高数A1知识点回顾

若
则曲线
有水平渐近线 y b.
(或x )
若
则曲线
有垂直渐近线 x x0 .
(或x x0 )
例1. 求曲线
的渐近线 .
解: lim ( 1 2) 2
2
x x 1
1
y 2 为水平渐近线;
lim( 1 2) , x 1为垂直渐近线. x1 x 1
2. 斜渐近线(Slant asymptotes) ( P75 题13)
若
(kx b)
(或x )
(kx b)
lim x[ f (x) k b ] 0
x x
x
斜渐近线 y kx b. k lim [ f (x) b ]
x x x k lim f (x)
莱布尼兹(Leibniz) 公式
高阶导数的基本公式
(a x )(n) a x ln n a(a 0)
(sin x)(n) sin(x n )
2
(cos x) (n)

cos(x
n )
2
(ln x)(n) (1) n1 (n 1)!
xn
[(x a) ](n) ( 1) ( n 1)(x a)n
x x
(或x )
lim [ f (x) k b ] 0
x x
x
b lim [ f (x) kx]
x (或x )
二、函数图形的描绘
步骤 :
1. Domain:确定函数 及周期性 ;
的定义域 ,并考察其对称性
2. 求
的点 ;
并求出 及
为 0 和不存在
f (n) (x0 ) 0,


特别: • 当 在 内只有一个极值可疑点时,
若在此点取极大 (小)值 , 则也是最大 (小值) .
• 当 在 上单调时, 最值必在端点处达到.
• 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的 可疑点是否为最大 值点或最小值点 .
1. 水平(Horizontal Asymptotes)与铅直渐近线(Vertical Asymptotes)
(a x ) a x lna
(e x ) e x
(log a
x)

1 x ln a
(arcsin x)
1 1 x2
(ln x) 1
x
(arccos x)
1 1 x2
(arctan
x)

1
1 x2
(arc
cot
x)


1
1 x
2
2. 有限次四则运算的求导法则
dx d u dx
4. 初等函数在定义区间内可导, 且导数仍为初等函数
(sin x) cos x
(ln
x)

1 x
由定义证 , 其它公式
用求导法则推出.
二、高阶导数的运算法则
设函数
及
都有 n 阶导数 , 则
(C为常数) n(n 1) 2!
n(n 1) (n k 1) k!
(洛必达法则)
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x) 在含有 x0 的某个开区间(a, b) 内具有直到(n 1) 阶的导数,则
当 x 在(a, b) 内时, f ( x)可以表示为( x x0 ) 的一个 n次多项式与一个余项Rn ( x)之和:
f (x)
f ( x0 )
法1 找一个数列
xn x0 ,
使 lim
n
f
(xn )
不存在
.
法2 找两个趋于 的不同数列 xn及 xn , 使
lim
n
f
(xn )

lim
n
f
(xn )
不存在 .
二、导数(derivative)的定义
y
x x0

f (x0 )

lim y x0 x
关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.
思考题
已知：y

ax

b


b x
a

x a
b
(a

0, b

0)，求y'
提示：对等式两边取对数。
y'
y
ln
a b


a x

b x
,(
x

0).
对于表达成积、商、幂形式的函数和形如 [f(x)]g(x)的函数求导时，往往采取两边取对数 然后求导数的方法，这种方法叫对数求导法 (下节课再讨论）但对于形如[f(x)]g(x)可以利用 对数恒等式x eln x来解决。
(u v) u v
(Cu) Cu ( C为常数 )
(uv) uv uv
3. 复合函数求导法则
y f (u) , u (x)

u v


uv u v2
v
(v 0)
说明: 最基本的公式
(C) 0
dy dy d u f (u) (x)
切线方程: y y0 f (x0 )(x x0 ) 法线方程:
y
o
x0
x
( f (x0 ) 0)
定理1.
注意: 函数在点 x 连续未必可导.
y
y x
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导.
定理3. 函数 在闭区间 [a , b] 上可导
o
x
例. 函数y=|x|在x=0处连续但不可导。
二阶导数 , 且 f (x0 ) 0, f (x0 ) 0
则 f (x)在点 x0取极大值 ;
则 f (x)在点 x0取极小值 .
定理3 (判别法的推广)
数, 且
则: 1) 当 n为偶数时, x0为极值点 , 且 x0 是极小点 ; x0 是极大点 .
2) 当 n为奇数时, x0不是极值点 .
定理 2. 原函数都在函数族
(1 x)m 1 mx m(m 1) x2 2!
m(m 1) (m n 1) xn o( xn ) n!
二、曲线的凹凸与拐点
定义 . 设函数 在区间 I 上连续 ,
(1) 若恒有 图形是凹的;
则称
B
(2) 若恒有
则称
图形A是凸的 .
yyy
连续曲线上有切线的凹凸分界点
一、 无穷小运算法则
定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .
类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . Note: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !
例如，
lim
n
n

n2
1

n2
1
2

n2
1
n

1
定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .
一般有如下结果：
lim
x
a0 xm b0 xn
a1xm1 b1xn1


am bn
为非负常数 )
( 如P47 例5 )

