heidelberg,1993.[]刘汉武，徐洁，刘启明.连续接种的具有年龄结构的SIS型传染病模型工程数学学报，2002,19(4)：25-29[]张剑，张宏民.具有年龄结构的SI传染病模型的分析[].东北农业大学学报,2010,41(8)13-134.[6]ZAMAN G,KANG Y H,CHO G,etal OptimalstrategyofvaccinationandtreatmentinanSIR epi-demicmodel[J]Mathematicsandcomputersinsim-ulation,2017,136:63-77.[]张永成，雒志学.一类具有非线性传染率SEIS传染病模型的动力学分析重庆文理学院学报，2012,13(3)1121.[]甘乃峰，谷晓沛.具有年龄结构的霍乱传染病模型的最优控制JJ].鞍山师范学院学报,2016,18(2)49. [9]DRIESSCHE P Van Den J,WATMOUGH Repro-ductionnumbersandsub-thresholdendemicequilibria for compartmental models of disease transmission [J].Mathematical Bioscicnccs,2002(180)：29-48. [10]邢继祥，张春蕊，徐洪泽.最优控制应用基础[M]北京：科学出版社,2003.[责任编辑：赵慧霞]（下转第33页）第5期余秋菊等：基于AHP方法的司机决策和收益计算的数学模型33［9］李远刚，韩景倜，袁光辉.考虑随机需求的出租车资源配置定量评价模型［J］.统计与决策，2019(1)：48-51.［10］姜启源，谢金星，叶俊.数学建模［M］.第5版.北京:高等教育出版社，201&［11］邓雪，李家铭，曾浩健.层次分析法权重计算方法分析及其应用研究［J］.数学的实践与知识，2012,42⑺：93-100.［责任编辑：赵慧霞］The Mathematical Models of Driver Decisionand Income Calculation Based on AHPYU Qiu-ju,J IN Shou-bo(Schoolof MathematicsandStatistics,Suzhou University,Suzhou234000,Anhui,China)Abstract:The evaluation criteria of the number of flights,taxis and waiting passengers are firstly established in this paper.The weight,of relevant,evaluation indexes is calculated by AHP,and the deii-sion-making model of taxi drivers is constructed by using the weight,coefficient.,and the use of the model is illustated.Then,the revenue model of the short.-dist.ance passenger carrying and then retu--ning to another destination is establishes,and the revenue of the direct,passenger carrying to the destination is established.Taking Nanjing Lukou International Airport,as an example,the difference between the two is analyzed,with the change of the revenue under different,waiting times given,and the best,waiting time for balancing the revenue obtained.Key words:AHP(Analytic Hierarchy Process)；decision；revenue；passenger transport.(上接第24页)The Optimal Control Problems of anSIR Epidemic Models with Age StructureXU Ze~yu(SchoolofMathematicsandPhysics,LanzhouJiaotong University,Lanzhou730070,China)Abstract：In this paper,a SIR epidemic model with double linearity infection rate was established for a class of young and adult,ing the method of Van den Driessche and Watmough,the general formula for is calculated.When,the disease will disappear；and when,the system is continuous and diseases are endemic,so was the critical point,to distinguish the epidemic.At the same time,using the optimal control strategies to apply the constraint,of on the young individual,the conditions for minimizing the number of susceptible and infected persons were obtained.Key words:age class structure；epidemic model；optimal control。

