溪湖区高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

溪湖区高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设集合是三角形的三边长，则所表示的平面区域是（
）
(){,|,,1A x y x y x y =
--}A
A ．
B ．
C ．
D ．
2． 数列{a n }是等差数列，若a 1+1，a 3+2，a 5+3构成公比为q 的等比数列，则q=（
）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3． 已知命题p ：“∀∈[1，e]，a ＞lnx ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2﹣4x+a=0””若“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是（
）
A ．（1，4]
B ．（0，1]
C ．[﹣1，1]
D ．（4，+∞）　4． 已知，，(,2)k =-c ，若，则（ ）
(2,1)a =- (,3)b k =- (1,2)c = (2)a b c -⊥ ||b =
A ．
B ．
C ．
D 【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．
5． 已知定义域为的偶函数满足对任意的，有，且当
R )(x f R x ∈)1()()2(f x f x f -=+时，.若函数在上至少有三个零点，则
]3,2[∈x 18122)(2-+-=x x x f )1(log )(+-=x x f y a ),0(+∞实数的取值范围是（ ）111]
A ．
B ．
C ．
D ．)22
,
0()3
3
,
0()5
5
,
0()6
6,
0(
6． 函数f （x ）=lnx ﹣+1的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 直线在平面外是指（ ）
A ．直线与平面没有公共点
B ．直线与平面相交
C ．直线与平面平行
D ．直线与平面最多只有一个公共点
8． 设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）
βα,A ．若，，则 B ．若，
，则
α⊥l βα⊥β⊂l α//l βα//β⊂l C ．若，，则
D ．若，，则α⊥l βα//β⊥l α//l βα⊥β
⊥l 9． 已知圆C 1：x 2+y 2=4和圆C 2：x 2+y 2+4x ﹣4y+4=0关于直线l 对称，则直线l 的方程为（ ）A ．x+y=0B ．x+y=2C ．x ﹣y=2D ．x ﹣y=﹣2
10．已知函数f （x ）是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）=x 3﹣2x 2，则x ＜0时，函数f （x ）的表达式为f （x ）=（ ）A ．x 3+2x 2
B ．x 3﹣2x 2
C ．﹣x 3+2x 2
D ．﹣x 3﹣2x 2
11．集合U=R ，A={x|x 2﹣x ﹣2＜0}，B={x|y=ln （1﹣x ）}，则图中阴影部分表示的集合是（
）
A ．{x|x ≥1}
B ．{x|1≤x ＜2}
C ．{x|0＜x ≤1}
D ．{x|x ≤1}
12．设全集U=M ∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M ∩∁U N=﹛2，4﹜，则N=（ ）
A ．{1，2，3}
B ．{1，3，5}
C ．{1，4，5}
D ．{2，3，4}
13．已知平面向量与的夹角为，且，，则（
）
3
π
32|2|=+1||==||A ．
B ．
C ．
D ．
314．某班级有6名同学去报名参加校学生会的4项社团活动，若甲、乙两位同学不参加同一社团，每个社团都有人参加，每人只参加一个社团，则不同的报名方案数为（ ）
A ．4320
B ．2400
C ．2160
D ．1320
15．设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）i 21i
i
-A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
二、填空题
16．设向量a ＝（1，－1），b ＝（0，t ），若（2a ＋b ）·a ＝2，则t ＝________．17．观察下列等式1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49…
照此规律，第n 个等式为 ．
18．【南通中学2018届高三10月月考】定义在上的函数满足，为的导函数，且
对恒成立，则的取值范围是__________________.
19．函数f（x）=（x＞3）的最小值为 ．
三、解答题
20．如图，正方形ABCD中，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连接CF并延长交AB于点E．
（Ⅰ）求证：AE=EB；
（Ⅱ）若EF•FC=，求正方形ABCD的面积．
21．（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件
（2）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件+=1．
22．若数列{a n }的前n 项和为S n ，点（a n ，S n ）在y=x 的图象上（n ∈N *），
（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若c 1=0，且对任意正整数n 都有
，求证：对任意正整数n ≥2，总有
．
23．将射线y=x （x ≥0）绕着原点逆时针旋转后所得的射线经过点A=（cos θ，sin θ）．
（Ⅰ）求点A 的坐标；
（Ⅱ）若向量=（sin2x ，2cos θ），=（3sin θ，2cos2x ），求函数f （x ）=•，x ∈[0，]的值域．
24．（文科）（本小题满分12分）
我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
[)[)[)0,0.5,0.5,1,,4,4.5
（1）求直方图中的值；
（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用量不低于3吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由．
25．
（本小题满分10分）如图⊙O经过△ABC的点B，C与AB交于E，与AC交于F，且AE＝AF.（1）求证EF∥BC；
（2）过E作⊙O的切线交AC于D，若∠B＝60°，EB＝EF＝2，求ED的长．
溪湖区高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】A
