分块矩阵的方法,技巧与应用

分块矩阵的方法、技巧与应用
内容摘要有时候，我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的
一样。

特别在运算中，把这些小矩阵当作数一样处理。

这就是矩阵的分块。

设A 是一个m*n 矩阵
11
121212221
2
n n m m mn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
用若干横线将它分成s 块，若干竖线将它分成r 块,于是有*r s 的分块矩阵
1112121
2121
2
s s r r rs A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
其中
ij A 表示一个矩阵。

关键词矩阵，分块矩阵，逆矩阵，准对角矩阵
1. 导言
在理论研究及一些实际问题中，经常遇到阶数很高或结构特殊的矩阵。

对于这些矩阵，在运算时常常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算。

分块矩阵可以用来降低较高级数的矩阵级数，使矩阵的结构更清晰明朗，从而使矩阵的相关计算简单化，而且还可以用于证明一些与矩阵有关的问题。

本文将主要介绍分块矩阵的一些初等变换的方法技巧，就分块矩阵的加法与数量乘法、乘法、转置、初等变换等运算性质，以及分块矩阵在矩阵求逆、行列式展开等方面进行一些基本研究。

2.
1.分块矩阵的简介
矩阵分块为矩阵运算带来便利，最常用的矩阵分块是2*2块
A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 其中A 为*m m 矩阵块，D 为*n n 矩阵块。

例:在矩阵
2
1210000010012101
10
1E A A E ⎛⎫ ⎪
⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭
中,2E 代表2级单位矩阵,而
11211A -⎛⎫= ⎪⎝⎭,0000O ⎛⎫= ⎪⎝⎭
在矩阵
11
1221221032120124111
15
3B B B B B ⎛⎫ ⎪
-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-⎝⎭
中,
111012B ⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
,123201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,
211011B ⎛⎫= ⎪--⎝⎭ ,224120B ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
.
在计算AB 时,把A ,B 都看成事由这些小矩阵组成的,即按2阶矩阵来运算,于是
2
11
1211
12
12212211121
112220E B B B B AB A E B B A B B A B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==
⎪⎪
⎪
++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
其中
11121121010111211341024021111A B B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=+ ⎪⎪ ⎪
---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11222123241110
12030411133205
3A B B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
把上述计算结果作为小块的元素代入,得到
1032120124011
15
3AB ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭
通常,矩阵分块可以简化矩阵的运算，实现运算的优化。

下面具体讨论矩阵分
块方法。

2.分块矩阵的加法和乘法
设()
(),ik sn kj nm
A a B
b ==,把,A B 分成一些小矩阵:
1
21111212212221
2
=
l
l l t t t tl n n n s A A A s A A A A s A A A ⎛⎫ ⎪
⎪
⎪ ⎪
⎝⎭
, (1)
1
2111
1212212221
2B=
r
r r l t t tr m m m n B B B n B B B n B B B ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭
, (2)
其中每个
ij
A 是
*i j
s n 小矩阵.于是有
1211112122122212C=
r
r r t t t tr m m m s C C C s C C C s C C C ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
, (3) 其中
()1122110011,2,,;1,2,,r .
pq p q p q pl lq l
pk kq k C A B A B A B A B p t q =⎛⎫
=+++ ⎪
⎝⎭===∑
再讨论矩阵线性运算的分块加法. 设()
(),ik sn kj nm
A a
B b ==,把,A B 分成一些小
矩阵:
1
211
12112122221
2
=
t
t t r r rt r n n n A A A m A A A m A A A A m ⎛⎫ ⎪
⎪
⎪ ⎪
⎝⎭
1
2
11
12112122221
2B=
t
r r t t tr r n n n B B B m B B B m B B B m ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭
其中每个ij A 是*i j s n 小矩阵.设,,k l P ∀∈有
12
11121121222212C=kA+B=t
l l t t tl r n n n C C C m C C C m l C C C m ⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
， (4)
其中，
()1,2,,;1,2,,.
pq pq pq C kA lB p r q t =+==
注意:在分块(1),(2)中矩阵A 的列的分发必须与矩阵B 的行的分发相同。

可以看到，分块矩阵有许多方便之处。

常常在分块之后，矩阵间的相互关系会看的更清楚。

3.利用矩阵分块求逆矩阵
11111111111
1
0000k
k kk k
r r rk
r rr a a a a A O D c c b b C B c c b c ⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪⎛⎫
==
⎪ ⎪⎝⎭
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
其中，,A B 分别是k 级和r 级可逆矩阵，C 是*r k 矩阵，0是*k r 零矩阵. 首先，因为
D A B =，
所以当A,B 可逆时，D 也可逆.设
11
12121
22X X D X X -⎛⎫=
⎪⎝⎭，
于是
11122122k
r X X E O A O X X O E C B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 这里k E ，r E 分别表示k 级和r 级单位矩阵.乘出并比较等式两边，得
111211211222,,,,
k r AX E AX O CX BX O CX BX E =⎧⎪=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ 由第一,二式得
-111112X A X A O O -===，,
代入第四式,得
122X B -=, 代入第三式,得
11211121,BX CX CA X BCA --=-=-=-
因此
1
1
11
1A O D B CA
B -----⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
特别的,当C O =时有
-1
1
1A O A O O B O
B --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
一般的，形式为
1200000
s A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
的矩阵，其中i A 是*i i n n 矩阵()1,2,,s i = ，通常称为准对角矩阵，而形式为
1200000
0l a a a ⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
的矩阵，其中i a 是数()1,2,,i l = ，通常称为对角矩阵，是一种特殊情况。

