(易错题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》检测(答案解析)

一、选择题
1．设复数z 满足1z =，则1z i -+的最大值为（ ）
A
1
B
．2C
1
D
．22．设i 为虚数单位，若复数z 满足1z
i i
=-，其中z 为复数z 的共轭复数，则z =（ ） A ．1
B
C
．
2
D ．2
3．已知复数z 满足121i
z i i
+⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( ) A ．1
B ．2
C
D
4．已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()()2,1,0,1--，则1
22
z z z +=（ ） A ．22i +
B ．22i -
C ．2i -+
D ．2i --
5．已知i 为虚数单位，复数2
1i
z =+，则z z -等于（ ） A ．2
B ．2i
C ．2i -
D ．0
6．已知复数1z ，2z 满足12121z z z z -=-，则有（ ） A ．10z <且21z < B ．11z <或21z < C ．11z =且21z =
D ．11z =或21z =
7．下列命题中，正确的是（ ）. A ．若z 是复数，则22||z z = B ．任意两个复数不能比较大小
C ．当240b ac ->时，一元二次方程20ax bx c ++=(,,)a b c C ∈有两个不相等的实数根
D ．在复平面xOy 上，复数2z m mi =+（m R ∈，i 是虚数单位）对应的点的轨迹方程是
2y x =
8．若复数z 满足(12)5z i +=，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数z =（ ） A ．12i - B ．12i + C ．12i -+ D ．12i -- 9．已知复数z 满足|z|=1，则|z －i|（i 为虚数单位）的最大值是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
10．满足条件3z i z i +=+的复数z 对应点的轨迹是（ ） A ．直线
B ．圆
C ．椭圆
D ．线段
11．已知复数2(1)(1)z m m i =--+,其中m R ∈.若z 是纯虚数，则m = A ．1
B ．1-
C ．1或1-
D ．0
12．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于( )
A ．
34
B ．
43
C ．43
-
D ．34
-
二、填空题
13．已知虚数()(2),z x yi x y R =-+∈，若1z =，则
y
x
的取值范围是_______ 14．已知复数12,z z 满足122,3z z ==，若它们所对应向量的夹角为60︒，则
12
12
z z z z +=-___ 15．已知复数(,,0)z x yi x y R x =+∈≠且|2|3z -=，y
x
的取值范围是______ 16．
2
13i
(3i)
-+化简后的结果为_________． 17．设a R ∈，若复数3a i z i
-=
+(i 是虚数单位)的实部为1
2，则 a = __________．
18．设m R ∈，复数22235(23)z m m m m i =--+--，当m =_________时，z 为纯虚数. 19．已知复数213
(3)2
z a i a =+-+，22(31)z a i =++（a R ∈，i 是虚数单位）． （1）若
,求的值；
（2）若复数12z z -在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围. 20．若(1)(2)i i a bi ++=+，其中,,a b R i ∈为虚数单位，则a b +=___________．
三、解答题
21．已知复数()()
22
326z m m m m i =+++-- ，则当实数m 为何值时，复数z 是：
（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数； （4）对应的点在第三象限． 22．已知复数z 满足214,(1)2.z i w z i i -+==-++ （1）求w 在复平面上对应点P 的轨迹C ．
（2）在复平面上点Q （0，4）向轨迹C 做切线，分别切于A 、B 两点，求直线AB 的方程．
23．已知复数2(1)36z i i =-++.
(1)求z 及z ，（2）若2820z az b i ++=-+，求实数,a b 的值． 24．设复数z a i =+（i 是虚数单位，a R ∈，0a >），且10z = （Ⅰ）求复数z ；
（Ⅱ）在复平面内，若复数1m i
z i
++-()m R ∈对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围．
25．已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，12z z ⋅是
实数，求2z ．
26．已知3＋2i 是关于x 的方程2x 2＋px ＋q ＝0的一个根，求实数p ，q 的值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
如图所示，复数满足1z =时轨迹方程为复平面内的单位圆，
而()11z i z i -+=--表示z 与复数1i -所对应的点在复平面内的距离， 结合圆的性质可知，1z i -+的最大值为()2
211121+-+=+.
