2025届高考数学一轮总复习第三章函数与基本初等函数第四节二次函数与幂函数

(2)顶点式:若函数的顶点坐标为(h,k),则y=a(x-h)2+k(a≠0);
(3)零点式:若函数的两个零点为x1,x2,则y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
常用结论
1.所有幂函数的图象都经过点(1,1),所有幂函数的图象都不经过第四象限.
2.幂函数f(x)=xα,当α>0时f(x)在(0,+∞)上单调递增,当α<0时f(x)在(0,+∞)上
下结论,其中正确的是(
)
A.f(x)在区间[-1,0]上的最小值为1
B.f(x)在区间[-1,2]上既有最小值,又有最大值
C.f(x)在区间[2,3]上的最小值为2,最大值为5
D.f(x)在区间[0,a](a>1)上的最大值为f(a)
答案 BC
解析函数f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1的图象开口向上,对称轴为直线x=1.在选项
和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的
思想即可完成.
对点训练5已知函数f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[1,+∞),则
小值为(
1 4
+

)
A.-3
B.3
C.-4
D.4
答案 B
解析由题意知a≠0.
因为二次函数f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[1,+∞),所以a>0,且
A⊆(-∞,-

2
](A⊆[-

2
,+∞)),即区间A一定在函数对称轴的左侧(右侧).
对点训练4已知函数y=ax2+bx-1在(-∞,0]上是单调函数,则y=2ax+b的图象
不可能是( B )
考向3.二次函数的最值
典例突破
例5.(多选)(2023山东烟台期末)已知函数f(x)=x2-2x+2,关于f(x)的最值有如
4 + 2 + = -1,
= -4,
由题意得 - + = -1,
解得 = 4,
4-2
= 7.
=
8,
4
故 f(x)=-4x2+4x+7.
(方法 2)
利用二次函数的顶点式)设 f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).
因为 f(2)=f(-1),所以二次函数 f(x)的对称轴为直线
故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即f(x)=ax2-ax-2a-1.
又函数有最大值
4(-2-1)- 2
8,即
=8,
4
解得a=-4.
故f(x)=-4x2+4x+7.
方法总结求二次函数解析式的方法
求二次函数解析式,一般运用待定系数法,选择规律如下:
对点训练2为了美观,在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成二次函数图
4
]
在

