苏科版九年级上册期末复习《第二章对称图形-圆》单元试题含解析

期末复习：苏科版九年级数学上册第二章对称图形-圆单元检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.下列说法正确的是（）
A. 弦是直径
B. 平分弦的直径垂直弦
C. 过三点A,B,C的圆有且只有一个
D. 三角形的外心是三角形三边中垂线的交点
2.已知⊙O的直径等于12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 无法确定
3.若⊙O的直径为20cm，点O到直线l的距离为10cm，则直线l与⊙O的位置关系是（）
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 无法确定
4.如图，在⊙O中，点B,O,C和点A,O,D分别在同一条直线上，则图中有（）条弦
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
5.如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD等于（）
A.40°
B.50°
C.60°
D.80°
6.如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（）
A. 130°
B. 100°
C. 50°
D. 65°
7.如图，弦AB和CD相交于点P，∠B=30°，∠APC=80°，则∠BAD的度数为（）
A. 20°
B. 50°
C. 70°
D. 110°
8.如图，直径为10的⨀A 经过点C （0,5）和点O （0,0），B 是y 轴右侧⨀A 优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为（ ）
A. 12
B. 34
C. √32
D. 45 9.如图，圆O 的内接四边形ABCD 中，BC=DC ，∠BOC=130°，则∠BAD 的度数是（ ）
A. 120°
B. 130°
C. 140°
D. 150°
10.如图，MN 是半径为2的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，点B 为劣弧AN 的中点．点P 是直径MN 上一动点，则PA ＋PB 的最小值为( )
A. 4 √2
B. 2
C. 4
D. 2 √2
二、填空题（共10题；共33分）
11.三角形三边垂直平分线的交点到三角形________的距离相等．
12.已知AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，OC ⊥AB 与C ，OC=3cm ，则⊙O 的直径________cm.
13.圆心角为120°，半径为6cm 的扇形的弧长是________cm ．
14.如图,A 、D 是⊙O 上的两个点,BC 是直径,若∠D=35°,则∠COA 的度数是________ ．
15.如图，正五边形ABCDE 内接于圆O ，F 是圆O 上一点，则∠CFD=________度．
16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC≠BC，点M是边AC上的动点．过点M作MN∥AB交BC于N，现将△MNC沿MN折叠，得到△MNP．若点P在AB上．则以MN为直径的圆与直线AB的位置关系是________．
17.如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是
________．
18.在直角坐标系中,☉M的圆心坐标是(m,0),半径是2,如果☉M与y轴相切,那么m=________;如果☉M与y 轴相交,那么m的取值范围是________.
19.如图，四边形ABCD的四个顶点都落在⊙O上，BC=CD，连结BD，若∠CBD=35∘，则∠A的度数是________．
20.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若⊙O的半径为3cm，∠A=110°，则劣弧BD的长为________cm．
三、解答题（共8题；共57分）
21.如图，点A是圆弧BC上一点，用尺规作图法找出圆心O点（保留作图痕迹，不写做法）
22.如图，已知AB，CB为⊙O的两条弦，请写出图中所有的弧．
23.如图，在半径为13的⊙O中，OC垂直弦AB于点D，交⊙O于点C，AB=24，求CD的长．
24.如图，在⊙O中，=，∠ACB=60°，求证∠AOB=∠BOC=∠COA.
25.如图，已知AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB．求证：AĈ=BD̂．
26.如图，⊙O的两条弦AB、CD交于点E，OE平分∠BED．
（1）求证：AB=CD；
（2）若∠BED=60°，EO=2，求DE﹣AE的值．
27.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，∠CAD=∠ABC．判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由．
28.如图，在⊙O中，AC∧=CB∧，点D、E分别在半径OA和OB上，AD=BE
求证：CD=CE．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】D
【考点】圆的认识，垂径定理，确定圆的条件，三角形的外接圆与外心
【解析】
【分析】利用弦的定义、垂径定理以及不在同一直线上的三点确定一个圆即可作出判断．
【解答】A、弦是圆上任意两点的连线，而圆是过圆心的弦，故弦不一定是直径，故选项错误；
B、平分弦（弦不是直径)的直径垂直于弦，故选项错误；
C、过不在一条直线上的三点的圆有且只有一个，故选项错误；
D、正确．
故选D．
【点评】本题考查了弦的定义、垂径定理以及不在同一直线上的三点确定一个圆，要注意到垂径定理叙述中：被平分的弦必须不是直径
2.【答案】C
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】
【分析】首先求得该圆的半径，再根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行分析判断．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，
进而利用直线与圆相交有两个交点，相切有一个交点，相离没有交点，即可得出答案．
【解答】根据题意，得
该圆的半径是6cm，即大于圆心到直线的距离5cm，则直线和圆相交，
故直线l与⊙O的交点个数为2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，这里要特别注意12是圆的直径；掌握直线和圆的位置关系与数量之间的联系是解题的关键
3.【答案】B
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】本题中圆的半径为10cm，点到直线的距离为10cm，则直线与圆相切．
【分析】当圆心到直线的距离等于半径则直线与圆相切；当圆心到直线的距离小于半径则直线与圆相交；当圆心到直线的距离大于半径则直线与圆相离．此题的半径为10，而圆心到到直线l的距离为10cm就能做出判断。