本题选择C 选项.
2．B
解析：B 【分析】
设复数z a bi =+，则共轭复数z a bi =-，利用复数代数形式的乘除运算化简即可. 【详解】
由题意，设复数z a bi =+，则共轭复数z a bi =-， 由
1z
i i
=-，得()11z i i i a bi =-=+=-， 所以1a =，1b =-，即1z i =-，故2z =
故选：B. 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的共轭复数，考查复数的摸，属于基础题.
3．D
解析：D 【分析】
按照复数的运算法则先求出z ，再写出z ，进而求出z . 【详解】
21(1)21(1)(1)2
i i i
i i i i ++===--+， 1222(2)121i i
z i i z i z i i i i i
+-∴
⋅=
-⇒⋅=-⇒==--=---， 12||z i z ∴=-+⇒==
故选：D 【点睛】
本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.
4．A
解析：A 【解析】
分析：首先确定复数12,z z ，然后结合题意进行复数的混合运算即可. 详解：由题意可得：122,z i z i =-=-， 则：
()12
22212i i z i i z i i --===+--，21z =， 据此可得：1
22
22z z i z +=+. 本题选择A 选项.
点睛：本题主要考查复数的定义及其运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5．C
解析：C 【解析】 ∵ 22(1)112
i z i i -=
==-+，∴ 1(1)2z z i i i -=--+=-，故选C. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．
6．D
解析：D 【分析】
利用2
z z z =⋅，结合2
212
121z z z z -=-，化简出22
22
121210z z z z +--=，通过分
解因式推出1z ，2z 中至少又一个值为1可得答案． 【详解】
由12121z z z z -=-，得
2
2
12121z z z z -=-，即(
)()()()12
121212
11z z z z z z z z --=--，
∴()()()()1
2
1
2
12
12
11z z z z z z z z --=--，
∴22
22
1121221212121z z z z z z z z z z z z --+=--+．
∴2
2
22
121210z z z z +--=，
即(
)()
2
2
12110z z
--=．
得2
1
1z =或2
21z =．
∴11z =或21z =． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了复数的模的运算性质：2
z z z =⋅，对已知等式12121z z z z -=-两边平方后，利用运算性变形是解题关键，属于中档题.
7．D
解析：D 【分析】
举例说明A 错误；当两复数为实数时B 错误；由实系数一元二次方程的判别式与根的关系说明C 错误；求出z 的参数方程，消参后得到z 的轨迹方程说明D 正确． 【详解】 解：对于A ，若z
i ，则2||1z =，21z =-，22||z z ≠，故A 错误；
对于B ，当两个复数均为实数时，可以比较大小，故B 错误；
对于C ，只有当a ，b ，c 均为实数时，在满足240b ac ->时，一元二次方程
20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，故C 错误；
对于D ，由2(z m mi m R =+∈，i 是虚数单位），设z 对应的点(,)Z x y ，得2
x m
y m ⎧=⎨=⎩
，消
去m 得，2y x =，
∴在复平面xOy 上，复数2(z m mi m R =+∈，i 是虚数单位）对应的点的轨迹方程是
2y x =． 故D 正确．
故选：D ． 【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用，考查了复数的有关概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】
解：由(12)5z i +=，得55(12)
1212(12)(12)
i z i i i i -=
==-++-， 12z i ∴=+.
故选B. 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
9．C
解析：C 【分析】
根据复数模的几何意义，求得题目所给表达式的最大值. 【详解】
1z =表示的复数在单位圆上，而i z -表示的几何意义是单位圆上的点，到()0,1点距
离，由于点()0,1在单位圆上，故最远的距离为直径，单位圆的直径为2，故本小题选C. 【点睛】
本小题主要考查复数模的几何意义，考查化归与转化的数学思想方法，考查圆的几何性质，属于基础题.
