2020版数学人教B版选修2-1学案：第三章 3.1.1 空间向量的线性运算 Word版含解析

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§3。

1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量的线性运算
学习目标1。

了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共线向量等的概念。

2。

会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律。

3。

掌握数乘向量运算的意义及运算律．
知识点一空间向量的概念
1．在空间中,把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．
空间向量也用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B,则向量a也可记作错误!，其模记为｜a｜或|错误!｜。

2．几类特殊的空间向量
名称定义及表示
零向量起点与终点重合的向量叫做零向量，记为0
单位向量模为1的向量称为单位向量
相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，
记为－a
相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量
共线向量有向线段所在的直线叫做向量的基线．如果空间中一些向量
或平行向
量
的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向
量
知识点二空间向量的加减运算及运算律
1．类似于平面向量,可以定义空间向量的加法和减法运算．
错误!＝错误!＋错误!＝a＋b，
错误!＝错误!－错误!＝a－b.
2．空间向量加法交换律
a＋b＝b＋a，
空间向量加法结合律
(a＋b）＋c＝a＋(b＋c）．
知识点三数乘向量运算
1．实数与向量的积
与平面向量一样,实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下：
(1)｜λa｜＝|λ｜|a｜.
(2)当λ〉0时，λa与向量a方向相同；当λ〈0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
2．空间向量数乘运算满足以下运算律
（1）λ(μa）＝（λμ)a;
（2)λ(a＋b）＝λa＋λb。

1．若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同．（√）2．零向量没有方向．（×)
3．两个有公共终点的向量，一定是共线向量．( ×）
4．空间向量的数乘中λ只决定向量的大小，不决定向量的方向．( ×)
题型一空间向量的概念理解
例1 （1)下列关于空间向量的说法中正确的是( ）
A．空间向量不满足加法结合律
B．若|a｜＝|b｜,则a，b的长度相等而方向相同或相反
C．若向量错误!，错误!满足｜错误!｜＞|错误!｜，则错误!＞错误!
D．相等向量其方向必相同
考点空间向量的相关概念及其表示方法
题点相等、相反向量
答案D
解析A中,空间向量满足加法结合律；B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定;C中，向量作为矢量不能比较大小,故选D。

(2)给出以下结论:
①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；
②在正方体ABCD－A1B1C1D1中,必有错误!＝错误!；
③若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p,则m＝p。

其中不正确的个数是( ）A．0 B．1 C．2 D．3
答案B
解析两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确;在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有错误!＝错误!成立,故②正确;③显然正确．故选B。

反思感悟在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．
跟踪训练 1 （1)在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，下列四对向量:①错误!与错误!；②错误!与错误!；③错误!与错误!；④错误!与错误!。

其中互为相反向量的有n对，则n等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案B
解析对于①错误!与错误!，③错误!与错误!长度相等,方向相反,互为相反向量；对于②错误!与错误!长度相等，方向不相反;对于④错误!与错误!长度相等，方向相同．故互为相反向量的有2对．
（2)如图,在长方体ABCD－A′B′C′D′中,AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：
①单位向量共有多少个？
②试写出模为5的所有向量．
③试写出与向量错误!相等的所有向量．
④试写出向量错误!的所有相反向量．
解①由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量错误!，错误!，错误!,错误!，错误!,错误!，错误!，错误!，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．
②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为错误!，故模为错误!的向量有错误!,错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!.
③与向量错误!相等的所有向量(除它自身之外)有错误!，错误!及错误!。

④向量错误!的相反向量有错误!，错误!，错误!，错误!。

题型二空间向量的加减运算
例2 如图，已知长方体ABCD—A′B′C′D′，化简下列向量表达式,并在图中标出化简结果的向量．
(1）错误!－错误!； (2)错误!＋错误!＋错误!.
解 （1）错误!－错误!＝错误!－错误!＝错误!＋错误!＝错误!.
（2）错误!＋错误!＋错误!＝(错误!＋错误!）＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!。

向量AD ′-→，错误!如图所示．
引申探究
利用本例题图,化简错误!＋错误!＋错误!＋错误!. 解 结合加法运算
错误!＋错误!＝错误!，错误!＋错误!＝错误!，错误!＋错误!＝0.
故AA ′-→＋错误!＋错误!＋错误!＝0.
反思感悟 空间向量加法、减法运算的两个技巧
（1)巧用相反向量:向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．
(2）巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时,务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．
跟踪训练2 在如图所示的平行六面体中，求证:错误!＋错误!＋错误!＝2错误!。

证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形，
∴错误!＝错误!＋错误!，错误!＝错误!＋错误!,错误!＝错误!＋错误!， ∴错误!＋错误!＋错误!
＝（错误!＋错误!）＋(错误!＋错误!)＋（错误!＋错误!）
＝2（错误!＋错误!＋错误!)．
又∵错误!＝错误!，错误!＝错误!,
∴错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!
＝错误!＋错误!＝错误!。

∴错误!＋错误!＋错误!＝2错误!.
题型三数乘向量运算
例3 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量:
(1)错误!;（2)错误!；（3)错误!＋错误!。