4.【答案】B
【考点】圆的认识
【解析】【解答】圆中弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

根据弦的定义可知，图中是弦的有：AB、BC、CE三条，则选项B符合题意。

故答案为：B
【分析】首先要知道圆内弦的定义，其次利用弦定义解决问题。

5.【答案】D
【考点】圆周角定理，切线的性质
【解析】【解答】解：∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC=90°，
∴∠A=90°﹣∠ACB=40°，
由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°，
故答案为：D．
【分析】利用切线的性质可得出∠ABC=90°，就可求出∠A的度数，再利用圆周角定理，可求出∠BOD的度数。

6.【答案】A
【考点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠OBC+∠OCB= 1
（∠ABC+∠ACB）=
2
1
（180°﹣80°）=50°，
2
∴∠BOC=180°﹣50°=130°．
故选A．
【分析】由三角形内切定义可知：OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，利用三角形内角和定理和角平
（∠ABC+∠ACB），把对应数值代入即可求得∠BOC的值．
分线的性质可得∠OBC+∠OCB= 1
2
7.【答案】B
【考点】圆周角定理
【解析】【分析】由圆周角定理，可求得∠D的度数，又由∠APC是△APD的外角，且∠APC=80°，即可求得∠BAD的度数．
【解答】∵∠B与∠D是所对的圆周角，
∴∠D=∠B=30°，
∵∠APC是△APD的外角，且∠APC=80°，
∴∠BAD=∠APC-∠B=80°-30°=50°．
故答案是：50°．
【点评】此题考查了圆周角定理与三角形外角的性质．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用，注意数形结合思想的应用．
8.【答案】C
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接CD，
∵∠COD=90°，
∴CD为直径，
∵直径为10，
∴CD=10，
∵点C（0，5）和点O（0，0），∴OC=5，
∴sin∠ODC= OC
CD = 1
2
，
∴∠ODC=30°，
∴∠OBC=∠ODC=30°，
∴cos∠OBC=cos30°= √3
2
．
故选：C.
【分析】连接CD，由直径所对的圆周角是直角，可得CD是直径；由同弧所对的圆周角相等可得∠OBC=∠ODC，在Rt△OCD中，由OC和CD的长可求出sin∠ODC.
9.【答案】B
【考点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连结OD，如图，
∵BC=DC，
∴
∴∠BOC=∠COD=130°，
∴∠BOD=360°﹣2×130°=100°，
∴∠BCD=1
2
∠BOD=50°，
∴∠BAD=180°﹣∠BCD=180°﹣50°=130°．
故答案为：B．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系由BC=DC 得
，则∠BOC=∠COD=130°，再利用周角定义计算出∠BOD=100°，再根据圆周角定理得到∠BCD=12∠BOD=50°，然后根据圆内接四边形的性质计算∠BAD 的度数．
10.【答案】D
【考点】圆周角定理，轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点B 关于MN 的对称点B′，连接OA 、OB 、OB′、AB′，
则AB′与MN 的交点即为PA+PB 的最小时的点，PA+PB 的最小值=AB′．∵∠AMN=30°，
∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°．∵点B 为劣弧AN 的中点，∴∠BON= 12 ∠AON= 1
2 ×60°=30°，由对称性，∠B′ON=∠BON=30°，∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°，∴△AOB′是等腰直角三角形，∴AB′= √2 OA= √2 ×2= 2√2，即PA+PB 的最小值= 2√2．故答案为：D ．
【分析】作点B 关于MN 的对称点B′，连接OA 、OB 、OB′、AB′，根据轴对称的最短问题得出：AB′与MN 的交点即为PA+PB 的最小时的点，PA+PB 的最小值=AB′，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，根据等弧所对的圆心角相等得出∠BON= 12∠AON= 12×60°=30°，由对称性，∠B′ON=∠BON=30°，根据角的和差得出∠AOB′=90º，进而判断出△AOB′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的边之间的关系算出AB′的长，从而得出答案。