10．A
解析：A 【解析】 【分析】
设复数z =x +yi ，结合复数模的定义可得z 对应点的轨迹. 【详解】
设复数z =x +yi ，则：()1z i x y i +=++=
()3z i x y i +=++=结合题意有：()()2
2
2
2
13x y x y ++=++，
整理可得：310--=x y .
即复数z 对应点的轨迹是直线. 故选A . 【点睛】
本题主要考查复数的模的计算公式，复数中的轨迹问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11．A
解析：A 【解析】 【分析】
由题意得到关于m 的方程组，求解方程组即可求得实数m 的值. 【详解】
复数()
()2
11z m m i =--+是纯虚数，则：
()2
10
10m m ⎧-=⎪⎨
-+≠⎪⎩
，据此可得：1m =. 本题选择A 选项. 【点睛】
复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.
12．D
解析：D 【详解】
因为z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，所以z 1·z 2＝(3t －4)＋(4t ＋3)i ， 又z 1·z 2是实数，所以4t ＋3＝0，所以t ＝3
4
-. 故选：D.
二、填空题
13．【分析】根据复数的模利用模长公式得：根据表示动点与原点连线的斜率根据直线与圆相切的性质得到结果【详解】复数的模为1根据表示动点到定点的斜率知：的最大值是同理求得最小值是如图所示：的取值范围是故答案为
解析：[． 【分析】
根据复数的模，利用模长公式得：22(2)1x y -+=，根据y
x
表示动点(,)x y 与原点(0,0)连线的斜率．根据直线与圆相切的性质得到结果． 【详解】
复数(2)(x yi x -+，)y R ∈的模为1，
22(2)1x y ∴-+= 根据
y
x
表示动点(,)x y 到定点(0,0)的斜率知： y x 的最大值是33，同理求得最小值是33-， 如图所示：
∴
y x
的取值范围是3[3
] 故答案为：3[3． 【点睛】
本题考查复数求模，考查直线和圆的位置关系，解答关键是根据复数的模长公式，得到
x ，y 所满足的条件，根据条件作出图形利用数形结合的方法求解．
14．【解析】【分析】由余弦定理可得故【详解】如图在三角形中由余弦定理得同理可得故答案为：【点睛】本题主要考查复数的运算借助于余弦定理是解决问题的关键属中档题 133 【解析】 【分析】
由余弦定理可得12||19Z Z +，12||7Z Z -=12121212||133
||||z z z z z z z z ++==-- 【详解】
如图在三角形OAC 中由余弦定理得2212||||23223cos12019Z Z OB +=+-⨯⨯⨯︒ 同理可得2212||||23223cos607Z Z CA -=+-⨯⨯⨯︒
∴12121212||19133
|
|||7
z z z z z z z z ++===--
故答案为：
133
7
【点睛】
本题主要考查复数的运算，借助于余弦定理是解决问题的关键，属中档题．
15．【分析】由复数得到复数表示的轨迹设即则表示的几何意义是点与原点的连线的斜率再利用直线与圆的位置关系即可求解【详解】由复数可得即复数表示的轨迹为表示以为圆心以为半径的圆设即则表示的几何意义是点与原点的
解析：3,3⎡⎤⎣⎦
【分析】
由复数23z -=z 表示的轨迹22:(2)3C x y -+=，设
y
t x
=，即y tx =，则t 表示的几何意义是点与原点的连线的斜率，再利用直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】
由复数23z -=2
2
22
2(2)(2)z x yi x y -=-+=-+，
即复数z 表示的轨迹为22:(2)3C x y -+=，表示以(2,0)C 3
设
y
t x
=，即y tx =，则t 表示的几何意义是点与原点的连线的斜率， 如图所示，当t 最大时，直线y tx =与圆相切（过一三象限的直线），
则圆心C 到直线y tx =2
231
t t =+3t =±
所以
y
x
的取值范围是[3,3]-， 故答案为[3,3]-.
