广东省广雅中学2021届高三数学10月月考试题 理(1)

广东广雅中学2021—2021学年度上学期高三10月月考
数学（理科）
本试卷共4页，21小题，总分值150分。

考试历时120分钟。

【注意事项】
1．答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。

2．选择题的答案一概做在答题卡上，每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

3．非选择题必需用黑色笔迹的钢笔或签字笔作答，答案必需写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原先的答案，然后再写上新的答案；不准利用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必需维持答题卡的整洁，考试终止后，将答题卷和答题卡一并收回。

一、选择题：本大题共8小题，每题5分，总分值40分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题
目要求的．
1．设集合{}2
|20M x Z x x =∈+≤,{}
2
|20,N x x x x =-=∈R ,那么M
N =
A ． {}0
B ．{}0,2
C ．{}2,0-
D ．{}2,0,2-
2．假设复数155z i =+，23z i =-，则
1
2
z z = A ．42i + B ．2i + C ．12i + D ．3 3．以下函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是
A ．ln(1)y x =+
B
．y = C ． 1()2
x
y =
D ．1y x x
=+
4． 已知31
sin()23
πα+=，那么cos2α= A ．79
-
B ．79
C ． 1
3
-
D ．
1
3
5．设m n 、是两条不同的直线， αβ、是两个不同的平面,以下命题中错误的选项是 A ． 假设m α⊥,//m n ,//n β,那么αβ⊥ B ．若αβ⊥,m α⊄,m β⊥,那么//m α
C ．若m β⊥,m α⊂,那么αβ⊥
D ．若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,那么m n ⊥
6．巳知双曲线G 的中心在座标原点，实轴在x
G 上一点到G 的两个核心的距离之差
为12，那么双曲线G 的方程为
A ．
192522=-y x B ．193622=-y x C ．193622-=-y x D ．18
362
2=-y x 7．在平面直角坐标系
xOy 上的区域D
由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪
≤⎨⎪
≤⎩给定．若(,)M x y 为D 上的动点，点A 的坐标
为，那么||AM 的最大值为
A
． B
． C
D ．3
8．若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且知足：①X 属于τ，φ属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．那么称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合{}X a b c =，，，关于下面给出的四个集合τ：
①{{}{}{}}a c a b c τ=∅，
，，，，； ②{{}{}{}{}}b c b c a b c τ=∅，
，，，，，，； ③{{}{}{}}a a b a c τ=∅，
，，，，； ④{{}{}{}{}}a c b c c a b c τ=∅，
，，，，，，，． 其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是
A. ①
B. ②
C. ②③
D. ②④
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每题5
（一）必做题（9～13题） 9. 计算
(cos 1)x dx π
+=⎰
．
10．函数ln ()(0)x
f x x x
=
>的单调递增区间是 ． 11．执行如下图的程序框图,假设输入n 的值为4,那么输出s 的值为 ______.
12．曲线x
y e =过点(0,0)的切线方程为 ． 13．某同窗为研究函数22()
11(1)(0f x x x x 01)≤≤
的性质，构造了如下图的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ， 点P 是边BC 上的一个动点，设CP
x ，那么()AP PF f x ． 请
你参考这些信息，推知函数()f x 的值域是 ． （二）选做题（14～15题，考生只能从当选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为2,
(,
x t t y t ⎧=⎨
=⎩为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴，成立极坐标系，曲线2C 的方程为sin 1ρθ=，那么曲线1C 和2C 交点的直角坐标为_________ ．
15． (几何证明选讲选做题)如下图，圆O 的直径6AB =，C 为圆周上一点， 3BC =，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的 垂线AD ，垂足为D ，那么线段CD 的长为 ．
三、解答题：本大题共6小题，总分值80分．解答须写出文字说明、证明进程和演算步骤． 16．（本小题总分值12分）
已知函数)cos()(ϕω+=x A x f （0>A ,0>ω,02
<<-ϕπ
）的图象与y 轴的交点为)1,0(，它在y 轴右
边的第一个最高点和第一个最低点的坐标别离为
)2,(0x 和)2,2(0-+πx ．
(1)求函数)(x f 的解析式； (2)假设锐角θ知足22
(2)33
f πθ+=，求)2(θf 的值． 17.（本小题总分值12分）
每一年5月17日为国际电信日，某市电信公司每一年在电
信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可取得优惠200元，选择套餐二的客户可取得优惠500
元，选
择套餐三的客户可取得优惠300元. 依照以往的统计结果绘出
电信
日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率.
第16题图
第15题图
套餐1
套餐2
套餐3
套餐种类
频率
1/8
3/8
1/2
O
D
C
B
A
D 1
C 1
B 1
A 1
(1) 求某两人选择同一套餐的概率；
(2) 假设用随机变量X 表示某两人所获优惠金额的总和，求X 的散布列和数学期望. 18.（本小题总分值14分）
如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11ADD A ⊥底面ABCD
，11D A D D ==ABCD 为直角梯形，其中// , BC AD AB AD ⊥，222AD AB BC ===，
O 为AD 中点.
(1)求证：1
