人教版高中数学高二选修2-3课下检测1.3二项式定理

1.3
1.⎝
⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中，常数项为15，则n 的值为( ) A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
由通项公式T r ＋1＝C r n (x 2)n －r (－1)r x －r ＝(－1)r C r n
x 2n －3r ， 令2n －3r ＝0，得(－1)r C r n ＝15，将选项代入验证得n ＝6.
故应选D.
D
2．(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数是( )
A ．840
B ．－840
C ．210
D ．－210
方法1：设二项展开式中的第(r ＋1)项为x 6y 4，则T r ＋1＝C r 10x
10－r ·(－2y )r ＝(－1)r ·(2)r ·C r 10·
x 10－r ·y r ， ∴10－r ＝6.
∴r ＝4.
∴该项系数为(－1)4·(2)4·C 410＝840.
方法2：(x －2y )10可以看作是由10个括号形成的连乘积，而x 6y 4是10项中取6个x,4个y ，
∴系数C 610x 6·C 44·(－2y )4中的系数．
∴系数为C 610·
22＝840. 故应选A.
A
3．设m ∈N *，n ∈N *，若(1＋2x )m ＋(1＋3x )n 的展开式中x 的系数为13，则x 2的系数为
( )
A ．31
B ．40
C ．31或40
D ．不确定
由已知C 1m ·2＋C 1n ·
3＝13，即2m ＋3n ＝13，其正整数解为m ＝2，n ＝3或m ＝5，n ＝1，所以x 2的系数为C 22×22＋C 23×32＝31或C 25×22＝40.
故应选C.
C
4.⎝
⎛⎭⎫2x －32x 25的展开式是________________． ⎝
⎛ ⎭⎫2x －32x 25 ＝C 05(2x )5＋C 15(2x )4⎝⎛⎭⎫－32x 2＋C 25(2x )3·⎝⎛⎭⎫－32x 22
＋C 35(2x )2⎝⎛⎭⎫－32x 23＋C 45(2x )⎝⎛⎭⎫－32x 24＋C 55·⎝⎛⎭⎫－32x 25 ＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x 10
. 5．1－2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋16C 4n ＋…＋(－2)n C n n ＝________.
原式＝(1－2)n ＝(－1)n .
6．已知⎝
⎛⎭⎪⎫x x ＋23x 展开式中的前三项系数的和为129，
这个展开式中是否含有常数项？一次项？若没有，请说明理由；若有，请求出来．
∵T r ＋1＝C r n (x x )n －r ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫23x r ＝C r n ·2r ·x 9n －11r 6，r ＝0,1,2，…，n ， ∴由题意C 0n ·20＋C 1n ·
21＋C 2n ·22＝129， 结合组合数公式，得1＋2n ＋2n ＋2n (n －1)＝129，
∵n ∈N *，∴n ＝8.
∴T r ＋1＝C r 8·2r ·x 72－11r 6
，r ＝0,1,2，…，8. 若展开式中存在常数项，则72－11r ＝0，则r ＝7211
∉N *， ∴展开式中不存在常数项，
若展开式中存在一次项，则
72－11r 6
＝1， ∴72－11r ＝6，∴r ＝6.
∴展开式中存在一次项，它是第7项，T7＝C68·26·x＝1 792x.。