【点睛】
本题主要考查了复数的几何意义的应用，其中解答中根据复数的几何意义得到复数表示的轨迹，合理利用直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
16．【解析】【分析】先对分母进行化简然后再用复数的除法进行运算【详解】【点睛】本题主要考查复数的乘与除两方面的运算知识需注意公式的准确使用
解析：13
4--
【解析】 【分析】
先对分母()2
3i +进行化简，然后再用复数的除法进行运算。

【详解】
(
)(
)
2
22
13131313123313
4323223213133i i
i i i i i i i i i
i
----+=====--++++-．
【点睛】
本题主要考查复数的乘与除两方面的运算知识，需注意公式的准确使用。

17．2【解析】分析：直接利用复数除法的运算法则化简复数根据实部的定义即可得结果详解：因为复数的实部为解得故答案为点睛：复数是高考中的必考知识主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部虚部的理解掌握纯虚数
解析：2 【解析】
分析：直接利用复数除法的运算法则，化简复数3a i
z i
-=
+，根据实部的定义即可得结果. 详解：因为a R ∈，复数()()()()i 3i i 313i 3i 3i 3i 1010a a a a z ------=
==+++-的实部为1
2
， 311
102
a -∴
=，解得2a =，故答案为2.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
18．【解析】∵z 为纯虚数∴且解得：m=点睛：对于复数当且仅当b=0时复数a+bi(ab ∈R)是实数a ；当b≠0时复数z=a+bi 叫做虚数；当a=0且b≠0时z=bi 叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时z 就是 解析：52
【解析】
∵z 为纯虚数，∴22350m m --=且2230m m --≠，解得：m=52
. 点睛：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R)是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0
19．（1）（2）【解析】试题分析：（1）由复数的定义为实数时虚部为0由此可求得；（2）求得对应点是它在第一象限则横纵坐标均大于0列出不等式组可求得范围试题
解析：（1）
（2）21a -<<-.
【解析】
试题分析：（1）由复数的定义，z 为实数时，虚部为0，由此可求得a ；（2）求得2123(
2)(34)2z z a a i a -=-+--+，对应点是23(3,34)2
a a a ---+，它在第一象限，则横、纵坐标均大于0，列出不等式组，可求得a 范围． 试题
（1）由230a -=，得3a =±
（2）由条件得，2123(2)(34)2
z z a a i a -=-+--+ 因为12z z -在复平面上对应点落在第一象限，故有2320{2340
a a a ->+--> ∴12{241a a a -<<-><-或解
得21a -<<-．
考点：复数的概念，复数的几何意义．
【名师点睛】复数的概念形如a+b i(a ,b ∈R)的数叫做复数,其中a ,b 分别是它的实部和虚部.若b=0,则a+b i 为实数;若b ≠0 ,则a+b i 为虚数;若a=0且b ≠0,则a+b i 为纯虚数.