年龄结构传染病模型的动力学分析与最优控制问题

年龄结构传染病模型的动力学分析与最优控制问题年龄结构传染病模型的动力学分析与最优控制问题随着人口高龄化和生活水平的提高，人们对传染病的研究日益重要。

年龄结构传染病模型是一种描述不同年龄组之间传染病传播动态和演化规律的数学模型。

通过对这种模型的动力学分析，可以更好地理解传染病传播的机制，并且可以根据分析结果进行最优控制，提出针对性的防控措施。

首先，我们来看一下年龄结构传染病模型的基本原理。

这种模型通常将人群分为多个年龄组，每个年龄组内部的传染病传播通过感染率、康复率和死亡率等参数来描述。

而不同年龄组之间的传播通过接触率来衡量。

根据这些参数，可以建立一组微分方程来描述传染病在不同年龄组之间的传播和演化规律。

接下来，我们进行动力学分析。

通过对年龄结构传染病模型的稳定性分析和分支分析，可以得到它的平衡点和稳定性条件。

这些分析结果对于预测传染病的爆发和传播趋势非常重要。

比如，在确定了传染病模型的平衡点和稳定性条件之后，可以进一步分析影响传染病传播的关键参数，比如感染率和康复率。

根据这些参数的变化趋势，可以判断传染病的爆发风险和传播速度，并且可以提前采取相应的防控措施。

最后，我们来讨论最优控制问题。

传染病控制策略的制定是传染病防控工作的核心内容之一。

通过对年龄结构传染病模型的最优控制问题进行分析，可以找到最佳的控制策略。

这个问题可以转化为一个最优化问题，目标函数是最小化某种指标，比如传染病的发病人数或者死亡人数。

约束条件是传染病模型中各个参数的取值范围。

通过求解这个最优化问题，可以得到最佳的控制策略，比如提高接种疫苗的覆盖率、加强疫情监测和早期报告、采取隔离措施等。

总之，年龄结构传染病模型的动力学分析和最优控制问题是一种重要的研究方法，对于预测传染病的传播趋势、制定最佳的防控措施具有重要的指导意义。

未来，我们可以进一步完善这种模型，提高其表达能力和预测准确性，以更好地应对传染病威胁，保护公众的健康安全综上所述，年龄结构传染病模型的动力学分析和最优控制问题是预测传染病传播趋势、制定最佳防控措施的重要方法。

具非线性传染率染病年龄结构SIR流行病模型渐近分析

具非线性传染率染病年龄结构SIR流行病模型渐近分析
徐文雄;张素霞
【期刊名称】《应用科学学报》
【年(卷),期】2005(023)003
【摘要】研究了一类具非线性传染率染病年龄结构SIR流行病传播的数学模型的动力学性态,得到了疾病绝灭和持续生存的阈值条件--基本再生数.当基本再生数小于或等于1时,仅存在无病平衡点,且在其小于1的情况下,无病平衡点全局渐近稳定,疾病将逐渐消除;当基本再生数大于1时,存在不稳定的无病平衡点和唯一的局部渐近稳定的地方病平衡点,疾病将持续存在.本文的结论包含了相应常微分方程模型已有的相关结论.
【总页数】4页(P315-318)
【作者】徐文雄;张素霞
【作者单位】西安交通大学,理学院,陕西,西安,710049;西安交通大学,理学院,陕西,西安,710049
【正文语种】中文
【中图分类】O175.7
【相关文献】
1.具有一般形式非线性饱和传染率染病年龄结构SIS模型渐近分析 [J], 徐文雄;张素霞
2.一类具有非线性传染率、隔离率的SIRS传染病模型解的存在性研究 [J], 高宏伟;
郝祥晖;陈清江
3.一类具有非线性传染率的SIRS模型传染病的定性分析 [J], 郭金生;康晓娉;唐玉玲
4.一类具有非线性传染率的SIRS传染病模型的稳定性分析 [J], 雷学红;许云霞
5.一类潜伏期和染病期均传染且具非线性传染率的流行病模型 [J], 张彤;方道元因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

