高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.3导数的几何意义学案(含解析)新人教A版

3.1.3 导数的几何意义
学习目标 1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．
知识点一导数的几何意义
(1)切线的概念：如图，对于割线PP n，当点P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．
(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝lim
Δx→0 f x 0＋Δx－f x0
Δx
＝f′(x0)．
(3)切线方程：
曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
特别提醒：曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可能有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．
知识点二导函数的概念
(1)定义：当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．
(2)记法：f′(x)或y′，
即f′(x)＝y′＝lim
Δx→0f x＋Δx－f x
Δx
.
1．f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．( ×) 2．求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．( ×)
3．f ′(x 0)<f (x 0)．( × )
4．曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √
)
类型一 求切线方程
例1 已知曲线C ：y ＝13x 3＋4
3，求曲线C 在横坐标为2的点处的切线方程．
考点 切线方程的求解及应用 题点 求曲线的切线方程
解 将x ＝2代入曲线C 的方程得y ＝4， ∴切点P (2,4)．
y ′|x ＝2＝lim Δx →0
Δy Δx
＝lim Δx →0
1
3
＋Δx
3
＋43－13×23－43
Δx
＝lim Δx →0⎣⎢⎡⎦
⎥⎤4＋2Δx ＋13
Δx 2
＝4，
∴k ＝y ′|x ＝2＝4.
∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为
y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝
0.
反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤
跟踪训练1 曲线y ＝x 2
＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． 考点 切线方程的求解及应用 题点 求曲线的的切线方程 答案 －3 解析 y ′|x ＝2＝lim Δx →0Δy
Δx
＝lim Δx →0
＋Δx
2
＋1－22
－1
Δx
＝lim Δx →0
(4＋Δx )＝4，
∴k ＝y ′|x ＝2＝4.
曲线y ＝x 2
＋1在点P (2,5)处的切线方程为
y －5＝4(x －2)，
即y ＝4x －3.
∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3. 类型二 求切点坐标
例2 已知抛物线y ＝2x 2
＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标． (1)切线的倾斜角为45°. (2)切线平行于直线4x －y －2＝0. (3)切线垂直于直线x ＋8y －3＝0. 考点 切线方程的求解及应用 题点 求切点坐标
解 设切点坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2
，∴Δy Δx ＝
4x 0＋2Δx ，
当Δx →0时，Δy
Δx →4x 0，即f ′(x 0)＝4x 0.
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴斜率为tan45°＝1.
即f ′(x 0)＝4x 0＝1，得x 0＝1
4
，
∴切点的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，98. (2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴k ＝4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1， ∴切点坐标为(1,3)．
(3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直，
则k ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－18＝－1，即k ＝8， 故f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2， ∴切点坐标为(2,9)．
反思与感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤 (1)设切点坐标(x 0，y 0)． (2)求导函数f ′(x )． (3)求切线的斜率f ′(x 0)．
(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0. (5)点(x 0，y 0)在曲线f (x )上，将x 0代入求y 0，得切点坐标．
跟踪训练2 已知直线l ：y ＝4x ＋a 与曲线C ：y ＝x 3
－2x 2
＋3相切，求a 的值及切点坐标． 考点 切线方程的求解及应用 题点 求切点坐标
解 设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)． ∵f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f x
Δx
＝lim
Δx →0
x ＋Δx 3
－
x ＋Δx 2＋3－x 3－2x 2＋
Δx
＝3x 2
－4x ，
由题意可知k ＝4，即3x 2
0－4x 0＝4， 解得x 0＝－2
3
或x 0＝2，
∴切点的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23，4927或(2,3)． 当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927时，有4927＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋a ，a ＝12127. 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，a ＝－5. ∴当a ＝12127时，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927；
当a ＝－5时，切点为(2,3)． 类型三 导数几何意义的应用
例3 已知函数f (x )在区间[0,3]上的图象如图所示，记k 1＝f ′(1)，k 2＝
f ′(2)，k 3＝k AB ，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为________．(请用“>”连接)
考点 导数的几何意义 题点 导数几何意义的理解 答案 k 1>k 3>k 2
解析 由导数的几何意义，可得k 1>k 2. ∵k 3＝
f
－f 2－1
表示割线AB 的斜率，
∴k 1>k 3>k 2.