解(1）错误!＝错误!＋错误!
＝（错误!＋错误!)＋错误!错误!
＝a＋c＋错误!b.
（2)错误!＝错误!＋错误!
＝－错误!＋错误!＋错误!错误!
＝－a＋b＋错误!c。

(3)错误!＋错误!＝(错误!＋错误!＋错误!)＋（错误!＋错误!）
＝错误!错误!＋错误!＋错误!错误!＋错误!错误!＋错误!
＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!
＝错误!a＋错误!b＋错误!c。

引申探究
若把本例中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且错误!＝错误!”，其他条件不变，如何表示错误!？
解错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!错误!＝a＋c＋错误!b。

反思感悟利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1）数形结合：利用数乘运算解题时,要结合具体图形,利用三角形法则、平行四边形法则,将目标向量转化为已知向量．
（2）明确目标：在化简过程中要有目标意识,巧妙运用中点性质．
跟踪训练3 如图，在空间四边形OABC中，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，如图所示，记OA→＝a，错误!＝b,错误!＝c，试用向量a，b，c表示向量错误!.
解错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!（错误!＋错误!＋错误!)＝错误!a＋错误!［－错误!a＋c＋错误!(b－c)]
＝错误!a＋错误!b＋错误!c.
对空间向量的有关概念理解不清致误
典例下列说法中，错误的个数为（)
①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；
②若向量错误!，错误!满足|错误!｜＝|错误!｜，错误!与错误!同向，则错误!>错误!；
③若两个非零向量错误!，错误!满足错误!＋错误!＝0，则错误!，错误!互为相反向量；
④错误!＝错误!的充要条件是A与C重合，B与D重合．
A．1 B．2 C．3 D．4
考点空间向量的相关概念及其表示方法
题点相等、相反向量
答案C
解析①错误，两个空间向量相等,其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关．
②错误，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小．
③正确，由错误!＋错误!＝0，得错误!＝－错误!,所以错误!，错误!互为相反向量．
④错误，错误!＝错误!的充要条件是｜错误!|＝|错误!｜，且错误!，错误!同向．但A与C，B与D不一定重合．
故一共有3个错误命题，正确答案为C。

［素养评析］（1）掌握空间向量的相关概念是正确解答本题的关键．（2）准确把握推理的形式和规则,有利于培养学生的合乎逻辑的思维品质.
1．下列命题中，假命题是( ）
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．空间中任意两个单位向量必相等
答案D
2．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，与向量错误!相等的向量共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案C
解析与错误!相等的向量有错误!,错误!，错误!，共3个．
3．向量a，b互为相反向量,已知｜b|＝3，则下列结论正确的是( ）
A．a＝b B．a＋b为实数0
C．a与b方向相同D．｜a｜＝3
答案D
解析向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反．故D正确．4．已知空间四边形ABCD，连接AC,BD，设M，G分别是BC，CD的中点,则错误!－错误!＋错误!等于( )
A。

错误!错误! B．3错误! C．3错误! D．2错误!
答案B
解析错误!－错误!＋错误!＝错误!－(错误!－错误!）＝错误!－错误!＝错误!＋2
错误!＝3错误!。

5．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，已知下列各式:
①（错误!＋错误!)＋错误!；②（错误!＋错误!)＋错误!；③（错误!＋错误!）＋B1C1；
④(错误!＋错误!）＋错误!。

其中运算的结果为错误!的有________个．
答案4
解析根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：①(错误!＋错误!）＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!；
②（错误!＋错误!）＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!;
③(错误!＋错误!）＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!；
④(错误!＋错误!)＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!。

所以4个式子的运算结果都是错误!.
1．一些特殊向量的特性
(1)零向量不是没有方向,而是它的方向是任意的．
（2）单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.
（3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反,则它们为相反向量．2．空间向量加法、减法运算的两个技巧
（1）巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．
（2)巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时,务必注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果。

一、选择题
1．下列命题中为真命题的是( )
A．向量错误!与错误!的长度相等
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
考点空间向量的相关概念及其表示方法
题点相等、相反向量
答案A
解析对于选项B，其终点构成一个球面；对于选项C，零向量不能用有向线段表示；对于选项D,向量a与向量b不相等，未必它们的模不相等,故选A. 2．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，则错误!＋错误!＋错误!为（) A.错误! B。

错误! C。

错误! D．0
答案A
解析错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!。

3．如图所示，点D是空间四边形OABC的边BC的中点，OA，→＝a,错误!＝b，错误!＝c，则错误!为( ）
A.错误!（a＋b)－c B。

错误!(c＋a）－b
C。

错误!(b＋c)－a D．a＋错误!(b＋c)
答案C
解析错误!＝错误!＋错误!
＝－错误!＋错误!(错误!＋错误!)
＝－a＋错误!(b＋c)．
4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，向量表达式错误!－错误!＋错误!化简后的结果是( )
A.错误!
B.错误!
C.错误! D。