具有年龄结构的MSEIS流行病模型稳定性分析

具有年龄结构的MSEIS流行病模型稳定性分析陈冬梅;白江红;闫萍【摘要】An age-structured MSEIS model is considered,in which a certain percentage of susceptibles could enter the infectious class without experiencing the latent period.The basic reproductive number is established for the model.It is proved that the disease free equilibruim is globally asymptotically stable if R01;the disease free equilibruim is unstable if R01,and there at least exist one endemic equilibruim which can be proved that it is locally asymptotically stable under certain conditions by using Volterra integral equation.%研究了易感者被感染后按一定比例分别进入潜伏类和染病类的具有年龄结构MSEIS模型,得到了该模型的基本再生数R0的表达式,证明了当R0〈1时,无病平衡点是全局渐近稳定的;当R0〉1时,无病平衡点不稳定,此时系统至少存在一个地方病平衡点,并在一定条件下利用Volterra积分方程得到了地方病平衡点的局部渐近稳定性.【期刊名称】《山西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(025)004【总页数】7页(P7-13)【关键词】年龄结构;MSEIS流行病;基本再生数;地方病平衡点;稳定性【作者】陈冬梅;白江红;闫萍【作者单位】新疆大学数学与系统科学学院,新疆乌鲁木齐830046;新疆大学数学与系统科学学院,新疆乌鲁木齐830046;安徽农业大学理学院,安徽合肥230036【正文语种】中文【中图分类】O175.12近年来，甲型H1N1流感和SARS等新的流行病的出现和蔓延，给人类生活带来严重威胁，由于不同年龄的人对同一种疾病的感染程度不一样，因此研究年龄结构的流行病模型对流行病的预防、治疗、控制具有重要的理论和现实意义.目前不断出现许多建立和研究年龄结构的流行病模型的工作［1～4］，其中有很多研究具有潜伏期的年龄结构流行病模型［2～6］文献［3］考虑了一类康复后有免疫的MSEIR模型，得到了阈值条件及一定条件下地方病平衡点的唯一性;文献［4］虽然考虑了潜伏期具有传染性，但没有考虑传染期具有康复的可能性;文献［5］考虑了具有染病年龄结构的SEIR模型，并得到了无病平衡点和地方病平衡点的稳定性;文献［6］考虑了带有潜伏年龄和隔离的SEIQ模型.但他们大部分都是假设患者只在染病期有康复及传染性，而没有考虑在潜伏期内具有康复及传染性的情形.事实上，有些疾病，如肺结核，SARS等，潜伏期内的个体也具有康复的可能性，并且也具有传染能力，因此本文主要研究易感者受感染后按一定比例分别进入潜伏期与染病期，并在潜伏期和染病期均具有康复和传染性的年龄结构MSEIS模型.1 模型与假设我们首先引进一些记号:令a表示年龄，t表示时间，a+表示最大年龄.我们把总人口分为受母体抗体保护类、易感类、潜伏类、染病类四类，相应地分别用M(a，t)，S(a，t)，E(a，t)，I(a，t)表示t时刻这四类人口关于年龄a的密度函数，则总人口N(a，t)=M(a，t)+S(a，t)+E(a，t)+I(a，t)，用(d(a))－1表示母体抗体保护周期;λ^(a，t)为传染力函数;v1(a)，v2(a)分别表示年龄为a的潜伏类个体和染病类个体的康复率;α(a)表示年龄为a的潜伏类个体进入染病类的比率;b(a)和μ(a)分别表示年龄为a的个体的出生率和死亡率.根据实际问题的背景和数学研究需要提出以下假设:(H1)新生儿都受母体抗体保护;潜伏期和染病期个体康复后均无免疫;易感类个体被感染后进入潜伏类和染病类的比率分别为:φ(a)λ^(a，t)和(1－φ(a))λ^(a，t)，且φ(a)∈C［0，a+)，0＜φ(a)＜1.