−∞, − 2
在

− 2
单调性
上单调递减,
, +∞ 上单调递增
图象特点 ①对称轴:直线

x=-2 ;②顶点:
在

−∞, − 2
在

− 2
上单调递增,
, +∞ 上单调递减
4 − 2
− 2 , 4
微点拨二次函数解析式的三种基本形式
(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);
1
=2,α= ,所以
2
α
4
(2)易知
1
f(x)= 2 ,其图象为选项
B 的图象.故选 B.
3
3
y= 5 是奇函数且单调递增,f(x)+f(a-2x)=(x-1)5
3
1
+ 2+(a-2x-1)5
1
+ 2≤1,
3
3
3
即(x-1)5 ≤-(a-2x-1)5 =(2x-a+1)5 ,所以 x-1≤2x-a+1,即 a≤x+2,所以 a≤x+2 在 x
时,f(x)在区间[0,a]上的最大值为2,当a>2时,f(x)在区间[0,a]上的最大值为
f(a),D错误.故选BC.
技巧点拨二次函数最值问题的类型及求解策略
(1)类型:①对称轴、区间都是固定的;②对称轴变动、区间固定;③对称轴
固定、区间变动.
(2)解决这类问题的思路:抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点
叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
注意幂函数与指数函数的区别
2.常用5个简单幂函数的图象与性质
函数
y=x
y=x2
定义域
R
R
值域
R
{y|y≥0} R
奇偶性 奇函数 偶函数
在R上 在(-∞,0)上单调
单调性 单调
递增
递减,在(0,+∞)
上单调递增
1
x2
y=x3
y=
R
{x|x≥0}
{y|y≥0}
奇函数
>1,c=(3)
9
<(16)
1
4
3
4
,即 c<a,
8
=(27)
1
4
<1,且
8
0<27
<
1
9
4
<1,y=
16
考点二
二次函数的解析式
典例突破
例2.已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,求二次函数
f(x)的解析式.
解 (方法1) 利用二次函数的一般式)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
∈[2,3]上恒成立,故 a≤4.故选 D.
名师点析幂函数的图象与性质应用技巧
(1)由于幂函数解析式中只含有一个参数,因此只需一个条件,利用待定系
数法即可确定幂函数的解析式.
(2)对于幂函数的图象,可结合5个常见幂函数的图象特点进行分析判断.
(3)对于幂函数f(x)=xα,当α>0时f(x)在(0,+∞)上单调递增,当α<0时f(x)在
第三章
第四节 二次函数与幂函数
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
1.通过具体实例,理解幂函数的概念.
课标
解读
2.结合函数y=x,y=x2,y=x3,
1
y= ,y=
x
x 的图象,理解幂函数的图象与性
质.
3.理解并掌握二次函数的图象与性质.
强基础 增分策略
知识梳理
1.幂函数的概念
一般地,函数 y=xα
=f(3)=3,∴要使函数f(x)=x2-2x在定义域[-1,n]上的值域为[-1,3],则n的取值范
围是[1,3].
方法点拨解决二次函数单调性问题的基本方法
(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同,因此研究二次函数的单
调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论.
(2)若已知f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增),则
(1-)2 -4 × (-2) ≤ 0,
由
> -1,
A中,∵f(x)在区间[-1,0]上单调递减,∴f(x)在区间[-1,0]上的最小值为f(0)=2,A
错误.在选项B中,∵f(x)在区间[-1,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,∴f(x)的
最小值为f(1),最大值为f(-1),B正确.在选项C中,∵f(x)在区间[2,3]上单调递
增,∴f(x)的最小值为f(2)=2,最大值为f(3)=5,C正确.在选项D中,当1<a≤2
非奇非
偶函数
在R上单 在[0,+∞)上
调递增
单调递增
y=x-1
{x|x≠0}
{y|y≠0}
奇函数
在(-∞,0)和
(0,+∞)上单调递
减
图象
过定点 (1,1)
3.二次函数的图象和性质
f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
a>0
a<0
图象
定义域
值域
R
4 - 2
[
4
,+∞)
4 - 2
(-∞,
答案 (3,5)
+ 1 > 0,
解析 依题意有 10-2 > 0,
解得3<a<5,即实数a的取值范围是(3,5).
+ 1 > 10-2,
增素能 精准突破
考点一
幂函数的图象与性质
典例突破
例1.(1)已知函数y=ax-4+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,若点P在幂函数f(x)
的图象上,则幂函数f(x)的大致图象是(
)
(2)(2023江西南昌一模)已知函数 f(x)=(x-1)
3
5
1
+2
,若对于任意的x∈[2,3],不
等式f(x)+f(a-2x)≤1恒成立,则实数a的取值范围是(
A.(-∞,2)
B.(-∞,2]
C.(-∞,4)
D.(-∞,4]
)
答案 (1)B (2)D
解析 (1)由 x-4=0,得 x=4,y=2,即定点 P 的坐标为 (4,2).设 f(x)=xα,则
4 -4
f(x)min= 4
1
所以
1
因此