错误!
答案A
解析如图所示,∵错误!＝错误!,错误!－错误!＝错误!－错误!＝错误!,错误!＋错误!＝错误!，∴错误!－错误!＋错误!＝错误!。

5.在空间平移△ABC到△A′B′C′，连接对应顶点，设错误!＝a，错误!＝b,错误!＝c,M是BC′的中点，N是B′C′的中点，如图所示,用向量a，b，c表示向量错误!等于（)
A.a＋错误!b＋错误!c
B.错误!a＋错误!b＋错误!c
C．a＋错误!b
D.错误!a
答案D
解析错误!＝错误!错误!＝错误!错误!＝错误!a.
6。

如图，在四棱柱的上底面ABCD中，错误!＝错误!,则下列向量相等的是（）
A。

错误!与错误! B.错误!与错误!
C。

错误!与错误! D.错误!与错误!
答案D
解析∵错误!＝错误!,∴|错误!|＝|错误!｜，AB∥DC，即四边形ABCD为平行四边形，由平行四边形的性质知，错误!＝错误!。

7。

如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若错误!＝a,错误!＝b，错误!＝c,则下列向量中与错误!相等的向量是( ）
A．－错误!a＋错误!b＋c
B.错误!a＋错误!b＋c
C.错误!a－错误!b＋c
D．－错误!a－错误!b＋c
答案A
解析错误!＝错误!＋错误!
＝错误!＋错误!（错误!＋错误!）
＝c＋错误!(－a＋b）＝－错误!a＋错误!b＋c。

8．P为正六边形ABCDEF所在平面外一点，O为正六边形ABCDEF的中心，则错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!等于（)
A．2错误! B．4错误! C．6错误! D．12错误!
答案C
解析由O是正六边形ABCDEF的中心，得错误!＋错误!＝0,错误!＋错误!＝0,错误!＋错误!＝0,∴错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝6错误!。

二、填空题
9．已知向量a，b，c互相平行，其中a，c同向，a,b反向，｜a｜＝3，|b｜＝2,|c｜＝1，则|a＋b＋c|＝________.
考点空间向量的加减运算
题点空间向量的加减运算的应用
答案2
10．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，若C错误!＝a,C错误!＝b，错误!＝c，则错误!＝
________. 答案 －a ＋b －c 解析 如图，
错误!＝错误!＋错误!
＝C 1C ，→＋(错误!－错误!） ＝－CC 1→＋错误!－错误! ＝－c ＋b －a 。

11．给出下列几个命题:
①方向相反的两个向量是相反向量; ②若|a ｜＝｜b |，则a ＝b 或a ＝－b ；
③对于任意向量a ,b ,必有｜a ＋b ｜≤｜a |＋｜b |。

其中正确命题的序号为________． 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 空间向量的定义与模 答案 ③
解析 对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错误;对于②，若|a |＝|b ｜，则a 与b 的长度相等，但方向没有任何联系,故不正确;只有③正确． 三、解答题
12。

如图所示，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，化简下列表达式．
（1)错误!＋错误!；
(2）错误!＋错误!＋错误!；
(3）错误!＋错误!＋错误!；
(4）错误!＋错误!－错误!。

解（1）错误!＋错误!＝错误!。

(2)错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!
＝错误!。

（3）错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!.
(4）错误!＋错误!－错误!＝(错误!＋错误!＋错误!)＋(错误!＋错误!＋错误!)－错误!＝错误!.
13。

如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中点．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
（1）错误!＋错误!；
(2）错误!＋错误!＋错误!错误!;
(3）错误!－错误!－错误!。

解(1）错误!＋错误!＝错误!。

（2）因为M是BB1的中点,
所以错误!＝错误!错误!.
又错误!＝错误!，
所以错误!＋错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!＝错误!.
(3）错误!－错误!－错误!＝错误!－错误!＝错误!.向量错误!,错误!,错误!如图所示．
14．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的中心为O ，则在下列各结论中正确的共有（ )
①错误!＋错误!与错误!＋错误!是一对相反向量； ②错误!－错误!与错误!－错误!是一对相反向量；
③错误!＋错误!＋错误!＋错误!与错误!＋错误!＋错误!＋错误!是一对相反向量; ④OA ′—→－错误!与错误!－错误!是一对相反相量． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 C
解析 如图所示，①OA →＝－OC ′，-→，错误!＝－错误!，
所以错误!＋错误!＝－(错误!＋错误!),是一对相反向量；
②错误!－错误!＝错误!，错误!－错误!＝错误!，而错误!＝错误!，故不是相反向量； ③同①，也是正确的;
④错误!－错误!＝错误!，错误!－错误!＝错误!＝－错误!,是一对相反向量． 15.如图所示,在正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1中．
（1）化简错误!－错误!－错误!＋错误!＋错误!＋错误!，并在图中标出表示化简结果的向量；
(2)化简错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!，并在图中标出表示化简结果的向量．
考点空间向量的加减运算
题点空间向量的加减运算
解(1)错误!－错误!－错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋0＝错误!＋错误!＝错误!。

错误!在图中表示如下：
(2)错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝0＋错误!＝错误!。

错误!在图中表示如下：。