如果12,,,l A A A 都是可逆矩阵,那么
1
1
11121110000000
00000l A A A A A A ----⎛⎫
⎛⎫ ⎪
⎪
⎪
⎪= ⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
. 4.分块矩阵的初等变换及应用
和初等矩阵与初等变换的关系一样,用初等矩阵去乘分块矩阵,其结果就是对它进行相应的变换;
00
m
m m n P A B P A P B A B E C D C D C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭; 0m m m nm
n A
B E A B A B
C P A
D P B P
E C D C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭; 00n m
E A B A B A B E C D C D C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭. 这就是分块矩阵的初等变换;同样,用初等矩阵去进行可能的右乘,也有相应的结果.
下面通过举例来说明分块矩阵的初等变换的重要应用. 例1
0A T C D ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
,A D 可逆,求1T -.
由
10000m n E A A CA
E C D D -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ 及
1
1100,00
A A D D ---⎛⎫
⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
易知
1
1
1
111110000m
n E A A T
CA E D D CA D --------⎛⎫⎛⎫
⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
例2
10A T C D ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
设1T 可逆,D 可逆,试试证明()1
1A BD C ---存在,并求1T .
由11
00m
n A B E BD A BD C D E C D --⎛⎫⎛⎫
--⎛⎫=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
⎝⎭ 而右端仍然可逆,故()1
1
A BD C ---存在. 在由例1,知
()
()()()()()11111111111
111
1111111100m n A BD C E
BD T E D C A BD C D A BD C A BD C BD D C A BD C D C A BD C BD D ---------------------⎛⎫-⎛⎫
- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
--⎝
⎭
⎛⎫
--- ⎪
= ⎪
⎪---+⎝
⎭
例3 证明行列式的乘积公式AB A B =. 作
00
0E A A AB E E B E
B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()* 设,A B 为*n n 矩阵,作
,0n
ij ij n E E P E ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
,1,2,,i j n = ,
着了ij E 为*n n 矩阵,除了第i 行和第j 列元素为ij a 外,其他元素皆为零.则由初等矩阵与初等变换的关系,易得右端为
11121100
0n
n n nn n n n E P P P P P E E A E ⎛⎫
⎪⎝⎭
⎛⎫= ⎪
⎝
⎭
又由ij
P 所对应的初等变换是某行加上另一行的倍数,它不改变行列式的值,故 110000nn E A A A
P P E E B E B A A B E B
⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪--⎝
⎭⎝⎭
⎝⎭==-
但()*的右端可经n 个两列对换变成
0AB B E ⎛⎫ ⎪-⎝⎭
, 故
00(1)(1)n n AB AB B E B E AB E AB
⎛⎫=- ⎪
--⎝⎭
=--= 这就证明了
AB A B =.
例4 设 ()*,ij A a n m =且
11110,1k ,k k kk
a a n a a ≠≤≤
则有下三角矩阵*n n B 使
BA =上三角矩阵.
证明 对n 作归纳法.当1n =时,一阶矩阵既是上三角形也是下三角形.故命题自然成立.
设对1n -命题为真,我们来看
11111
,k k kk a a A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪
⎝⎭
它仍然满足命题中所假设的条件.由归纳法假设,有下三角形矩阵
()()()111n n B --满足
11B A =上三角矩阵.
对A 作如下分块,
1,nn A A a βα⎛⎫
= ⎪⎝
⎭
则
111
111001nn nn A A E
a A a A ββααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝
⎭, 再作
1
111111
1100001nn nn A B A B B A a A a ββαα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭⎝
⎭ 这时矩阵以成为上三角形了.讲两次乘法结合起来就得到:
1111110001101E
B B B A A αα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
此即所要求的下三角形矩阵.
3.结语:本文主要论述了分块矩阵的基本应用，其中包括分块矩阵的加法与乘法
的运算,利用分块矩阵求矩阵的逆矩阵，以及分块矩阵的初等变换的应用，除此之外分块矩阵在高等代数其它方面也有着重要的应用，比如说用分块矩阵证明矩阵乘积得秩，求矩阵的特征值等等。

我们在这里就不作介绍了,大家有兴趣的可以自行研究,相信会有不一样的收获。

对于同一个矩阵有着不同的分法，这就要求我们平时要善于观察，争取把矩阵的分块用到恰到好处,最大化的简化我们的计算,以及进行一些证明。

当然，由于自己现在掌握的知识有限，所以本文的论述略显肤浅，希望大家指摘批评，提出自己的宝贵意见。

致谢辞
在论文完成之际，我要特别感谢我的指导老师祝清顺教员热情关怀和悉心指导。

在我一学期的学习过程中，祝教员倾注了大量的心血和汗水，使我得到了悉心细致的教诲和无私的帮助，特别是他广博的学识、深厚的学术素养、严谨的治学精神和一丝不苟的工作作风使我终生受益，这些在我的人生道路上给予了决定性的帮助，这对我今后走向社会有着重要的影响，也是我人生中的一笔财富。

在此表示真诚地感谢和深深的谢意。

在论文的写作过程中，也得到了许多同学的宝贵建议，同时还到许多在工作过程中许多同事的支持和帮助，在此一并致以诚挚的谢意。

感谢所有关心、支持、帮助过我的良师益友。

最后，向在百忙中抽出时间对本文进行评审并提出宝贵意见的各位专家表示衷心地感谢！
参考文献
[1]高等代数与符号运算/张宝善，沈雁，蒋永泉.--北京：清华大学出版社，2011.10
[2]高等代数(第三版).—北京:高等教育出版社,2003.9
[3]线性代数( 第2 版).—北京:高等教育出版社,2003.
[4]初等矩阵的关系及可逆矩阵的分解.大学数学, 2003. 19
[5]线性代数与矩阵.--北京：高等教育出版社，1992.。