湘教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第4章 立体几何初步 本章总结提升

(2)直线A1F∥平面ADE.
证明 (1)因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,
所以CC1⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC,所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE,
CC1,DE⊂平面BCC1B1,CC1∩DE=E,
所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE,
所以平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)因为A1B1=A1C1,F为B1C1的中点,
算步骤:一作,二证,三计算.
(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角).
(2)求直线与平面所成的角常用投影转化法(即作垂线、找投影).
(3)二面角的平面角的作法常有三种:①定义法;②垂线法;③垂面法.
变式训练4
如图,正方体的棱长为1,B'C∩BC'=O.求:
(1)AO与A'C'所成角的大小;
规律方法
1.空间平行、垂直关系的相互转化:
2.证明空间线面平行或垂直需注意三点:
(1)由已知想性质,由求证想判定.
(2)适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一.
(3)用定理时要先明确条件,再由定理得出相应结论.
变式训练3[北师大版教材习题]如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯
形,AD∥BC,∠BCD=90°,且PA⊥AB,PD⊥CD.
∵AF∩DF=F,AF,DF⊂平面ADF,∴平面ADF∥平面BCE.又AD⊂平面ADF,
∴AD∥平面BCE.
(2)证明 在图1中,EF∥AB,AB⊥AD,AD∥BC,
∴EF⊥AD,则在图2中,CE⊥EF.
又平面CDFE⊥平面ABEF,平面CDFE∩平面ABEF=EF,
∴CE⊥平面ABEF,得CE⊥AB.
个直角三角形AOD和一个矩形AOCB,绕CD旋转一周形成一个组合体,该组
合体由一个圆锥和一个圆柱组成.
规律方法
与空间几何体结构特征有关问题的解题技巧
(1)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构
建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等
基本元素,然后再依据题意判定.
此图形沿AB折叠,使平面ABCD垂直于半圆所在的平面,如图2,若点E是折
叠后图形中 上异于A,B的点.
(1)证明:EA⊥EC;
(2)若AB=2AD=2,且异面直线AE和DC所成的角为
积.
π
6
,求三棱锥D-ACE的体
(1)证明 ∵平面ABCD垂直于半圆所在的平面,两平面的交线为AB,
BC⊂平面ABCD,BC⊥AB,∴BC垂直于半圆所在的平面.
(2)AO与平面ABCD所成角的正切值;
(3)平面AOB与平面AOC所成二面角的大小.
解 (1)∵A'C'∥AC,
∴AO与A'C'所成的角是∠OAC.
∵AB⊥平面BC',OC⊂平面BC',
∴OC⊥AB.又OC⊥BO,AB∩BO=B,
∴OC⊥平面ABO.又OA⊂平面ABO,∴OC⊥OA.
在 Rt△AOC 中,OC=
2
,AC=
2
∴∠OAC=30°.
即AO与A'C'所成角为30°.

2,sin∠OAC=

=
1
,
2
(2)如图,过点 O 作 OE⊥BC 于点 E,连接 AE.
∵平面 BC'⊥平面 ABCD,
∴OE⊥平面 ABCD,
∴∠OAE 为 OA 与平面 ABCD 所成的角.
在 Rt△OAE
1
中,OE=2,AE=
体;
(3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的旋转体.
解 (1)如图①,因为该几何体的五个面是有公共顶点的三角形,所以是棱锥,
又其底面是凸五边形,所以是五棱锥.
(2)如图②,等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形,每个
直角梯形旋转180°形成半个圆台,故该几何体为圆台.
(3)如图③,过直角梯形ABCD的顶点A作AO⊥CD于点O,将直角梯形分为一
又PA⊥AB,且AB,CD为相交直线,所以PA⊥平面ABCD.
又PA⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面ABCD.
专题四
空间角的求解
【例 4】 [北师大版教材习题]如图,在圆锥 PO 中,已知 PO= 2,☉O 的直径
AB=2,点 C 在 上,且∠CAB=30°,点 D 为 AC 的中点.
(1)证明:AC⊥平面POD;
在Rt△ODA中,因为∠DAB=30°,OA=1,
所以
1
1
OD=2OA=2.
在 Rt△ODP 中,因为 PO= 2,
所以 PD=
所以
2
+ 2