(H2)假设潜伏期具有传染性;传染力函数λ^(a，t)具有可分形式，即λ^(a，t)=k(a)λ(t)，其中k(a)表示接触率，λ(t)=这里β(a)表示传染率，且k(a)，β(a)∈L∞［0，a+)， k(a)，β(a)≥0，∀a∈［0，a+).(H3)v1(a)，v2(a)，α(a)(∀a∈［0，a+))都是正连续函数且v1(a)，v2(a)，α(a)∈L∞［0，a+);我们不考虑疾病引起的死亡且假设令则π(a)表示个体出生后活到年龄a的概率.(H4)我们假设人口净再生数为1，即π(a)da=1.根据仓室建模思想，我们得到下列具有年龄结构MSEIS流行病数学模型:把系统(1)中的前四个方程加起来，可以得到下列关于总人口密度函数N(a，t)的系统其中N0(a)=M0(a)+S0(a)+E0(a)+I0(a).在假设(H4)下，总人口密度函数N(a，t)达到稳定状态N∞(a)=b0π(a)，其中b0表示总的新生婴儿数，进一步我们假设初始条件满足:对系统(1)作归一化变换，令则系统(1)可化为如下较简单的系统:2 基本再生数的表达式和无病平衡点的稳定性设(m(a)，s(a)，e(a)，i(a))为系统(3)的平衡点，则满足下面的方程组易知系统(4)存在如下无病平衡点P0(m0(a)，s0(a)，e0(a)，i0(a))为了研究无病平衡点的局部稳定性，我们将系统(3)在平衡点P0处进行线性化，并假设线性化后的系统具有指数形式的解，令则函数m－(a)，－s (a)，－e (a)，－i (a)及参数w满足下列方程为了简单起见，我们令p(x，y)=e－∫yx(v1(σ)+α(σ))dσ，q(x，y) =e－∫yxv2(σ)dσdσ，则由系统(6)第三和第四个方程分别可得将(7)和(8)代入系统(6)的第五个方程并消去∧－(注意到∧－≠0)，得到如下特征方程令(9)右端等于F(w)，定义基本再生数R0=F(0)，即定理1 当R0＜1时，系统(3)的无病平衡点P0是局部渐近稳定的;当R0＞1时，系统(3)的无病平衡点P0不稳定.证明由(9)式，当w取实数时，有F(w)是关于w的严格单调递减函数，且F(w) =0，F(w)=+∞.从而当R0＜1时，方程(9)存在唯一的负实根w*;当R0＞1时，方程(9)有唯一正实根，故此时P0不稳定.下证w*是方程(9)的实部占优的特征根.设w=x+yi(x，y为实数)是方程(9)的任意复根，则有1=F(w)=|F(x+yi)|≤F(x)，即F(w*)≤F(x)，从而Re(w)≤w*.因此，方程(9)的所有特征根均具有负实部，故P0是局部渐近稳定.定理2 当R0＜1时，系统(3)的无病平衡点P0全局渐近稳定的.证明只需证当t+∞时对系统(3)的第一、三、四个方程沿特征线积分，得当a≤t时，m(a，t)=m0(a).当a＜t时，把(12)代入(13)并交换积分顺序，得把(12)和(14)代入系统(3)的第5个方程，得由于e(a，t)+i(a，t)≤1，故最后一项积分不超过(a)da，并且当时，有当a＜t时，s(a，t)=1－m(a，t)－e(a，t)－i(a，t)≤1－m(a，t)=1－m0(a)=s0(a)，从而λ(t)≤(t－a+τ)s0(τ)［k1(τ)∫α(η)q(a，η)p(η，τ)dη+k1(τ)p(a，τ)+k2(τ)q(a，τ)］dτda+ (a)da.令，得λ，又R0＜1，故λ(t)=0.从而可得(a，t)=i(a，t)=0.又由(11)知(a，t)=m0(a)，则(a，t)=1－m0(a)=s0(a).因此，当R0＜1时，P0是全局渐近稳定的. 注1 当基本再生数R0中α(a)=0时，即与文献［2］所研究的情况相同，并有当R0＜1时，无病平衡点是全局渐近稳定的;当R0＞1时，无病平衡点不稳定.注2 当基本再生数R0中φ(a)=1且v1(a)=0时，即与文献［4］所研究的情况相同，并有当R0＜1时，无病平衡点是全局渐近稳定的;当R0＞1时，无病平衡点不稳定.3 地方病平衡点的存在性和稳定性定理3 当R0＞1时，系统(3)至少存在一个地方病平衡点.证明系统(3)的地方病平衡点P*(m*(a)，s*(a)，e*(a)，i*(a))若存在，必满足系统(4).从而可得其中令则方程(18)变为关于s*(a)的Volterra积分方程s*(a)=G(a)+∫0aK(a，τ，λ*)s*(τ)dτ，这里K(a，τ，λ*)是一个连续Volterra核.