( 如P47 例6 )
( 如P47 例7 )
定理7. 设
且 x 满足
时,
(x) a, 又
则有
lim f [(x) ]
x x0
极限存在准则
Hint: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 . Note: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .
推论 1 . lim[C f (x)] C lim f (x) ( C 为常数 ) 推论 2 . lim[ f (x)]n [ lim f (x) ] n ( n 为正整数 ) 定理 5 . 若lim f (x) A, lim g(x) B , 且 B≠0 , 则有
3! 5!
(2n 1)!
cos x 1 x 2 x4 x6 (1)n x 2n o( x 2n )
2! 4! 6!
(2n)!
x2 x3 ln(1 x) x
(1)n
x n1
o( x n1 )
23
n1
1 1 x x2 xn o( xn ) 1 x
故曲率计算公式为
y
K

(1
y
2
)
3 2
Remark: 直线上任意点处的曲率为 0 !
K lim 1
s0 s R
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
一元函数积分学
存在原函数 . 初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数 简言之：连续函数一定有原函数.
(x m )(n) m(m 1) (m n 1)x mn
隐函数求导方法:
两边对 x 求导
(含导数 y的 方程)
定理 : 函数
在点 x0可微的充要条件是
在点 处可导,
dy f (x0 )x
二、 微分运算法则
设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
du dv
(C 为常数)
–
拐点 — 连续曲线上有切线的凹凸分界点
注意:
y
1) 函数的极值是函数的局部性质.
2
2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 1
不存在的点.
o 12 x
y
o a x1 x2 x3 x4 x5 b
x1 , x4 为极大点 x 2 , x5 为极小点
x3 不是极值点 x
定理 1 (极值第一判别法)
3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;
4. 求渐近线 ;
5. 确定分
ds 1 ( y)2 dx 或 ds (dx)2 (dy)2
若曲线由参数方程表示:

x y

x(t) y(t)
则弧长微分公式为 ds x2 y2 d t
称为拐点 .
ooo
xx11
xx11xx22 22
xx22
xxx
Conclusions
1. 可导函数单调性判别
f (x) 0, x I f (x) 0, x I
2.曲线凹凸与拐点的判别
f (x) 0, x I
在 I 上单调递增 在 I 上单调递减
+
f (x) 0, x I
f ( x0 )( x
x0 )
f ( x0 ) ( x 2!
x0 )2


f
(n)( x0 ) ( x n!

x0 )n

Rn ( x)
y ex y ex
y x
y 1 x
o
y ln(1 x) o
常用函数的麦克劳林公式
sin x x x 3 x5 (1)n x 2n1 o( x 2n2 )
？ 注意: f (x0) [ f (x0) ]
一、四则运算求导法则
定理1. 的和、差、积、商 (除分母
为 0的点外) 都在点 x 可导,
(v(x) 0)
三、复合函数求导法则(Chain Rule)
定理3.
在点 x 可导,
在点
可导
复合函数
在点 x 可导, 且
d y f (u)g( x) dx
设函数 f (x)在 x0 的某邻域内连续, 且在空心邻域 内有导数, 当x由小到大通过 x0 时,
(1) f (x) “左正右负” , 则 f (x)在 x0 取极大值. (2) f (x) “左负右正” ,则 f (x)在 x0 取极小值 ;
(自证)
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定理2 (极值第二判别法)
四、初等函数的求导问题
1. 常数和基本初等函数的导数 (P94)
(C) 0
( x ) x1
(sin x) cos x
(cos x) sin x
(tan x) sec2 x
(cot x) csc2 x
(sec x) sec x tan x (csc x) csc x cot x
vdu udv
5. 复合函数的微分 分别可微 ,
则复合函数
的微分为
f (u) (x) dx du
dy f (u) du
微分形式不变
lim f (x) lim f (x) xa F (x) xa F(x)
(Hospital’s rule)
lim f (x) lim f (x) xa F (x) xa F(x)
lim f (x) A
xx0
xn: xn x0 , f (xn )
xn

x0
(n

),
有
lim
n
f
( xn
)

A
定理1. lim f (x) A
x x0 (x )
且
(xn )
xn x0 , f (xn ) 有定义
有
lim
n
f
(xn
)

A.
Note: 此定理常用于判断函数极限不存在 .
二、 极限的四则运算法则
定理 3 . 若 lim f (x) A, lim g(x) B ,则有
推论: 若 lim f (x) A, lim g(x) B, 且 f (x) g(x), 则 A B .
定理 4 . 若 lim f (x) A, lim g(x) B , 则有