二、填空题
11.【答案】三个顶点
【考点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点， ∴三角形三边垂直平分线的交点到三角形的距离相等．
故答案为：三个顶点．
【分析】根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等填空即可．
12.【答案】10
【考点】勾股定理，垂径定理
【解析】【解答】据垂径定理和勾股定理可以计算出半径等于5，所以直径为10cm.
【分析】此题考查了垂径定理和勾股定理知识点.
13.【答案】4π
【考点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由题意得，n=120°，R=6cm ，故可得：l= n πR 180
=4πcm ． 故答案为：4π．
【分析】弧长的计算公式为l= n πR 180
，将n=120°，R=6cm 代入即可得出答案． 14.【答案】70°
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】在同圆和等圆中,同弧所对的圆心角是圆周角的2倍,所以∠COA=2∠D=70°．故答案是70°．
【分析】此题考查了圆周角定理．
15.【答案】36
【考点】正多边形和圆
【解析】【解答】解：如图，连接OD 、OC ；
∵正五边形ABCDE 内接于圆O ，
∴DC ∧=15×⊙O 的周长， ∴∠DOC=15×360°=72°，
∴∠CFD=12×72°=36°．
故答案为36．
【分析】如图，首先证明DC ∧=15×⊙O 的周长，进而求出∠DOC=15×360°=72°，∠CFD=1
2×72°=36°，问题即可解决．
16.【答案】相交
【考点】平行线的性质，直线与圆的位置关系，翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】如图连接PC 交MN 于D ，取MN 的中点O ，连接OP ，
由题意PD ＜OP ，
∴圆心O 到直线AB 的距离小于⊙O 的半径，
∴以MN 为直径的圆与直线AB 相交，
故答案为：相交.
【分析】连接PC交MN于D，取MN的中点O，连接OP，在直角三角形中，斜边比直角边大，即PD＜OP，从而得出圆心O到直线AB的距离小于⊙O的半径，再根据直d＜r即可判断出其位置关系.
17.【答案】4.5
【考点】切线的性质
【解析】【解答】解：如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，
∵AB=5，AC=4，BC=3，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠C=90°，
∵∠OP1B=90°，
∴OP1∥AC
∵AO=OB，
∴P1C=P1B，
∴OP1= 1
AC=2，
2
∴P1Q1最小值为OP1﹣OQ1=0.5，
如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，
P2Q2最大值=2.5+1.5=4，
∴PQ长的最大值与最小值的和是4.5．
故答案为：4.5．
【分析】设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，求出OP1，如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值=2.5+1.5=4，由此不难解决问题．
18.【答案】±2；-2<m<2
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵☉M的圆心坐标是(m,0),∴圆心在轴上，∵☉M与y轴相切,∴圆心到y轴的距离等于该圆的半径，,故m=±2，∵☉M与y轴相交,∴圆心到y轴的距离小于等于2，即圆心到y轴的距离|m|＜2，∴-2<m<2。

【分析】首先根据☉M的圆心坐标是(m,0)得出圆心到轴上，当☉M与y轴相切时，圆可以在y轴的左侧，也可以在y轴的右侧，然后根据直线与圆相切的时候，圆心到直线的距离等于该圆的半
径即可得出M的值；当☉M与y轴相交时，圆可以在y轴的左侧，也可以在y轴的右侧，然后根据直线与圆相交的时候，圆心到直线的距离小于该圆的半径即可得出M的取值范围。

19.【答案】70∘
【考点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵BC=CD，∠CBD=35°，∴∠CDB=35°，∴∠C=110°．
∵四边形ABCD的四个顶点都落在⊙O上，∴∠A+∠C=180°，∴∠A=70°．
故答案为：70°．
【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠BCD的度数，再根据圆内接四边形的对角互补，就可求出∠A的度数。

20.【答案】7π
3
【考点】圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，圆内接四边形的性质
【解析】【解答】连接OB．OD，
∵∠A=110°，
∴∠C=70°，
∴∠BOD=140°，
则劣弧BD= 140π×3
180=7π
3
．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补求出∠C的度数，再求出圆心角∠BOD的度数，就可求出劣弧BD 的度数等于它所对的圆心角的度数。