//AO 平面1AB C ； (2)求锐二面角C D C A --11的余弦值． 19．（本小题总分值14分）
已
知
数
列
{}
n a 知足
0a R
∈，
123,(0,1,2,)n n n a a n +=-=
(1)设,2n
n n
a b =
试用0,a n 表示n b （即求数列{}n b 的通项公式）
； (2)求使得数列{}n a 递增的所有o a 的值． 20.（此题总分值14分）
已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>
通过点，且椭圆的离心率12
e =． (1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的右核心F 作两条相互垂直的直线，别离交椭圆于点,A C 及,B D ，设线段AC ，BD 的中点别离为,P Q ．求证：直线PQ 恒过一个定点． 21. （此题总分值14分）
已知函数2
()ln f x x x =+.
(1)假设函数()()g x f x ax =-在概念域内为增函数，求实数a 的取值范围； (2)在(1)的条件下，且1a >，3()3x
x h x e
ae =-，[0,ln 2]x ∈，求()h x 的极小值；
(3)设2
()2()3F x f x x k =--（k ∈R ），假设函数()F x 存在两个零点,(0)m n m n <<，且知足
02x m n =+，问：函数()F x 在00(,())x F x 处的切线可否平行于x 轴？假设能，求出该切线方程，假设不能，
请说明理由.
广东广雅中学2021—2021学年度上学期高三10月月考 数学（理科）试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共8小题，每题5分，总分值40分.
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每题5分，总分值30分． 9. π 10. (0,]e （或(0,)e ） 11. 15 12. y ex = 13. 1] 14. ()1,1 15.
一、选择题：本大题共8小题，每题5分，总分值40分. 1．A.【解析】易患{}2,1,0M =--,{}0,2N =,因此M N ={}0,应选A ．
2．C ．【解析】
1222555(1)(3)5(24)
123(3)(3)31
z i i i i i z i i i ++++====+--++ 3．A ．【解析】B 、C 为减函数，D 为双钩函数，双钩函数在(0,)+∞上先减后增. 4．
A ．解析：31sin()cos 23παα+
=-=，即1cos 3α=-，27
cos 22cos 19
αα=-=- 5．D ．解析】ABC 是正确命题,选D ．
6．B ．【解析】2
5
=e ，122=a ，6=a ，3=b ，那么所求双曲线方程为193622=-y x .
7．C ．作出可行域D ，由图像知，当点M 的坐标为(0,0)或(0,2)时，||AM ．
8．D. 解析：①不是拓扑，因为{}a τ∈，{}c τ∈，但{}{}a c τ∉；②是拓扑，能够一一验证三条性质都知足；③不是拓扑，因为全集{,,}X a b c τ=∉；④是拓扑，能够一一验证三条性质也都知足． 二、填空题： 9． π.解：
00
(cos 1)(sin )|x dx x x π
ππ+=+=⎰
10．【解析】(0,]e ．'22
1
ln 1ln ()0
x x
x x f x x x ⋅--==≥，即1ln 0x -≥，ln 1ln x e ≤=，即0x e <≤. 11． 15.解析：第一次循环后:3,2s i ==；第二次循环后:6,3s i ==； 第三次循环后:10,4s i ==；第四次循环后:15,5s i ==；故输出15. 12．y ex =，解析：设切点为00(,)x
x e ，那么切线为0
00()x x y e
e x x -=-，把(0,0)代入上式，得01x =，故切
线方程为y ex = 13．
1] 解析：依照图形可知，当1
2
x
时（点P 在BC 中间），22
min ()215f x AF
，
当0x
或1x
时（点P 在B 点或C 点）
，max ()21f
x ，∴()f
x 的值域是1]．
14．()1,1.考查极坐标方程.2
12:,:1C y x C
y ==，联立方程专门快得出结果
15．
2
.解：在Rt ABC ∆中，6,3AB BC ==，故1sin 2BC BAC AB ∠=
=
，故30BAC ∠=
，
AC ==.由l 是圆O 的切线知，ABC ACD ∠=∠，故Rt ABC Rt
ACD ∆∆
，
3,62
CD AC BC AC CD BC AB AB ⋅⨯====
. 三、解答题：本大题共6小题，总分值80分．解答须写出文字说明、证明进程和演算步骤．
16. 解：（1）由题意可得2=A ，π22=T 即24T ππω==，2
1
=ω …………3分 )21cos(2)(ϕ+=x x f ，1)0(=f 由2
1cos =ϕ且02<<-ϕπ，得3π
ϕ-=………5分
函数)3
21cos(2)(π
-=x x f ． …………6分
（2）由于22(2)33
f πθ+
=，即1
cos 3θ=且θ为锐角，因此322sin =
θ …………8分 )2(θf )3sin sin 3cos
(cos 2)3
cos(2π
θπ
θπ
θ+=-
=
…………10分 )233222131(2⨯+⨯⋅=3
6
21+=
．即)2(θf …………12分
17. (本小题总分值12分)
【命题用意】本小题要紧考查学生对概率知识的明白得，通过散布列的计算，考查学生的数据处置能力. 解：(1) 由题意可得某两人选择同一套餐的概率为
z
y
x
O D
C B
A
D 1
C 1
B 1
A 1
A 1
B 1
C 1
D 1
A
B
C
D
O
1111331388228832
P =⋅+⋅+⋅=.
…………4分
(2) 由题意知某两人可取得优惠金额X 的可能取值为400，500，600，700，800，1000.
111(400)8864P X ==⋅=，12136(500)8864P X C ==⋅⋅= 339(600)8864P X ==⋅=，12118(700)8264
P X C ==⋅⋅= 121324(800)2864P X C ==⋅⋅=，1116(1000)2264
P X ==⋅= …………8分
综上可得X 的散布列为：
(10)
分
16982416
4005006007008001000775646464646464
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 即X 的数学期望为775.
…………12分
形，因此
18.(1)证明：如图，连接 , CO AC ，那么四边形ABCO 为正方
11OC AB A B ==，且11////OC AB A B ，…………2分
故四边形11A B CO 为平行四边形，因此11//A O B C ．…4分
又1
AO ⊄平面1AB C ，1B C ⊂平面1AB C ， 因此1//A O 平面1AB C . ……………6分
(2)因为11 , D A D D O =为AD 的中点，因此1 D O AD ⊥，又侧面11ADD A ⊥底面ABCD ，交线为AD ，故1D O ⊥底面ABCD 。

