高考数学第六章 不等式、推理与证明 41 合情推理与演绎推理课时作业

课时作业41 合情推理与演绎推理
一、选择题
1．下列推理过程是类比推理的为( )
A ．人们通过大量试验得出抛硬币出现正面的概率为0.5
B ．科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼
C ．通过检验溶液的pH 值得出溶液的酸碱性
D ．数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数 解析：由类比推理的概念可知． 答案：B
2．已知△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，求证：a <b . 证明：∵∠A ＝30°，∠B ＝60°，∴∠A <∠B . ∴a <b ，其中，画线部分是演绎推理的( ) A ．大前提 B ．小前提 C ．结论
D ．三段论
解析：由三段论的组成可得划线部分为三段论的小前提． 答案：B
3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a 1＝1，S n ＝n 2
a n ，试归纳猜想出S n 的表达式为( ) A ．S n ＝
2n
n ＋1
B ．S n ＝2n －1
n ＋1
C ．S n ＝2n ＋1
n ＋1
D ．S n ＝
2n n ＋2
解析：S n ＝n 2
a n ＝n 2
(S n －S n －1)，∴S n ＝n 2
n 2
－1
S n －1，S 1＝a 1＝1，则S 2＝43
，S 3＝32＝64
，S 4＝85
.
∴猜想得S n ＝
2n
n ＋1
，故选A. 答案：A
4．已知数列a n ：11，21，12，31，22，13，41，32，23，1
4，…，依它的前10项的规律，则a 99
＋a 100的值为( )
A.3724
B.76
C.1115
D.715
解析：通过将数列的前10项分组得到第一组有一个数：1
1，分子、分母之和为2；第二
组有两个数：21，12，分子、分母之和为3；第三组有三个数：31，22，1
3，分子、分母之和为4；
第四组有四个数，…依次类推，a 99，a 100分别是第十四组的第8个数和第9个数，分子、分母之和为15，所以a 99＝78，a 100＝69.故a 99＋a 100＝37
24
.
答案：A
5．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是( )
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
解析：若甲说的是真话，则乙、丙、丁都是说假说，所以丁偷了珠宝，所以，丙说的也是真话，与只有一个人说真话相矛盾，所以甲说的是假话，偷珠宝的人是甲．
答案：A
6．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：( )
①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
解析：显然①④正确．②中空间内垂直于同一条直线的两直线可能平行，可能相交，也可能异面；③垂直于同一个平面的两个平面可能平行，也可能相交，故D 正确．
答案：D
7．观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )
A ．76
B ．80
C ．86
D ．92
解析：通过观察可以发现|x |＋|y |的值为1，2，3时，对应的(x ，y )的不同整数解的个数为4，8，12，可推出当|x |＋|y |＝n 时，对应的不同整数解(x ，y )的个数为4n ，所以|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为80.
答案：B 二、填空题
8．观察下列不等式 1＋12<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， ……
照此规律，第五个不等式为________． 解析：由前几个不等式可知 1＋122＋132＋142＋…＋1n 2<2n －1n
. 所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.
答案：1＋122＋132＋142＋152＋162<11
6
9．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算f (22)>2，f (23)>52，f (24)>3，f (25
)>72，推测
当n ≥2时，有________．
解析：因为f (22)>42，f (23)>52，f (24)>62，f (25)>72，所以当n ≥2时，有f (2n
)>n ＋22.
答案：f (2n
)>
n ＋2
2
10．在平面几何中：△ABC 的内角C 平分线CE 分AB 所成线段的比为AC BC ＝AE
BE
.把这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中(如图)DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是________．
解析：由平面中线段的比转化为空间中的面积的比可得AE EB ＝S △ACD
S △BCD
.
答案：AE EB ＝
S △ACD
S △BCD
11．观察分析下表中的数据：
解析：由给出的数据归纳可得出F ＋V －E ＝2. 答案：F ＋V －E ＝2
1．若函数y ＝f (x )满足：集合A ＝{f (n )|n ∈N *
}中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f (x )是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是( )
①y ＝2x ＋1 ②y ＝log 2x ③y ＝2x
＋1 ④y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：①y ＝2x ＋1，n ∈N *
，是等差源函数；②因为log 21，log 22，log 24构成等差数列，所以y ＝log 2x 是等差源函数；③y ＝2x
＋1不是等差源函数，因为若是，则2(2p
＋1)＝(2m
＋1)＋(2n
＋1)，则2
p ＋1
＝2m ＋2n ，所以2
p ＋1－n
＝2
m －n
＋1，左边是偶数，右边是奇数，故y ＝2
x
＋1不是等差源函数；④y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
4
x ＋π4是周期函数，显然是等差源函数．
答案：C
2．二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2
；观察发现S ′＝
l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝4
3
πr 3，观察发现V ′＝S ，则四维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，猜想其四维测度W ＝________.
解析：∵(2πr 4
)′＝8πr 3
，∴W ＝2πr 4
. 答案：2πr 4
3．如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有
f （x 1）＋f （x 2）＋…＋f （x n ）
n ≤
f ⎝
⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .若y ＝sin x 在区间(0，
π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．
解析：由题意知，凸函数满足
f （x 1）＋f （x 2）＋…f （x n ）n ≤f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 1＋x 2＋…＋x n n ，
又y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，
则sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin A ＋B ＋C
3＝3sin π3＝332
.
答案：332
4．观察下列等式：
23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，53
＝21＋23＋25＋27＋29，….若用类似以上各式的拆分方法将m 3
分拆得到的等式的右边最后一个数是109，则正整数m 等于________．
解析：经观察可知m 3
可分拆为m 个连续奇数之和，则这m 个奇数构成首项为a 1，末项为a m ＝109，公差为2的等差数列，所以有a m ＝a 1＋(m －1)×2＝109，得a 1＝111－2m ，其各项和S m ＝
m （a 1＋a m ）2
＝
m （111－2m ＋109）
2
＝m 3
，解得m ＝10.
答案：10。