人教新高考高二数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 若函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图像开口向上，且顶点坐标为$(1, 2)$，则
下列说法正确的是（）
A. $a > 0, b = -2a, c = 2a + 2$
B. $a < 0, b = -2a, c = 2a + 2$
C. $a > 0, b = 2a, c = -2a + 2$
D. $a < 0, b = 2a, c = -2a + 2$
2. 下列函数中，在区间$(0, +\infty)$上单调递增的是（）
A. $f(x) = x^2$
B. $f(x) = 2^x$
C. $f(x) = \log_2 x$
D. $f(x) = x^3$
3. 已知向量$\vec{a} = (2, 3)$，$\vec{b} = (1, 4)$，则$\vec{a} \cdot
\vec{b}$的值为（）
A. 11
B. 10
C. 9
D. 8
4. 下列命题中，正确的是（）
A. 若$a > b$，则$a^2 > b^2$
B. 若$a > b$，则$\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$
C. 若$a > b$，则$\sqrt{a} > \sqrt{b}$
D. 若$a > b$，则$|a| > |b|$
5. 已知等差数列$\{a_n\}$的首项为2，公差为3，则第10项$a_{10}$的值为（）
A. 27
B. 29
C. 31
D. 33
6. 下列函数中，定义域为$\mathbb{R}$的是（）
A. $f(x) = \sqrt{x^2 - 1}$
B. $f(x) = \frac{1}{x}$
C. $f(x) = \ln(x)$
D. $f(x) = e^x$
7. 若函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$的图像与$x$轴交于点$(1, 0)$，则下列说法正确的是（）
A. $f(-1) = 0$
B. $f(0) = 0$
C. $f(1) = 0$
D. $f(-2) = 0$
8. 已知等比数列$\{a_n\}$的首项为3，公比为$\frac{1}{2}$，则第6项$a_6$的值为（）
A. $\frac{3}{64}$
B. $\frac{3}{32}$
C. $\frac{3}{16}$
D. $\frac{3}{8}$
9. 下列命题中，正确的是（）
A. 若$a \geq b$，则$a^2 \geq b^2$
B. 若$a \leq b$，则$a^2 \leq b^2$
C. 若$a \geq b$，则$|a| \geq |b|$
D. 若$a \leq b$，则$|a| \leq |b|$
10. 已知函数$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$，则$f(2)$的值为（）
A. 2
B. -2
C. 4
D. -4
11. 下列函数中，在区间$(0, +\infty)$上单调递减的是（）
A. $f(x) = x^2$
B. $f(x) = 2^x$
C. $f(x) = \ln(x)$
D. $f(x) = x^3$
12. 若等差数列$\{a_n\}$的首项为3，公差为2，则第5项$a_5$与第8项$a_8$的和为（）
A. 16
B. 18
C. 20
D. 22
二、填空题（本大题共6小题，每小题10分，共60分）
13. 若函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图像开口向上，且顶点坐标为$(1, 2)$，则$a = \_\_\_\_\_\_，b = \_\_\_\_\_\_，c = \_\_\_\_\_\_。

14. 已知向量$\vec{a} = (2, 3)$，$\vec{b} = (1, 4)$，则$\vec{a} \cdot
\vec{b} = \_\_\_\_\_\_。

15. 若等差数列$\{a_n\}$的首项为2，公差为3，则第10项$a_{10} =
\_\_\_\_\_\_。

16. 已知等比数列$\{a_n\}$的首项为3，公比为$\frac{1}{2}$，则第6项$a_6 = \_\_\_\_\_\_。

17. 若函数$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$，则$f(2) = \_\_\_\_\_\_。

18. 若等差数列$\{a_n\}$的首项为3，公差为2，则第5项$a_5$与第8项$a_8$的和为$\_\_\_\_\_\_。

三、解答题（本大题共4小题，共80分）
19. （15分）已知函数$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x + 1$，求：
（1）$f(x)$的导数$f'(x)$；
（2）$f(x)$的极值。

20. （20分）已知向量$\vec{a} = (2, 3)$，$\vec{b} = (1, 4)$，求
$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角$\theta$。

21. （25分）已知等差数列$\{a_n\}$的首项为2，公差为3，求：
（1）第10项$a_{10}$；
（2）前10项和$S_{10}$。

22. （30分）已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$，求：
（1）$f(x)$的图像在$x$轴上的交点；
（2）$f(x)$的图像的拐点。

答案：
一、选择题：1.A 2.B 3.A 4.D 5.A 6.D 7.C 8.A 9.C 10.B 11.C 12.C
二、填空题：13. $a = 1, b = -6, c = 5$；14. 11；15. 29；16.
$\frac{3}{64}$；17. 2；18. 22
三、解答题：19. （1）$f'(x) = 6x^2 - 6x + 2$；（2）$f(x)$的极小值为$f(1) = 0$；
20. $\theta = \frac{\pi}{3}$；
21. （1）$a_{10} = 29$；（2）$S_{10} = 165$；
22. （1）$f(x)$的图像与$x$轴的交点为$(1, 0)$；（2）$f(x)$的图像的拐点为$(\frac{1}{2}, -\frac{1}{8})$。