…………7分
以O 为原点，所1 , , OC OD OD 在直线别离为x 轴，y 轴，z 轴成立如下图的坐标系， 那么
()()1,0,0 , 0,1,0 , C D ()()10,0,1 , 0,1,0D A -，
()()11,1,0 , 0,1,1 , DC DD ∴--()()1110,1,1 , 1
,1,0D A DC DC --==-，……8分 设(),,m x y z =为平面11CDD C 的一个法向量，由
1 , m DC m DD ⊥⊥，得0
0x y y z -=⎧⎨
-+=⎩
，
令1z =，那么()1, 1 , 1,1,1y x m ==∴= ． ……10分
又设()111,,n x y z =为平面11AC D 的一个法向量，由111 , n D A n DC ⊥⊥，得1111
0y z x y --=⎧⎨-=⎩，令11z =，
则()111, 1 , 1,1,1y x n =-=-∴=--， …………12分
则1
cos ,3m n <>=
=-，
故所求锐二面角C D C A --11的余弦值为1
3
． …………14分 注：第2问用几何法做的酌情给分．
19．解：（1）
1131
,2222n n n n a a ++=-+ …………1分 即131,22n n b b +=-+变形得，1131
(),525n n b b +-=-- …………3分
若0105a -=，那么1
5n b = …………4分
若0105a -≠，那么数列1{}5n b -是以01
5
a -为首项的，
3
2
-为公比的等比数列…………5分 故0113()()552n n b a -=--，因此，0113()()552
n
n b a =+--； ……6分
（2）法一：11
101124()(3)55n n n n a a a ----=⨯--- ……7分
n 为奇数时，111011
24()355
n n n n a a a ----=⨯+-⨯，令10n n a a -->， ……8分
得11
01124()355n n a --⨯>-⨯，即101124()()553
n a --<⨯对所有的正奇数恒成立，…9分 因为112()53n y -=⨯对n *
∈N 单调递减，因此014()05a -≤，即015
a ≥。