【解析】
考点：二元一次不等式所表示的平面区域.
2．【答案】A
【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，
由a1+1，a3+2，a5+3构成等比数列，
得：（a3+2）2=（a1+1）（a5+3），
整理得：a32+4a3+4=a1a5+3a1+a5+3
即（a1+2d）2+4（a1+2d）+4=a1（a1+4d）+4a1+4d+3．
化简得：（2d+1）2=0，即d=﹣．
∴q===1．
故选：A．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．
3．【答案】A
【解析】解：若命题p：“∀∈[1，e]，a＞lnx，为真命题，
则a＞lne=1，
若命题q：“∃x∈R，x2﹣4x+a=0”为真命题，
则△=16﹣4a≥0，解得a≤4，
若命题“p∧q”为真命题，
则p，q都是真命题，
则，
解得：1＜a ≤4．
故实数a 的取值范围为（1，4]．故选：A ．
【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出命题p ，q 的等价条件是解决本题的关键．　
4． 【答案】A 【
解
析
】
5． 【答案】B 【解析】
试题分析：，令，则，是定义在上的偶函数,
()()1)2(f x f x f -=+ 1-=x ()()()111f f f --=()x f R ．则函数是定义在上的，周期为的偶函数，又∵当时，
()01=∴f ()()2+=∴x f x f ()x f R []3,2∈x ，令，则与在的部分图象如下图，
()181222-+-=x x x f ()()1log +=x x g a ()x f ()x g [)+∞,0在上至少有三个零点可化为与的图象在上至少有三个交点，()()
1log +-=x x f y a ()+∞,0()x f ()x g ()+∞,0在上单调递减，则，解得：故选A ．()x g ()+∞,0⎩⎨
⎧-><<2
3log 10a a 33
0<<a 考点：根的存在性及根的个数判断.
【方法点晴】本题是一道关于函数零点的题目，关键是结合数形结合的思想进行解答.根据已知条件推导可得是周期函数,其周期为,要使函数在上至少有三个零点,等价于函数的
()x f ()()1log +-=x x f y a ()+∞,0()x f 图象与函数的图象在上至少有三个交点,接下来在同一坐标系内作出图象,进而可得的()1log +=x y a ()+∞,0范围.
6．【答案】A
【解析】解：∵f（x）=lnx﹣+1，
∴f′（x）=﹣=，
∴f（x）在（0，4）上单调递增，在（4，+∞）上单调递减；
且f（4）=ln4﹣2+1=ln4﹣1＞0；
故选A．
【点评】本题考查了导数的综合应用及函数的图象的应用．
7．【答案】D
【解析】解：根据直线在平面外是指：直线平行于平面或直线与平面相交，
∴直线在平面外，则直线与平面最多只有一个公共点．
故选D．
C
8．【答案】111]
【解析】
考点：线线，线面，面面的位置关系
9．【答案】D
【解析】【分析】由题意可得圆心C1和圆心C2，设直线l方程为y=kx+b，由对称性可得k和b的方程组，解方程组可得．
【解答】解：由题意可得圆C1圆心为（0，0），圆C2的圆心为（﹣2，2），
∵圆C1：x2+y2=4和圆C2：x2+y2+4x﹣4y+4=0关于直线l对称，
∴点（0，0）与（﹣2，2）关于直线l对称，设直线l方程为y=kx+b，
∴•k=﹣1且=k•+b，
解得k=1，b=2，故直线方程为x﹣y=﹣2，
故选：D．
10．【答案】A
【解析】解：设x＜0时，则﹣x＞0，
因为当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2所以f（﹣x）=（﹣x）3﹣2（﹣x）2=﹣x3﹣2x2，
又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），
所以当x＜0时，函数f（x）的表达式为f（x）=x3+2x2，故选A．
11．【答案】B
【解析】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于A当不属于B的元素构成，所以用集合表示为A∩（∁U B ）．
A={x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}，B={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，
则∁U B={x|x≥1}，
则A∩（∁U B）={x|1≤x＜2}．
故选：B．
【点评】本题主要考查Venn图表达集合的关系和运算，比较基础．
12．【答案】B
【解析】解：∵全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩C u N=﹛2，4﹜，
∴集合M，N对应的韦恩图为
所以N={1，3，5}
故选B
13．【答案】C
考点：平面向量数量积的运算．
14．【答案】D
【解析】解：依题意，6名同学可分两组：第一组（1，1，1，3），利用间接法，有•=388，第二组（1，1，2，2），利用间接法，有（﹣）•=932
根据分类计数原理，可得388+932=1320种，
故选D．
【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查分类讨论思想与转化思想，考查理解与运算能力，属于中档题．
15．【答案】B
【解析】因为
所以，对应的点位于第二象限
故答案为：B
【答案】B
二、填空题
16．【答案】
【解析】（2a＋b）·a＝（2，－2＋t）·（1，－1）
＝2×1＋（－2＋t）·（－1）
＝4－t＝2，∴t＝2.
答案：2
17．【答案】　n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2　．
【解析】解：观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
…
等号右边是12，32，52，72…第n个应该是（2n﹣1）2
左边的式子的项数与右边的底数一致，
每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，
照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2，
故答案为：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2
【点评】本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题．
18．【答案】
【解析】点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。

