陕西省咸阳市实验中学2019-2020学年高二上学期检测数学(理)试卷

数学试卷 (理科)
一.选择题（51050⨯=分）
1.点P 是抛物线24y x =上一点，若点P 到焦点的距离为5，那么点P 的坐标是
A.()4,4
B.(或(3,-
C. ()4,4-或 (4,4)--
D.()4,4或(4,4)- 2. 已知椭圆2244x ky +=的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k 的值是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3．在ABC ∆中, 若222sin sin sin A B C +<,则ABC ∆为
A 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 4．已知条件:0,p a <条件2:q a a >，则p ⌝是q ⌝的 A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ． 充要条件
D .既不充分也不必要条件 5. 已知{}n a 为等比数列，47562,8a a a a +==-，则110a a +=
A ．7-
B ．5
C ．5-
D . 7
6. 设,a b r r
为向量，命题“若a b =-r r ，则a b =r r ”的否定是
A ．若 a b ≠r r 则 a b ≠r r
B ．若a b =-r r
则 a b ≠r r
C ．若 a b ≠r r ，则 a b ≠r r
D . 若a b =r r ，则a b =-r r
7. 设ln 2ln 3ln 5
,,235
a b c =
==
.则,,a b c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b c a >> C ．b a c >> D . c b a >>
8.设P 为曲线C :223y x x =++上的点,且曲线在点P 处的切线的倾斜角的取值范围为
0,4π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
,则点P 横坐标的取值范围为 A 11,2
⎡⎤--⎢⎥⎣
⎦
B. []1,0-
C. []0,1
D. 1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
9. 双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M ，N
两点，O 为坐标原点，若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为
A B C D
10. 若正实数,x y 满足3x y xy ++=则
A ．xy 的最小值是25
B ．xy 的最大值是25
C ． x y +的最小值是6
D . x y +的最大值是6 二. 填空题（每题5分，共25分） 11.曲线21
x
y x =
-在点(1,1)处的切线方程为 _____________. 12．设抛物线的顶点在原点,准线方程为2x =-,则抛物线方程为_____________.
13.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =,求数列11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T =____________.
14.已知14
23x y x y -<+<⎧⎨<-<⎩则23z x y =-的取值范围是(答案用区间表示)____________.
15. 若对任意2
0,
31
x
x a x x >≤++恒成立，则实数a 的取值范围是_____________. 三.解答题（共75分）
16.（本小题满分12分）ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知
cos()cos 1,2A C B a c -+==求角C .
17.（本小题满分12分）如图,从点1(0,0)P 做x 轴的垂线交曲线x y e =于点1(0,1)Q ,曲线在1Q 点处的切线与x 轴交于点2P ,再从2P 做x 轴的垂线交曲线于点2Q ,依次重复
上述的过程得到一系列点: 1122,;,;,n n P Q P Q P Q L L 记k P 的坐标为(,0)(1,2,,,)k x k n =L L .
(1).求1k x +与k x 的关系式;(1,2,,,)k n =L L (2)求1122n n PQ PQ PQ +++L .
18.（本小题满分12分）某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地上建造一栋至
少10层,每层2000平方米的楼房,经测算,如果将楼房建为(10)x x ≥层,则每平方米的平均建筑费用为56048x +(单位:元),为了使楼房每平方米的平均综合费用最小,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用=平均建筑费+平均购地费用,平均购地费用=购地总费用÷建筑总面积，建筑总面积=单层的面积⨯层数)
19.（本小题满分12分）如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,
11AA AD ==, E 为CD 的中点.
(1) 求证: 11B E AD ⊥
(2)在棱1AA 上是否存在点P ,使得DP P 平面
1B AE ;
(3)若二面角11A B E A --的大小为30o ，求AB 的长.
20. （本小题满分13分）已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>,过点(,0),(0,)A a B b -的直
线的倾斜角为
6
π
,原点到该直线的距离为3.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在实数k ,直线2y kx =+交椭圆于,P Q 两点,以PQ 为直径的圆过点
(0,1)D ?若存在,求出k 值,若不存在,说明理由.
21.（本小题满分14分） 已知函数1()ln(1)1x
f x ax x
-=++
+,0x ≥.其中0a > （１） 若()f x 在1x =处取得极值,求a 值;, （２） 讨论()f x 的单调性;
(2) 若()f x 的最小值为1,求a 的取值范围.
数学参考答案(理科)
一.选择题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D
B
C
B
A
B
C
A
D
C
二.填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分) 11 . 2y x =-+ 12. 28y x =-. 13.
21
n
n + 14. 97z -≤≤
15 . 1,5
⎡⎤
+∞⎢⎥⎣⎦
三.解答题(本大题共6小题,共75分)
16.(本小题满分12分)
解： cos()cos 1
cos()cos()1
cos cos sin sin cos cos sin sin 2sin sin 1
A C
B A
C A C A C A C A C A C A C -+=∴--+=+-+==Q
又211
2sin 2sin sin sin 42
a c A C C C =⇒=⇒=
⇒=，a c C >⇒Q 为锐角，6
C π
∴=
17.(本小题满分12分)
解: (1)因为x
y e '=，所以
曲线 x
y e =在点(,)k x
k x e 的切线方程为
()k k x x k y e e x x -=-，令0y =得11k k x x +-=-
(2) 1
2
1122n
x x x
n n
PQ PQ PQ e e e +++=+++Q L L
又111n n n n
x x x x e e e e ++--==所以数列{}
n x e 是首项为1，公比为1e -的等比数列，
1
2
111221
1()1n
n
x x x n n e PQ P Q P Q e e e
e ---∴+++=+++=-L L
18.解: (本小题满分12分)
(1) 设每平方米的平均综合费用为 y 元，则
10800
56048(10)y x x x
=++
≥ 560248108002000≥+⨯= 当且仅当10800
4815x x x
=
⇒=时取等号. 19.(本小题满分12分)
解:（1）建立空间直角坐标系如图所示
设AB a =则11(0,0,0),(1,0,0),(1,,1),(0,0,1),(0,,0)2
a D A B a D E
1111(1,,1),(1,0,1)
2110a
B E AD B E AD =---=-∴⋅=-=u u u r u u u u r Q u u u r u u u u r
∴11B E AD ⊥
(2)假设在棱在棱1AA 上存在点P ,使得DP P 平面1B AE ，设(1,0,)P b
设平面1B AE 的法向量为(,,)n x y z =r
1(1,,1),(1,,0)22
a a
B E AE =---=-u u u r u u u r Q 又
10022002a a x y z n B E x y a n AE z ay x y ⎧++=⎧⎧⎪⋅==⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⋅=⎪⎪⎪⎩=--+=⎩⎪⎩u u r u u u r u
u r u u u r 取(,1,)2a n a =-r (1,0,)DP b =u u u r ，1
0022
a n DP a
b b ⋅=⇒-=⇒=u u r u u u r
所以，存在点P 为1AA 的中点满足题设。

（3）设平面11A B E 的法向量为2(,,)n x y z =
111(1,,1),(0,,0)2
a
A E A
B a =--=u u u r u u u u r
2121100200a n A E x y z n A B ay ⎧⎧⋅=-+-=⎪⎪
⇒⎨⎨
⋅=⎪⎪⎩=⎩
u u r u u u r u u r u u u u r
0y x z
=⎧⎨
=-⎩取2(1,0,1)n =-u u r ， 要使二面角11A B E A --的大小为30o ，只需
1212
n n n n ⋅=u r u u r u r u u r 2a ⇒= 20.(本小题满分13分) 解：略
21. (本小题满分14分) 解: 略。