=
-1
=1,所以

ac-1=a,即
1
c= +1>1.
+
4
4
=c+ -1≥2

4
· -1=3,当且仅当
+
4
的最小值为

3.
c=2 时,等号成立.
的最
考向4.二次函数中的恒成立问题
典例突破
例6.已知函数f(x)=x2+(1-m)x-m,若f(f(x))≥0恒成立,则实数m的取值范围是
是(
)
答案 D
考向2.二次函数的单调性
典例突破
例4.(2023四川南山中学一模)已知函数f(x)=x2-2x在定义域[-1,n]上的值域
为[-1,3],则实数n的取值范围为
.
答案 [1,3]
解析 ∵f(x)=x2-2x图象的对称轴为直线x=1,∴f(x)在[-1,1]上为减函数,在
[1,+∞)上为增函数,由x2-2x=-1,得x=1,由x2-2x=3,得x=-1或x=3,即f(-1)
(0,+∞)上单调递减,而f(x)在(-∞,0)上的单调性由函数的定义域以及奇偶性
决定.
对点训练 1(1)(2023 海南海口模拟)设
关系是(
3
a=( )
4
1
2
4
,b=( )
3
1
4
2
,c=( )
3
3
4
,则 a,b,c 的大小
)
A.c<a<b
B.c<b<a
C.a<c<b
D.b<c<a
1
(2)(多选)已知点 , 2
(
)
A.[-3,-3+2 2]
B.[-1,-3+2 2]
C.[-3,1]
D.[-3+2 2,1]
答案 A
解析 f(x)=x2+(1-m)x-m=(x-m)(x+1).
(1)当m>-1时,f(f(x))≥0恒成立等价于f(x)≥m或f(x)≤-1(不符合题意,舍去)
恒成立,
即f(x)=x2+(1-m)x-m≥m恒成立,


b=-3a,
c=2a.不等式(ax+b)(bx+c)(cx+a)<0 可化为(ax-3a)(-3ax+2a)(2ax+a)<0,即
1
2
(x-3)(3x-2)(2x+1)>0,解得-2<x<3或
x>3.
突破技巧二次函数图象的应用技巧
对点训练3已知函数f(x)=ax2+bx+c.若a>b>c且a+b+c=0,则f(x)的图象可能
单调递减.
3.一般地,对于幂函数f(x)=


(m,n∈N*,m与n互质),当m为偶数时,f(x)为
偶函数;当m,n均为奇数时,f(x)为奇函数;当n为偶数时,f(x)为非奇非偶函数.
4.如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”.
A.是奇函数
B.是偶函数
C.在(0,+∞)上单调递增
D.在(0,+∞)上单调递减
在幂函数f(x)=(a-1)xb的图象上,则函数f(x)(
)
答案 (1)A
(2)AD
3
解析(1)∵a=(4)
1
2
9
=(16)
1
4
4
<1,b=(3)
8
在(0,+∞)上单调递增,∴(27)
∴c<a<b,故选 A.
1
4
1
4
2
考向1.二次函数的图象
典例突破
例3.(2023上海青浦二模)已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则不等式
(ax+b)(bx+c)(cx+a)<0的解集是
答案
.
1 2
(-2 , 3)∪(3,+∞)
解析由 y=ax +bx+c 的图象,得
2


a>0,c>0,1+2=3=- ,b<0,1×2=2= ,即
又根据题意函数有最大值 8,所以 n=8,
所以 y=f(x)=a
1 2
−
+8.
2
又因为 f(2)=-1,所以 a
所以 f(x)=-4
1 2
2 − +8=-1,解得
2
1 2
−
+8=-4x2+4x+7.
2
a=-4,
2+(-1)
x= 2
=
1
,所以
2
1
m=2.
(方法3) 利用二次函数的零点式)由已知得f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,
象的形状(如图).若对应的两条曲线关于y轴对称,AE∥x轴,AB=4 cm,最低点
C在x轴上,高CH=1 cm,BD=2 cm,则右轮廓线DFE所对应的二次函数的解
析式为(
D)
1
A.y=4(x+3)2
1
B.y=-4(x-3)2
1
C.y=- (x+3)2
4
1
D.y= (x-3)2
4
考点三
二次函数的图象与性质(多考向探究)
1
A.-4
1
B.4
C.-4
D.4
答案 B
2
2
,则 f(16)=(
)
α
α
解析设 f(x)=x ,依题意 f(2)=2 =
所以