某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用。

因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的。

根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧。

许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效。

19．【答案】　12　．
【解析】解：因为x＞3，所以f（x）＞0
由题意知：=﹣
令t=∈（0，），h（t）==t﹣3t2
因为h（t）=t﹣3t2的对称轴x=，开口朝上知函数h（t）在（0，）上单调递增，（，）单调递减；故h（t）∈（0，]
由h（t）=⇒f（x）=≥12
故答案为：12
三、解答题
20．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）∵以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径半圆交于点F，
且四边形ABCD为正方形，
∴EA为圆D的切线，且EB是圆O的切线，
由切割线定理得EA2=EF•EC，
故AE=EB．
（Ⅱ）设正方形的边长为a，连结BF，
∵BC为圆O的直径，∴BF⊥EC，
在Rt△BCE中，由射影定理得EF•FC=BF2=，
∴BF==，解得a=2，
∴正方形ABCD的面积为4．
【点评】本题考查两线段相等的证明，考查正方形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
21．【答案】
【解析】解：（1）由题意作出可行域如下，
，
结合图象可知，当过点A（2，﹣1）时有最大值，
故Z max=2×2﹣1=3；
（2）由题意作图象如下，
，
根据距离公式，原点O到直线2x+y﹣z=0的距离d=，
故当d有最大值时，|z|有最大值，即z有最值；
结合图象可知，当直线2x+y﹣z=0与椭圆+=1相切时最大，
联立方程化简可得，
116x2﹣100zx+25z2﹣400=0，
故△=10000z2﹣4×116×（25z2﹣400）=0，
故z2=116，
故z=2x+y的最大值为．
【点评】本题考查了线性规划的应用及圆锥曲线与直线的位置关系的应用．
22．【答案】
【解析】（I）解：∵点（a n，S n）在y=x的图象上（n∈N*），
∴，
当n≥2时，，
∴，化为，
当n=1时，，解得a1=．
∴==．
（2）证明：对任意正整数n都有=2n+1，
∴c n=（c n﹣c n﹣1）+（c n﹣1﹣c n﹣2）+…+（c2﹣c1）+c1
=（2n﹣1）+（2n﹣3）+…+3
==（n+1）（n﹣1）．
∴当n≥2时，==．
∴=+…+=＜
=，
又=．
∴．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与等差数列的前n 项和公式、“累加求和”、“裂项求和”、对数的运算性质、“放缩法”、递推式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设射线y=x （x ≥0）的倾斜角为α，则tan α=，α∈（0，）．
∴tan θ=tan （α+）==，
∴由解得，
∴点A 的坐标为（，）．
（Ⅱ）f （x ）=•=3sin θ•sin2x+2cos θ•2cos2x=sin2x+cos2x
=sin （2x+）
由x ∈[0，
]，可得2x+∈[，]，∴sin （2x+）∈[﹣，1]，
∴函数f （x ）的值域为[﹣，]．【点评】本题考查三角函数、平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的思想，属于中档题．
24．【答案】（1）；（2）万；（3）.
0.3a 3.6 2.9【解析】
（3）由图可得月均用水量不低于2.5吨的频率为：；()0.50.080.160.30.40.520.7385%⨯++++=<月均用水量低于3吨的频率为：
；()0.50.080.160.30.40.520.30.8885%⨯+++++=>则吨．1
0.850.73
2.50.5 2.90.30.5x -=+⨯=⨯考点：频率分布直方图．
25．【答案】
【解析】解：（1）证明：∵AE ＝AF ，
∴∠AEF ＝∠AFE .
又B ，C ，F ，E 四点共圆，
∴∠ABC ＝∠AFE ，
∴∠AEF ＝∠ACB ，又∠AEF ＝∠AFE ，∴EF ∥BC .
（2）由（1）与∠B ＝60°知△ABC 为正三角形，又EB ＝EF ＝2，
∴AF ＝FC ＝2，
设DE ＝x ，DF ＝y ，则AD ＝2－y ，
在△AED 中，由余弦定理得
DE 2＝AE 2＋AD 2－2AD ·AE cos A .
即x 2＝（2－y ）2＋22－2（2－y ）·2×，12∴x 2－y 2＝4－2y ，①由切割线定理得DE 2＝DF ·DC ，即x 2＝y （y ＋2），∴x 2－y 2＝2y ，②
由①②联解得y ＝1，x ＝，∴ED ＝.
33。