由文献［7］知，对于每一个λ*，此方程有唯一的依赖λ*的连续解s*(a，λ*).把(16)和(17)代人(19)并且两端同时消去λ*(注意到λ*≠0)，得记(20)式左端为H(λ*)，则H(λ*)是通过s*(a，λ*)依赖于λ*的函数.一方面，H(λ*)是关于λ*的连续函数且s*(a，0)=s0(a)，从而H(0)=R0.又R0＞1，故H(0)＞1.另一方面，对∀λ*＞0，有且当时因此，方程H(λ*)=1至少有一个正根.故当R0＞1时，系统(3)至少存在一个地方病平衡点.为了研究地方病平衡点P*的局部稳定性，我们将系统(3)在平衡点P*处线性化，并假设线性化后的系统具有指数形式的解，令m(a，t)=∧^m(a)eλt+m*(a)，s(a，t)=∧^s(a)eλt+s*(a)，e(a，t)=∧^ e(a)eλt+e*(a)，i(a，t)=∧^i(a)eλt+i*(a)，其中我们假设不为零，则函数s(a)，e(a)，i(a)及参数λ满足下列方程由初始条件，我们有m^(a)=0，s(a)+e(a)+i(a)=0，∀a∈［0，a+).又由系统(21)的前三个方程可得令假设则方程(24)变为关于s(a)的Volterra积分方程s(0)=∫a0λ*s(τ)e－λ(a－τ)h(a，τ)dτ+f(a)，又由文献［7］知此积分方程有解，其中G(a，τ)是与λ无关的非负函数.又e(a)和i(a)的表达式中都含λ ，故系统(24)第四个方程的右端与λ 有关，记为Q (λ)，即β(a)(e(a)+i(a))da.引理4 若R0＞1且假设(25)成立，则(1)Q(λ)是关于λ的严格单调减函数且当λ+∞时，Q(λ) 0;(2)Q(0)＜1.该引理的证明可参阅文献［2］中命题4.2的证明.利用引理4，类似于定理1的证明可知，若假设(25)成立且R0＞1，则特征方程Q(λ)=1有唯一负实根，进一步也可证明这个根是实部占优的，从而有以下定理.定理5 若R0＞1且假设(25)成立，则系统(3)的地方病平衡点P*是局部渐近稳定的.4 总结对于系统(1)平衡态稳定性的讨论，关键在于R0的表达式.当R0＜1时，系统(1)存在唯一全局渐近稳定的无病平衡态;当R0＞1时，无病平衡态不稳定，此时至少存在一个地方病平衡态P*，且当假设(25)成立时，P*是局部渐近稳定的.由基本再生数R0的表达式，即可有下面的论断:(1)R0关于接触率k(a)和传染率β(a)都是单调增的，所以可以通过减少个体之间的接触及接种疫苗以达到控制传染病传播的目的.(2)R0关于潜伏类和染病类的治愈率v1(a)，v2(a)都是单调减的，所以可以通过提高治愈率，即提高医疗质量以达到控制传染病传播的目的.参考文献:【相关文献】［1］Inaba H.Threshola and stability results for an age-structured epidemic model ［J］.Math Biol，1990，28:411～434.［2］Maria Martcheva，Gloria Crispino-O'Connell.The transmission of meningococcal infection:a mathematical study［J］.Math Anal Appl，2003，283: 251～275.［3］Li X Z，Gupur G，Zhu G T.Existence and uniqueness of endemic states for the age-structured MSEIR epidemic model［J］.Acta Mathematica Applicatae Sinica(English Series)，2002，18(3):441～454.［4］方彬，李学志.潜伏期具有传染性的年龄结构的MSEIS流行病模型的稳定性［J］.应用数学学报，2008，31(1):110～125.［5］李学志，丁凤霞.具有染病年龄结构的SEIR流行病模型的稳定性［J］.数学的实践与认识，2007，37(18):100～106.［6］王世飞，邹定宇，李学志.具有潜伏年龄和隔离的SEIQ流行病模型的稳定性［J］.数学的实践与认识，2007，37(17):63～68.［7］李星.积分方程［M］.北京:科学出版社，2008.。

