山东省菏泽市13校联考2013-2014高二数学上学期期末考试(B卷)

高二数学（理）试题（B ）
第Ⅰ卷
一、选择题（共12道小题，每题5分，共60分）
1．若命题2:,210p x R x ∀∈->，则该命题的否定是（ ） A. 2,210x R x ∀∈-< B. 2,210x R x ∀∈-≤ C. 2,210x R x ∃∈-≤
D. 2,210x R x ∃∈->
2．对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列五个命题:
① 若,0a b c >≠，则ac bc >；② 若a b >，则22ac bc >；③ 若22ac bc >，则a b >； ④若,a b >则
11
a b
<； ⑤若0,a b c d >>>，则ac bd >. 其中真命题的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．“双曲线C 的渐近线方程为y =±4
3x ”是“双曲线C 的方程为22—916
x y =1”的（ ）
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．不充分不必要条件
4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥3，x －y ≥－1，
2x －y ≤3.
则z ＝2x ＋3y 的最小值为（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．23
5．函数y ＝x ＋
1
x －1
＋5（x ＞1）的最小值为（ ） A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，S 5等于（ ） A ．－36
B ．－30
C ．30
D ．20
7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，c ·cos A =b ，则△ABC （ ） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是钝角三角形 C ．一定是直角三角形
D ．一定是斜三角形
8．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3=a 2+10a 1，a 5=9,则a 1=（ ） A ．13
B ．1
3-
C ．19
D ．19
-
9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c
，已知∠A=60°，b =角形只有一个，则a 满足的条件是（ ）
A. 0a <<
B. 6a =
C. a ≥6a =
D
．0a <≤6a =
10．若m 是5和16
5
的等比中项，则圆锥曲线221x y m +=的离心率是（ ）
A
B
C
D
11．从圆O :224x y +=上任意一点P 向x 轴作垂线,垂足为P ′,点M 是线段PP ′的中点,则点
M 的轨迹方程是（ ）
A ．22
91164x y +=
B ．2
214
x y +=
C ．2
2
14y x +=
D ．22
91164y x +=
12．下面是关于公差0d >的等差数列{a n }的两个命题:p 1:数列{na n }是递增数列；p 2:数列n a n ⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
是递增数列.
其中的真命题为（ ） A.12p p ∨
B. 12p p ∧
C ．12p p ⌝∨
D ．12p p ∧⌝
第Ⅱ卷
二、填空题（共4道小题，每题4分，共16分）
13. 已知()f x 为一元二次函数，()0f x <的解集为{}12x x x <->或，则()20f x >的解集
为 .
14．△ABC 中，AB
AC =1，∠C =60°，则△ABC 的面积等于 . 15．双曲线22
:1412
x y C -=的焦点到其渐近线的距离等于 .
16．已知数列{}n b 的通项公式是n b n =，则
13352121
111n n b b b b b b -++++= .
三、解答题（本题共6小题，共76分,写出必要的文字说明，推理、演算步骤） 17．（本题满分12分）
（Ⅰ）双曲线与椭圆22
12736
x y +=有相同焦点，且经过点，求其方程；
（Ⅱ）求焦点在240x y --=上的抛物线的标准方程.
18．（本小题满分12分）
已知命题p：关于x的不等式2(1)10
x a x
+-+≤的解集为φ；命题q：双曲线
22
2
1
4
x y
a
-=
（a＞0）的离心率不小于3．若命题“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a 的取值范围．
19．（本小题满分12分）
如图，为了计算菏泽新区龙湖岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两个测量点，现测得AD⊥CD，AD＝5km，AB＝7km，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求两景点B与C的距离．（假设A，B，C，D在同一平面内）
20．（本小题满分12分）
甲、乙两地相距200千米，小型卡车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过150千米／小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（单位：千米／小时）的平方成正比，且比例系数为1
250
；固定部分为40元，为了使全程运输成本最小，卡车应以多大速度行驶？
21．（本小题满分12分）
设数列{}n a 为等差数列，且355,9a a ==；数列{}n b 的前n 项和为n S ，且1212n n S ⎡⎤
⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
.
（Ⅰ）求数列{},{}n n a b 的通项公式； （Ⅱ）若()n
n n
a c n N
b +=∈，T n 为数列{
c n }的前n 项和，求T n .