三、解答题
21.【答案】解：如图所示：
【考点】垂径定理
【解析】【分析】利用垂径定理得出两弦的垂直平分线交点O即可．
22.【答案】解：图中的弧为BC,AB,AC,ACB,BAC,ABC.
【考点】圆的认识
【解析】【分析】根据圆上任意两点之间的部分叫弧即可解答。

23.【答案】解：连接O A ，
∵OC⊥AB，AB=24，
∴AD=1
AB=12，
2
在RtΔAOD中，
∵OA=13，AD=12，
∴OD=5，
∴CD=OC−OD=13−5=8
【考点】垂径定理
AB=12 ，根据勾股定理即可算出OD的长，再根据线【解析】【分析】连接O A ,根据垂径定理得出AD=1
2
段的和差，由CD=OC−OD即可算出答案。

24.【答案】证明：∵=，∴AB=AC，△ABC为等腰三角形（相等的弧所对的弦相等）∵∠ACB=60°
∴△ABC为等边三角形，AB=BC=CA
∴∠AOB=∠BOC=∠COA（相等的弦所对的圆心角相等）
【考点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据圆内弧相等可得AB=AC，即△ABC为等腰三角形。

再根据∠ACB=60°可判定△ABC 为等边三角形，所以AB=BC=CA。

最后根据相等的弦所对的圆心角相等可得AOB=∠BOC=∠COA。

25.【答案】证明：连结OC、OD，如图，
∵AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点，
∴OM=ON，
∵CM⊥AB，DN⊥AB，
∴∠OMC=∠OND=90°，
在Rt△OMC和Rt△OND中，
{OM=ON
OC=OD，
∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），
∴∠COM=∠DON，
∴AĈ= BD̂．
【考点】全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连结OC、OD，由M，N分别是AO，BO的中点得到OM=ON，再根据“HL”可判断
Rt△OMC≌Rt△OND，则∠COM=∠DON，然后根据圆心角、弧、弦的关系得到AĈ= BD̂．
26.【答案】解：（1）过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，如图1，
∵OE平分∠BED，且OM⊥AB，ON⊥CD，
∴OM=ON，
∴AB=CD；
（2）如图2所示，
由（1）知，OM=ON，AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，
∴DN=CN=AM=BM，
在Rt△EON与Rt△EOM中，
∵{OE=OE
OM=ON，
∴Rt△EON≌Rt△EOM（HL），
∴NE=ME，
∴CD﹣DN﹣NE=AB﹣BM﹣ME，
即AE=CE，
∴DE﹣AE=DE﹣CE=DN+NE﹣CE=CN+NE﹣CE=2NE，
∵∠BED=60°，OE平分∠BED，
∴∠NEO=1
∠BED=30°，
2
∴ON=1
OE=1，
2
在Rt△EON中，由勾股定理得：
NE=√OE2−ON2=√3，
∴DE﹣AE=2NE=2√3．
【考点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，由角平分线的性质，可得OM=ON，然后由弦心距相等可得弦相等，即AB=CD；
（2）由（1）知，OM=ON，AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，先由垂径定理可得DN=CN=AM=BM，然后由HL 可证Rt△EON≌Rt△EOM，进而可得NE=ME，从而得到AE=CE，然后将DE﹣AE转化为：DE﹣AE=DE﹣CE=DN+NE﹣CE=CN+NE﹣CE=2NE，然后在Rt△EON中，由∠NEO=30°，OE=2，求出NE即可．
27.【答案】解：直线AD与⊙O相切．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠ABC+∠BAC=90°．
又∵∠CAD=∠ABC，
∴∠CAD+∠BAC=90°．
∴直线AD与⊙O相切
【考点】圆周角定理，三角形的外接圆与外心，直线与圆的位置关系
【解析】【分析】由∠ABC+∠BAC=90°且∠CAD=∠ABC知∠CAD+∠BAC=90°，据此可得．
28.【答案】证明：连接OC．
在⊙O中，∵AC∧=CB∧，
∴∠AOC=∠BOC，
∵OA=OB，AD=BE，
∴OD=OE．
在△COD与△COE中，
，
∴△COD≌△COE（SAS），
∴CD=CE．
【考点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连接OC，构建全等三角形△COD和△COE；然后利用全等三角形的对应边相等证得CD=CE．。