浅谈SIR流行病模型的建立和发展

浅谈SIR流行病模型的建立和发展摘要：应用传染病动力学模型可描述疾病发展变化的过程和传播规律，预测疾病发生的状态，评估各种控制措施的效果，为预防控制疾病提供决策依据。

本文介绍传染病动力学的最基本模型――SIR模型。

探讨SIR模型的发展进程和研究动向,并用SIR模型对SARS的传播进行模拟。

关键词：传染病；动力学模型；SIR模型Abstract:The dynamics models of infectious diseases can be used to describe the spread characters of infectious diseases, predict the status of the infection and evaluate the efficacy of control strategies, which are useful tools in diseases control decision making. A brief introduction to the basic dynamics model SIR was made。

Discusses the development of SIR models process and the trend ,and by using SIR model to simulate the propagation of SARS.Key words: epidemic; dynamic model; SIR model目录1、绪论 (1)1.1 流行病对社会的影响 (1)1.2流行病模型的研究概况 (2)2、SIR流行病模型的建立 (4)2.1 SIR流行病模型的简介 (4)2.2 SIR流行病模型的建立 (4)3、不同条件下的SIR流行病模型 (10)3.1具有年龄结构的SIR流行病模型 (10)3.2具有人口流动的SIR流行病模型 (13)4、SARS的SIR模型 (20)4.1 SARS问题的重述与分析 (20)4.2 模型假设 (20)4.3 模型的建立 (21)4.4 模型的求解及仿真 (22)4.4.1 模型参数的确定 (22)4.4.2 模型求解 (24)4.4.3 仿真结果结论 (25)致谢 (27)主要参考文献 (27)附录 (27)外文资料翻译及原文 (35)1、绪论1.1流行病对社会的影响疾病历来是人类健康的大敌，基本上每一个时代，每一个国家，都会受到疾病的侵蚀，从而对人类的发展产生重大的影响。

带有病程和年龄结构的SIR传染病模型平衡解的存在性

带有病程和年龄结构的SIR传染病模型平衡解的存在性俞芳;由守科;孙德荣【期刊名称】《伊犁师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(9)4【摘要】建立了一类带有病程和年龄结构的SIR传染病模型，利用特征线理论和零点定理对模型平衡解的存在性进行了分析，得到了地方病平衡解存在的充分条件。

%In this paper, we construct an age-structured SIR epidemic model with course of diseases. By apply⁃ing characteristic theory and zero point theorem, we analyse the existence of equilibrium solution and abtain ansuf⁃ficient condition of the existence of the endemic equilibrium.【总页数】4页(P5-8)【作者】俞芳;由守科;孙德荣【作者单位】昌吉学院数学系，新疆昌吉 831100;新疆大学数学与系统科学学院，新疆乌鲁木齐 830046;昌吉学院数学系，新疆昌吉 831100【正文语种】中文【中图分类】O175【相关文献】1.一类具有年龄和病程的SEIR传染病模型平衡解的存在性 [J], 俞芳;由守科;孙德荣2.带有标准发生率和信息干预的随机时滞SIRS传染病模型的动力学行为 [J], 赵英英;胡华3.带病程的类年龄结构SIRS流行病模型的稳定性 [J], 郭淑利4.一类具年龄结构非自治传染病模型零平衡解的全局渐近稳定性 [J], 陈林;闫萍5.带有标准发生率和信息干预的时滞SIRS传染病模型的稳定性分析 [J], 赵英英;胡华因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