反思与感悟 导数几何意义的综合应用问题的解题关键还是对函数进行求导，利用题目所提供的如直线的位置关系、斜率取值范围等关系求解相关问题，此处常与函数、方程、不等式等知识相结合．
跟踪训练3 已知曲线f (x )＝2x 2
＋a 在点P 处的切线方程为8x －y －15＝0，则实数a 的值为
________．
考点 切线方程的求解及应用 题点 根据切点或切线斜率求值 答案 －7
解析 设点P (x 0,2x 2
0＋a )． 由导数的几何意义可得 f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy
Δx ＝lim Δx →0x 0＋Δx
2
＋a －
x 20＋a
Δx
＝4x 0＝8，
∴x 0＝2，∴P (2,8＋a )．
将x ＝2，y ＝8＋a 代入到8x －y －15＝0中， 得a ＝－7.
1．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2
上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为( ) A ．4B ．16C ．8D ．2
考点 切线方程的求解及应用 题点 求切线的倾斜角或斜率 答案 C
解析 f ′(2)＝lim Δx →0f
＋Δx －f
Δx
＝lim Δx →0
＋Δx
2
－8Δx
＝lim Δx →0
(8＋2Δx )＝8，即斜率k ＝8. 2．已知曲线y ＝12x 2
＋2x 的一条切线斜率是4，则切点的横坐标为( )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2 考点 切线方程的求解及应用 题点 求切点坐标 答案 D
解析 Δy ＝12(x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )－12x 2－2x ＝x ·Δx ＋12(Δx )2
＋2Δx ，所以Δy Δx ＝x ＋12Δx
＋2，所以y ′＝lim Δx →0
Δy
Δx
＝x ＋2.设切点坐标为(x 0，y 0)，则0'|x x y ＝x 0＋2.由题意，得x 0＋2
＝4，所以x 0＝2，故选D.
3.已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( ) A ．f ′(x A )>f ′(x B ) B ．f ′(x A )<f ′(x B ) C ．f ′(x A )＝f ′(x B ) D ．不能确定
考点 导数的几何意义 题点 导数几何意义的理解 答案 B
解析 由导数的几何意义，f ′(x A )，f ′(x B )分别是曲线在点A ，B 处切线的斜率，由图象可知f ′(x A )<f ′(x B )．
4．函数y ＝1
x
＋1的图象在点(1,2)处的切线方程为________________．
考点 切线方程的求解及应用 题点 求曲线的切线方程 答案 x ＋y －3＝0
解析 ∵y ′＝lim Δx →01x ＋Δx ＋1－1
x
－1Δx ＝lim Δx →0
－1x ＋Δx x ＝－1
x
2，
∴y ′|x ＝1＝－112＝－1，即y ＝1
x ＋1的图象在点(1,2)处的切线的斜率为－1，则在点(1,2)处
的切线方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.
5．已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 过点P (1,1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a ，b ，c 的值．
考点 切线方程的求解及应用 题点 根据切点或切线斜率求值 解 ∵抛物线过点P ，∴a ＋b ＋c ＝1，①
又y ′＝2ax ＋b ，∴y ′|x ＝2＝4a ＋b ，∴4a ＋b ＝1，② 又抛物线过点Q ，∴4a ＋2b ＋c ＝－1，③ 由①②③得a ＝3，b ＝－11，c ＝
9.
1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率，即k ＝lim Δx →0
f x 0＋Δx －f x 0
Δx
＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．
2．“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个常数，不是变量，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值． 3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则应先设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点．
一、选择题
1．曲线y ＝1
x
在点(1,1)处的切线的倾斜角为( )
A.π4
B.π3
C.2π3
D.3π4
考点 切线方程的求解及应用 题点 求切线的倾斜角或斜率 答案 D
解析 y ′|x ＝1＝lim Δx →0
⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－11＋Δx ＝－1，
由tan α＝－1及0≤α<π，得α＝3π
4
，故选D.