sin∠PDO=
2
1 2
+( )
2
=
( 2)
2
2 2
,所以二面角
3
= 3 =
2
=
3
,
2
P-AC-O
2 2
的正弦值为 3 .
规律方法
求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算,空间角的计
所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1,
且A1F⊂平面A1B1C1,所以CC1⊥A1F.
又因为CC1,B1C1⊂平面BCC1B1,
CC1∩B1C1=C1,所以A1F⊥平面BCC1B1.
由(1)知AD⊥平面BCC1B1,所以A1F∥AD.
又AD⊂平面ADE,A1F⊄平面ADE,所以A1F∥平面ADE.
又EA在半圆所在的平面内,∴BC⊥EA.
∵∠AEB是直角,∴BE⊥EA.又BE∩BC=B,BE,BC⊂平面BEC,∴EA⊥平面EBC.
又EC⊂平面EBC,∴EA⊥EC.
(2)解 ∵在矩形 ABCD 中,AB∥CD,直线 AE 和 DC
∴直线 AE 和 AB
π
所成的角为 ,
6
π
π
所成的角为6,即∠BAE=6.
由V
1
1
2
DC ×AD=3π×22×2
圆锥= π·
3
3=
8 3
π,
3
V 圆柱=π·DG2×FG=π×12× 3 = 3π,
∴所求几何体的体积为 V 圆锥-V
8 3
π圆柱=
3
5 3
3π= π.
3
规律方法
1.空间几何体表面积的求法
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的
处理.
错误;若底面是菱形,则棱长都相等的直四棱柱不是正方体,故B错误;若侧
棱垂直于底面两条平行边,则侧棱不一定垂直于底面,故侧棱垂直于底面两
条边的平行六面体不一定是直平行六面体,故C错误.故选D.
专题二
空间几何体的表面积和体积
【例2】 如图所示,在边长为4的正三角形ABC中,E,F依次是AB,AC的中
点,AD⊥BC,EH⊥BC,FG⊥BC,D,H,G为垂足.若将△ABC中的四边形EFGH