22．（本小题满分14分）
F
x 轴左交点与点F 的距
1. （Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）过点P （0，2）的直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，当△OAB
高二数学（理）试题（B ）参考答案
一、选择题：
1．C 2．A 3．C 4．B 5．D 6．A 7．C 8．C 9．B 10．D 11．B 12．C 二、填空题
13．1{1}2x x -<< 14
15
．．21n
n +
三、解答题
17．解：（Ⅰ）椭圆22
13627
y x +=的焦点为(0,3),3c ±=，……………………………………2分
设双曲线方程为2222
1
9y x a a -=-
，因为过点，得22161519a a -=-，得2
4,36a =或， 而2
9a <，2
4a ∴=，双曲线方程为22
145
y x -=.………………………………………6分
（Ⅱ）由题意知抛物线的焦点在坐标上，又焦点在240x y --=上，
∴令0,2,x y ==-得此时焦点为（0，－2），求得抛物线为28x y =-……………… 8分 令y =0，得x =4，焦点为（4,0）求得抛物线为216y x =
∴所求抛物线为28x y =-和216y x =.…………………………………………………12分 18．解：命题p ：关于x 的不等式2(1)10x a x +-+≤的解集为空集φ，
所以2(1)40a --<，即2230,a a --< 所以13,a -<< ……………………… 2分
则p 为假命题时：1a ≤-或3a ≥； ………………………………………………… 4分
由命题q ：22
214x y a
-=
所以
≥
解得；0a <, 则q
为假命题时：a > ……………………………………………………………6分 命题p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，所以p 、q 中一真一假， …………………… 8分
若p 真q
3a < ; 若p 假q 真，则a 不存在，
所以实数a
3a <.…………………………………………………… 12分 19．解：在△ABD 中，设BD = x ，
则2222cos BA BD AD BD AD BDA =+-⋅⋅∠，………………………………………………2分 即2227510cos60,x x =+- ………………………………………………………………4分
整理得： 25240x x --=，解之：x 1=8 ，23x =-（舍去）， …………………………6分 由正弦定理，得：sin sin BC BD
CDB BCD
=
∠∠ , …………………………………………8分 ∴00
8
sin30sin135
BC =
=（km ）. ……………………………………………………11分 答：两景点B 与C
的距离约为km. ……………………………………………12分
20．解：设全程运输成本为y 元，卡车从甲地到乙地所用时间为200
v
小时，每小时的运输成本
为：
2
140250
v +元，………………………………………………………………………2分
所以220014
8000401602505y v v v v ⎛⎫=
+==≥
⎪⎝⎭
，………………10分 当且仅当48000
5v v
=，即100v =时等号成立.
所以卡车以100千米／小时的速度行驶时，全程运输成本最小. ……………………12分 21．解：（Ⅰ）数列{a n }为等差数列，则公差531
()22
d a a =-=
因为a 3=5，所以a 1=1. 故a n =2n －1，…………………………………………………3分 当n =1时，111S b ==，
当n ≥2时，11111121()21()()222n n n n n n b S S ---⎡⎤⎡
⎤=-=---=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦，11()2n n b -∴=. ………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知1(21) 2n n
n n
a c n
b -=
=-， 012211 2 3 2 5 2(23) 2(21)n n n T n n --∴=+++⋅⋅⋅+-+- 11 2=1 2 3 2(23) 2(21) 2n n n T n n -++⋅⋅⋅+-=-………………………………………9分
1121
2(12)
1 2 2 2 2 2 2
(21) 21|2(21)212
n n n
n n T n n ---∴-=+++⋅⋅⋅+--=---
14(32) 2n n n =-+-………………………………………………………………11分
3(23) 2n n T n ∴=+-.……………………………………………………………………12分
22．
1c -=，又222a b c -=，解得221,2b a ==， ……………………………………………………………6分
（Ⅱ）根据题意可知，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为2+=kx y ，设11(,)A x y ，()22,B x y 由方程组y 得关于x 的方程22(12)860k x kx +
++= ，……8分 由直线l
与椭圆相交于A ，B 两点，则有0∆>，即2226424(12)16240k k k -+=->，
，…………………………………………10分
故△OAB
………………………
12分
=，………………………………14分。