2．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，则( ) A ．f ′(x 0)>0 B ．f ′(x 0)＝0 C ．f ′(x 0)<0
D ．f ′(x 0)不存在
考点 导数的几何意义 题点 导数几何意义的理解 答案 C
解析 由导数的几何意义，可得f ′(x 0)＝－2<0. 3．曲线y ＝x 3
的斜率为12的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条
D ．不确定
考点 切线方程的求解及应用 题点 根据切点或切线斜率求值 答案 B
解析 ∵lim Δx →0x ＋Δx 3－x 3Δx
＝3x 2
＝12， ∴x ＝±2，∴斜率为12的切线有2条．
4．下列点中，在曲线y ＝x 2
上，且在该点处的切线倾斜角为π4
的是( )
A ．(0,0)
B ．(2,4) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，116D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，14 考点 切线方程的求解及应用 题点 求切点坐标 答案 D
解析 ∵lim Δx →0x ＋Δx 2－x 2
Δx
＝2x ， 又切线的倾斜角为π4
，
∴切线的斜率为tan π
4＝1，即2x ＝1，
∴x ＝12，y ＝14，则切点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，14. 5．设曲线y ＝ax 2
在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1B.12C ．－1
2D ．－1
考点 切线方程的求解及应用 题点 根据切点或切线斜率求值 答案 A
解析 ∵y ′＝lim Δx →0
a
＋Δx 2－a ×1
2
Δx
＝lim Δx →0 (2a ＋a Δx )＝2a ， ∴2a ＝2，即a ＝1.
6.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋
f ′(2)等于( )
A ．－4
B ．1
C ．－2
D ．2
考点 导数的几何意义 题点 导数几何意义的理解 答案 B
解析 由题干中的图象可得函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线是l ，与x 轴交于点(4,0)，
与y 轴交于点(0,4)，则可知l ：x ＋y ＝4，∴f (2)＝2，f ′(2)＝－1，∴代入可得f (2)＋f ′(2)＝1，故选B.
7．设P 为曲线C ：y ＝x 2
＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角的取值范围为
⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12
B.[－1,0]
C.[0,1]
D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，1 考点 切线方程的求解及应用 题点 根据切点或切线斜率求值 答案 A
解析 设P 点的横坐标为m ，先求出函数y ＝x 2
＋2x ＋3上此处的导数 Δy
Δx
＝m ＋Δx
2
＋
m ＋Δx ＋3－m 2－2m －3
Δx
＝
2m Δx ＋2Δx ＋Δx 2
Δx
＝2m ＋2＋Δx ，
当Δx →0时，Δy
Δx
→2m ＋2，∴f ′(m )＝2m ＋2.
由于倾斜角的取值范围为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，
∴0≤2m ＋2≤1⇒－1≤m ≤－1
2.
二、填空题
8．已知函数y ＝ax 2
＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则b
a
＝________. 考点 切线方程的求解及应用 题点 根据切点或切线斜率求值 答案 2
解析 ∵函数过点(1,3)，∴a ＋b ＝3， 又y ′|x ＝1＝lim Δx →0
a ＋Δx
2
＋b －a ＋b
Δx
＝2a ＝2，
∴a ＝1，b ＝2，故b a
＝2.
9.如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝________；
lim Δx →0
f
＋Δx －f
Δx
＝________.(用数字作答)
考点 导数的几何意义 题点 导数几何意义的理解 答案 2 －2
解析 ∵f (0)＝4，∴f (f (0))＝f (4)＝2，
f ′(1)＝lim Δx →0
f
＋Δx －f
Δx
＝－2.