∴tan∠OAE=

=
12
1 2
+ (2)
=
5
,
2
5
.
5
即 AO 与平面 ABCD
5
所成角的正切值为 5 .
(3)∵OC⊥OA,OC⊥OB,OA∩OB=O,
∴OC⊥平面AOB.
又OC⊂平面AOC,∴平面AOB⊥平面AOC.
即平面AOB与平面AOC所成的二面角为90°.
专题五
折叠问题
【例5】 如图1,在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,F为AD的中点,点E在
(1)判断CD是否与平面PAD垂直,证明你的结论;
(2)证明:平面PAB⊥平面ABCD.
(1)解 CD⊥平面PAD.
证明:由∠BCD=90°,AD∥BC,可知CD⊥AD.
又CD⊥PD,且AD∩PD=D,所以CD⊥平面PAD.
(2)证明 由(1)得CD⊥平面PAD,又PA⊂平面PAD,所以CD⊥PA.
1
1
3
OC=
×1.5×2=1(cm
).
三棱锥 C-OAB= S△OAB·
3
3
专题三
空间中的平行与垂直关系
【例3】 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1
上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点.求证:
(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;
(2)求二面角P-AC-O的正弦值.
(1)证明 连接OC(图略),因为OA=OC,D是AC的中点,所以AC⊥OD.
又PO⊥底面☉O,AC⊂底面☉O,所以AC⊥PO.
又OD∩PO=O,所以AC⊥平面POD.
(2)解 由(1)知AC⊥平面POD,又PD⊂平面POD,所以PD⊥AC.
又OD⊥AC,所以∠PDO为二面角P-AC-O的平面角.
(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
2.空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直接
利用公式进行求解.
(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割
法、补形法等方法进行求解.
变式训练2
(1)如图所示,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等,则
又
1
AB=CE=2,∴S△CDE= ×2×2=2.
2
∴V 三棱锥 C-ADE=V
规律方法
1
1
2
AF= ×2×1= .
三棱锥 A-CDE= S△CDE·
3
3
3
求解折叠问题应明确在折叠线同侧的线面位置关系在折叠前
后不变,而在折叠线异侧的线面位置关系在折叠后改变.
变式训练5如图1是矩形ABCD和以边AB为直径的半圆组成的平面图形,将
圆柱的表面积与球的表面积之比为( C )
1
A.
2
3
C.
2
B.2
4
D.
3
解析 设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R.
2,球的表面积S =4πR2,所以圆柱的表
圆柱的表面积S1=2πR2+2πR·2R=6πR
2
1
6π2
3
面积与球的表面积之比为 =
2 = 2. 故选C.
2
4π
(2)如图所示的三棱锥O-ABC为长方体的一角,其中OA,OB,OC两两垂直,三
抠掉后,剩余部分绕AD所在直线旋转180°,求形成的几何体的表面积与体
积.
解 所得几何体是由一个圆锥挖去一个圆柱后形成的,
∵S 锥表=π·DC2+π·DC·AC=4π+8π=12π,
S 柱侧=2π·DG·FG=2 3π,
∴所求几何体的表面积 S=S 锥表+S 柱侧=12π+2 3π=2(6+ 3)π.
(2)通过举反例对结构特征进行辨析,要说明一个说法是错误的,只要举出
一个反例即可.
变式训练1下列说法正确的是( D )
A.底面是矩形的平行六面体是长方体
B.棱长都相等的直四棱柱是正方体
C.侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体
D.底面为正多边形,且相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱
解析
若侧棱不垂直于底面,则底面是矩形的平行六面体不是长方体,故A
个侧面OAB,OAC,OBC的面积分别为1.5 cm2,1 cm2,3 cm2,则三棱锥O-ABC
的体积为
解析
1
cm3.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
设 OA,OB,OC 的长依次为 x cm,y cm,z cm,
1
1
1
则由已知可得 xy=1.5, xz=1, yz=3,
2
2
2
解得 x=1,y=3,z=2.
故 V 三棱锥 O-ABC=V
又AB⊥BE,BE∩CE=E,BE⊂平面BCE,CE⊂平面BCE,∴AB⊥平面BCE.
∵AB⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面BCE.
(3)解 连接DE,AE.∵平面CDFE⊥平面ABEF,平面CDFE∩平面
ABEF=EF,AF⊥EF,AF⊂平面ABEF,
∴AF⊥平面CDFE,则AF为三棱锥A-CDE的高,AF=1.
过点 E 作 EF⊥AB 于点 F,则 EF⊥平面 ABCD.
又
π
AB=2,∠BAE= ,∴AE=
6
3,EF=
3
.
2
1
1
∵S△ACD=2AD·CD=2×1×2=1,
∴V 三棱锥 D-ACE=V
1
1
3
EF=3×1× 2
三棱锥 E-ACD= S△ACD·
3
故三棱锥 D-ACE 的体积是
3
.
6
=
3
.
6
BC上,且EF∥AB,已知AB=AD=CE=2,现沿EF把四边形CDFE折起如图2,使
平面CDFE⊥平面ABEF.
(1)求证:AD∥平面BCE;
(2)求证:平面ABC⊥平面BCE;
(3)求三棱锥C-ADE的体积.
(1)证明 由题意知AF∥BE,AF⊄平面BCE,BE⊂平面BCE,
∴AF∥平面BCE,同理,DF∥平面BCE.
目录索引
网络构建•归纳整合
专题突破•素养提升
网络构建•归纳整合
专题突破·素养提升
专题一
空间几何体的结构特征
【例1】 根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称.
(1)由六个面围成,其中一个面是凸五边形,其余各面是有公共顶点的三角
形;
(2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的旋转