………10分
n 为偶数时，11
101124()355
n n n n a a a ----=⨯--⨯，令10n n a a -->， ……11分
得11
01124()355n n a --⨯>-⨯，即101124()()553
n a --<⨯对所有的正偶数恒成立，…12分 因为112()53n y -=⨯对n *
∈N 单调递减，因此014()05a -≤，即015a ≤。

………13分
综上，01
5
a =时，数列{}n a 递增。

…………14分
法二：由（1）知0113()()2552n
n n a a =+--， 从而011322()()552n n n n a a =⋅+--0112()(3)55
n n
a =⋅+--，……7分
故1024013
[()()1]10352
n n n n a a a --=
⋅--+， …………8分 设0401()35A a =⋅-，那么123[()1]102n n n n a a A --=-+，下面说明01
5
a =，……9分
讨论： 若015a <
，那么A<0,现在对充分大的偶数n ，3[()1]02
n
A -+<，有1n n a a -<，这与{}n a 递增的要求不符； …………11分
若015a >
，那么A>0,现在对充分大的奇数n ，3[()1]02
n
A -+<，有1n n a a -<，这与{}n a ，递增的要求不符； …………13分
若015a =，那么A=0，12010n n n a a --=>，始终有1n n a a ->。

综上，01
5
a =。

…14分 注意：直接研究通项，只要言之成理也相应给分。

20.解：(1)由1
2
c e a ==，得2214c a =，
即2
2
2
2
44()a c a b ==-，即22
34a b =． …1分
由椭圆过点2-
知，2233
14a b
+=． ……2分 联立（1）、（2）式解得2
2
4,3a b ==。