20．4【解析】试题分析：故答案为4考点：复数的运算
解析：4
【解析】
试题分析：1)(23314i i a bi i a bi a b a b +-=++=+∴==∴+=（
），即，，，，故答案为4．
考点：复数的运算．
三、解答题
21．（1）m ＝3或m ＝﹣2；（2）m≠﹣2，m≠3；（3）1m =-；（4）21m --＜＜
【解析】
【分析】
（1）复数是实数，就是复数的虚部为0求出a 的值； （2）复数是虚数，虚部不为 0，求出m 的值即可； （3）复数是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，求出m 的值即可．（4）对应的点在第三象限．就是实部和虚部都是小于0，求出m 的范围即可．
【详解】
()()22326z m m m m i =+++--
（1）令26=0m m -- ⇒
m ＝3或m ＝﹣2，即m ＝3或m ＝﹣2时，z 为 实数； （2）260m m --≠可得m≠﹣2，m≠3时复数是虚数．
（3）22320160m m m m m ⎧++=⇒=-⎨--≠⎩
；所以复数是纯虚数． （4）若z 所对应点在第三象限则 223202160
m m m m m ⎧++⇒--⎨--⎩＜＜＜＜． 【点睛】
】本题是基础题，考查复数的基本概念，复数的分类，准确计算是关键
22．（1）()2228x y -+=（2）22
0x y
【解析】
【分析】 （1）设w x yi =+，求得1[(1)(3)]2
i z x y x y =--++-，再根据|21|4z i -+=，化简求得22(2)8x y -+=，即可得到答案．
（2）求得过,A B 点切线方程分别为()()1122(2)28,(2)28x x yy x x yy --+=--+=，根据点(0,4)Q 在两条切线上，利用同一法，即可求解．
【详解】
（1）设w x yi =+，
则由(1)2w z i i =-++得21=[(1)(3)i],12
w i z x y x y i --=--++-- ∵复数z 满足|21|4z i -+=，
∴22222|21|(2)(2)2(2)16z i x y x y x y ⎡⎤-+=--++-=-+=⎣⎦，
即22(2)8x y -+=，即w 在复平面上对应点P 的轨迹C 为()2
228x y -+=． （2）设切点()()1122,,,A x y B x y ，
则对应的切线方程分别为()()1122(2)28,(2)28x x yy x x yy --+=--+=， ∵Q （0，4）在两条切线上，()()11222248,2248x y x y ∴--+=--+=，
因此A ，B 两点都在直线2(2)48x y --+=，即AB 为：22
0x y ．
【点睛】
本题主要考查了复数的运算及复数的几何意义的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记复数的运算与几何性质，以及合理利用直线与圆的位置关系的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
23．(1) 34,5z i z =+=.
(2) 1,2a b =-=.
【分析】 ()1利用复数代数形式的运算进行化简求得z ，根据求模公式可得z
()2由()1把z 代入等式，利用复数相等的充要条件可得方程组，解出即可得到答案
【详解】
（1）解：（1）依题意得，
（2）
解得：
【点睛】 本题主要考查了复数代数形式的运算和求模公式，复数相等的充要条件
24．（Ⅰ）3i z =+．（Ⅱ）﹣5＜m ＜1
【解析】
试题分析：(Ⅰ)根据复数的模长公式进行化简即可.(Ⅱ)根据复数的几何意义进行化简求解. 试题
（Ⅰ）∵z a i =+，10z =，
∴2110z a =+=
即29a =，解得3a =±，
又∵0a >，
∴3a =，
∴3z i =+．
（Ⅱ）∵3z i =+，则3z i =-， ∴()()()()
151311122m i i m i m m z i i i i i ++++-+=-+=+--+ 又∵复数1m i z i ++
-（m R ∈）对应的点在第四象限， ∴502{102
m m +>-< 得5{1m m >-< ∴﹣5＜m ＜1
点睛：本题考查的是复数的运算和复数的概念，首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i,(a,b,c ∈R). 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数a+bi(a,b ∈R)的实部为a 、虚部为b
(a,b)、共轭复数为a−bi
25．242z i =+
【解析】
解：1(2)(1)1z i i -+=-⇒12z i =-（4分）
设22,z a i a R =+∈，则12(2)(2)(22)(4)z z i a i a a i =-+=++-， （12分） ∵12z z R ∈，∴242z i =+（12分）
26．12,26.p q =-⎧⎨=⎩
【分析】
由题得2(3＋2i )2＋p (3＋2i )＋q ＝0，再利用复数相等的概念分析求解.
【详解】
因为3＋2i 是方程2x 2＋px ＋q ＝0的根，
所以2(3＋2i )2＋p (3＋2i )＋q ＝0，
即2(9＋12i －4)＋(3p ＋2pi )＋q ＝0，
整理得(10＋3p ＋q )＋(24＋2p )i ＝0，
所以1030,2420,p q p ++=⎧⎨+=⎩
解得12,26.p q =-⎧⎨
=⎩ 【点睛】
结论点睛：复数(,,,)a c a bi c di a b c d R b d =⎧+=+∈⇔⎨=⎩.。