10．曲线f (x )＝12x 2
的平行于直线x －y ＋1＝0的切线方程为________________．
考点 切线方程的求解及应用 题点 求曲线的切线方程 答案 2x －2y －1＝0
解析 f ′(x )＝lim Δx →012x ＋Δx 2－12
x 2Δx ＝x . 因为直线x －y ＋1＝0的斜率为1，所以x ＝1， 所以f (1)＝12×12
＝12，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12.
故切线方程为y －1
2＝1·(x －1)，
即2x －2y －1＝0.
11．已知f (x )＝x 2
＋ax ，f ′(1)＝4，曲线f (x )在x ＝1处的切线在y 轴上的截距为－1，则实数a 的值为________． 考点 切线方程的求解及应用 题点 根据切点或切线斜率求值 答案 2
解析 由导数的几何意义，得切线的斜率为k ＝f ′(1)＝4，又切线在y 轴上的截距为－1，所以曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝4x －1，从而切点坐标为(1,3)，所以f (1)＝1＋a ＝3，即a ＝2.
12．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________． 考点 切线方程的求解及应用 题点 根据切点或切线斜率求值 答案 4
解析 设抛物线在P 点处切线的斜率为k ，
k ＝y ′|x ＝－2
＝lim Δx →0－2＋Δx 2－－2＋Δx ＋c －＋c Δx ＝－5，
∴切线方程为y ＝－5x ，
∴点P 的纵坐标为y ＝－5×(－2)＝10，
将点P (－2,10)代入y ＝x 2
－x ＋c ，得c ＝4.
三、解答题
13．若曲线y ＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴、直线x ＝a 所围成的三角形的面积为16
，求a 的值．
考点 切线方程的求解及应用
题点 切线方程的应用 解 ∵f ′(a )＝lim Δx →0a ＋Δx 3－a 3
Δx
＝3a 2， ∴曲线在(a ，a 3)处的切线方程为y －a 3＝3a 2
(x －a )， 切线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫23a ，0. ∴三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －23a ·|a 3|＝16
，得a ＝±1. 四、探究与拓展
14．过点M (1,1)且与曲线y ＝x 3＋1相切的直线方程为( )
A ．27x －4y －23＝0
B ．23x －3y －12＝0和y ＝3
C ．5x －17y ＋9＝0
D ．27x －4y －23＝0和y ＝1
考点 切线方程的求解及应用
题点 求曲线的切线方程
答案 D
解析 Δy Δx ＝x ＋Δx 3＋1－x 3－1Δx
＝3x Δx 2＋3x 2·Δx ＋Δx
3Δx
＝3x ·Δx ＋3x 2＋(Δx )2，
所以lim Δx →0Δy Δx
＝3x 2， 即y ′＝3x 2.
设过(1,1)点的切线与y ＝x 3＋1相切于点P (x 0，x 3
0＋1)，
根据导数的几何意义，曲线在点P 处的切线的斜率为k ＝3x 20，① 过(1,1)点的切线的斜率k ＝x 3
0＋1－1x 0－1
，② 由①②得3x 2
0＝x 30x 0－1，
解得x 0＝0或x 0＝32
， 所以k ＝0或k ＝274，切点坐标为(0,1)或⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，358. 因此曲线y ＝x 3＋1的过点M (1,1)的切线方程有两个，分别为y －358＝274⎝
⎛⎭⎪⎫x －32和y ＝1， 即27x －4y －23＝0和y ＝1.
15．已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx ，若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值．
考点 切线方程的求解及应用
题点 根据切点或切线斜率求值
解 ∵f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx
＝lim Δx →0a x ＋Δx 2＋1－ax 2＋Δx ＝2ax ，
∴f ′(1)＝2a ，即切线斜率k 1＝2a .
∵g ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx
＝lim Δx →0
x ＋Δx 3＋b x ＋Δx －x 3＋bx Δx ＝3x 2＋b ，
∴g ′(1)＝3＋b ，即切线斜率k 2＝3＋b .
∵在交点(1，c )处有公共切线，∴2a ＝3＋b .
又∵a ＋1＝1＋b ，即a ＝b ，故可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝3.。