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ＬＵｕｊｎＹＡＮＰｎ。ＡＩｉｇｏｇＩＪｎａ，ｉｇＢａｈｎＪｎ
（ｌｇｆＭａｈｍａｉｓａｄＳｓｅｃｅｃ，ｎｉｎｉｅｓｔＵｒｍｑ３０６ＣｏｌｅｏｔｅｔｎｙｔｍｓＳｉｎｅＸｉｉｇＵｎｖｒｉｅｃａｙ，ｕｉ０４）８
Ｆｅｂ．２１０１
文章编号：０７７８（０１０ —１００１０—３３２１）１０２ —５
具有年龄结构的ＳＳ流行病模型的分析ＩＲ
刘军军，萍，闫白江红
（疆大学数学与系统科学学院，鲁木齐８０４）新乌３０６
摘要：立和研究一类具有非终身免疫并带有年龄结构的ＳＲＳ流行病模型平衡解的存在性与稳定性。在总人口建Ｉ
流行病在现实生活中广泛存在，流行病的研对
究已是数学知识应用的一个重要领域。结构的ＳＲＳ传染病模型，Ｉ运
用微分方程和积分方程的理论和方法讨论ＳＰ流ＩＲ
第２卷第１９期２１年２月０１
石河子大学学报（自然科学版）ＪｕｎｌｆｈｈｚＵｎｅｓｙＮｔｒｌｃｎｅｏｒａｏｉｅｉｒｔ（ａｕａＳｉｃ）Ｓｉｖｉｅ
Ｖｏ．９Ｎｏ１１２．
和研究年龄结构的流行病模型的工作有许多［］但１，这些研究的都是具有终身免疫的年龄结构流行病模型。方彬等［７研究了潜伏期和染病期均具有康复和传染的ＭＳＩＥＳ流行病模型的稳定性，但模型没有
规模不变的假设下，用微分方程和积分方程的理论和方法得到了决定疾病消亡与否的基本再生数Ｒ０表达式；运的
证明了当Ｒ＜１无病平衡点是全局渐近稳定的，Ｒ＞１时此时至少存在一个地方病平衡点，在一定的条件。时当。并
下证明了该地方病平衡点的局部渐近稳定性。
关键词：龄结构ＳＲ年ＩＳ流行病模型；基本再生数；病平衡点；方病平衡点；定性无地稳
中图分类号：７．２Ｏ１５１文献标识码：Ａ
ＡｎＳＲＳＥｐｉｍｉｏｅｔｎＡｇ — ｔｕｔｒｄＩｄｅｃＭｄｌｗｉｈａｅＳｒｃｕｅ
ｇａｑａｉｎ，ｈｘｌｉｅｐｅｓｏｆｔｅｂｓｃｒｐｏｕｔｖｕｅｓｏｔｉｅ．ｔｉｈｗｅｈｔｔｅｄｓａｅｆｅｑｉｒｌＥｕｔｏｔｅｅｐｉｔｘｒｓｉｎｏｈａｉｅｒｄｃｉｅｎｍｂｒＲ０ｗａｂａｎｄＩｓｓｏｄｔａｈｉｅｓ－ｒｅｅｕ — ｃ
ＡｂｔａｔＡｎＳＲＳｅｉｅｃｍｏｅｗｉｎａｅｓｒｃｕｅｓｓｕｉｄＢｓｎｈｈｏｙａｄｍｅｈｄｆＤｉｅｅｔｌａｄＩｔ — ｓｒｃ：Ｉｐｄｍｉｄｌｔａｇ－ｔｕｔｒｄｉｔｄｅ．ｙｕｉｇｔｅｔｅｒｎｔｏｓｏｆｒｎｉｎｎｅｈｆａ
考虑免疫期，因为有些疾病，如鼠疫、例白喉、疽、炭
行病模型平衡解的存在性与稳定性。
１模型及其转化
把一个疾病传播的封闭社会的总人口分为三部分：感类，病类与康复类。首先引入一些记号：易染令ａ和ｔ分别表示年龄和时间，＋表示个体存活的ａ最大年龄，别用Ｓ（，）（，）Ｒ（，）Ｎ（，）分口￡、日、ｎ、ａ￡