……3分
故椭圆的方程是22143
x y +=． ……4分 (2)直线PQ 恒过一个定点4
(,0)7
． ……5分
证明 椭圆的右核心为(1,0)F ，分两种情形．
1°当直线AC 的斜率不存在时，AC :1x =，那么 BD :0y =．由椭圆的通径易患(1,0)P ，又(0,0)Q ，现在直线PQ 恒过一个定点4(,0)7
； ……6分
2°当直线AC 的斜率存在时，设AC : (1)(0)y k x k =-≠，那么 BD ：1
(1)y x k
=--． 又设点1122(,),(,)A x y C x y ． 联立方程组
22
(1),3412,
y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y 并化简得2222
(43)84120k x k x k +-+-=， ………8分 因此2
122
843
k x x k +=+． 212122286(2)(2)4343
k k
y y k x x k k k +=+-=-=-++．
22243(,)4343
k k
P k k -++． …………10分 由题知，直线BD 的斜率为1
k
-
，同理可得点2243(,)4343k Q k k ++．…………11分
22
222
23374343444(1)
4343
PQ
k k
k k k k k k k k +++=
=---++． 222
374
()434(1)43k k y x k k k
-
=--+-+， …………12分 即2
4(74)40yk x k y +--=． 令40,740,40y x y =-=-=，解得4
,07
x y =
=． 故直线PQ 恒过一个定点4
(,0)7
； …………13分 综上可知，直线PQ 恒过一个定点4(,0)7
． …………14分 21．（此题总分值14分）
解：(1)21
()()ln ,()2.g x f x ax x x ax g x x a x
'=-=+-=+- 由题意，知()0,(0,)g x x '≥∈+∞恒成立，即min 1
(2)a x x
≤+. …………2分
又1
0,2x x x
>+
≥
x =时等号成立.
故min 1
(2)x x
+=
a ≤. …………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1a <≤令x e t =，那么[1,2]t ∈，那么3
()()3.h x H t t at ==-
2()333(H t t a t t '=-=-+ …………5分
由()0H t '=
，得t =
t =（舍去）
，3
4
(1,2[1,2]a ∈
，
①若1t <≤
，那么()0,()H t H t '
<单调递减；()h x 在(0,ln 也单调递减；
2
t<≤，那么()0,()
H t H t
'>单调递增. ()
h x
在[ln2]也单调递增；
故()
h x
的极小值为2
h=-…………8分
(3)法一：设()
F x在
00
(,())
x F x的切线平行于x轴，其中2
()2ln
F x x x k
=--结合题意，
22
2ln0;2ln0
m m k n n k
--=--=,相减得2ln()()0
m
m n m n
n
-+-=，即2
2ln()
m m n
m n
n m n
-
=+⋅
+
. …………9分
0000
2
()20,1(0)
F x x x x
x
=-=∴=>,又
22
m n x
+==,
因此
2(1)
2()
ln.
1
m
m m n n
m
n m n
n
-
-
==
++
设(0,1)
m
u
n
=∈，
2(1)
ln0((0,1)).
1
u
u u
u
-
-=∈
+
…………11分
设2(1)
ln((0,1))
1
u
y u u
u
-
=-∈
+
，
因此函数2(1)
ln
1
u
y u
u
-
=-
+
在(0,1)上单调递增，
因此，
1
|0
u
y y
=
<=，即
2(1)
ln0.
1
u
u
u
-
-<
+
也确实是，
2(1)
ln
1
m
m n
m
n
n
-
<
+
，……13分因此
2(1)
2()
ln.
1
m
m m n n
m
n m n
n
-
-
==
++
无解.
因此()
F x在
00
(,())
x F x处的切线不能平行于x轴. ……14分法二：
分析：即证是不是存在
02
m n
x
+
=使
'()0
F x=，因为0
x>时'()
y F x
=单调递减，且'(1)0
F=，因此即
证是不是存在
02
m n
x
+
=使
1
x=。

即证否存在,m n使2
m n
=-。

证明：2
()2ln
F x x x k
=--.
2(1)(1)
'()22
x x
F x x
x x
--+
=-=⨯
'()()
x F x F x
、、的转变如下：
即()y F x =在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减。

又()()0F m F n ==且0m n << 因此01m n <<< 。

…………10分
构造函数()()(2)G x F x F x =--，其中01x <<
即22()(2ln )[2ln(2)(2)]G x x x x x =-----2ln 2ln(2)44x x x =---+ 22'()42G x x x
=+--2(1)40(2)x x x -=⨯≥-，当且仅当1x =时'()0G x =， 故()y G x =在(0,1)单调增，因此()(1)0G x G <=。

…………12分 因此01x <<时，()(2)F x F x <-。

又01m n <<<，因此()(2)F m F m <-， 因此()()(2)F n F m F m =<-。

…………13分 因为2(1,)n m -∈+∞、，因此依照()y F x =的单调性知2n m >-，即
12m n +>。

又2'()2F x x x =-在(0,)+∞单调递减，因此0'()'()'(1)02
m n F x F F +=<=. 即函数()F x 在00(,())x F x 处的切线不能平行于x 轴。

…………14分。