安徽省高考数学一轮复习 5.5数列的综合应用课后自测 理

安徽省2015届高考数学一轮复习 5.5数列的综合应用课后自测
理
(见学生用书第293页)
A 组 基础训练
一、选择题
1．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中连续的三项，则数列{b n }的公比为( )
A. 2 B ．4 C ．2 D.1
2
【解析】 设数列{a n }的公差为d(d≠0)，由a 2
3＝a 1a 7得(a 1＋2d)2
＝a 1(a 1＋6d)，解得a 1
＝2d ，故数列{b n }的公比q ＝a 3a 1＝a 1＋2d a 1＝2a 1
a 1
＝2.
【答案】 C
2．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10
a 7＋a 8＝( )
A ．1＋ 2
B ．1－ 2
C ．3＋2 2
D ．3－2 2
【解析】 设等比数列的公比为q ，由题意知a 3＝a 1＋2a 2，即a 1q 2
＝a 1＋2a 1q ， ∴q 2
－2q －1＝0，解得q ＝1＋2或q ＝1－2(舍去)． ∴a 9＋a 10
a 7＋a 8＝7
＋a 8
2
a 7＋a 8
＝q 2＝(1＋2)2
＝3＋22，故选C.
【答案】 C
3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n≥1，n ∈N *
)，第k 项满足750＜a k ＜900，则k 等于( )
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5
【解析】 由a n ＋1＝3S n 及a n ＝3S n －1(n≥2)， 得a n ＋1－a n ＝3a n ，即a n ＋1＝4a n (n≥2)， 又a 2＝3S 1＝3，
∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13×4
n －2
＝，，
又750＜a k ＜900，验证得k ＝6. 【答案】 C
4．(2014·海淀模拟)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n >0，a 2
n ＋1－a 2
n ＝1(n ∈N *
)，那么使a n <5成立的n 的最大值为( )
A ．4
B ．5
C ．24
D ．25
【解析】 由a 2
n ＋1－a 2
n ＝1(n ∈N *
)知，数列{a 2
n }是首项为1，公差为1的等差数列，则a 2
n ＝1＋(n －1)×1＝n ，由a n <5得n<5，∴n<25，故选C.
【答案】 C
5．(2012·浙江高考)设S n 是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误．．
的是( ) A ．若d<0，则数列{S n }有最大项 B ．若数列{S n }有最大项，则d<0
C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *
，均有S n >0 D ．若对任意n ∈N *
，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列
【解析】 设{a n }的首项为a 1，则S n ＝na 1＋12n(n －1)d ＝d 2n 2＋(a 1－d
2)n.由二次函数性质
知S n 有最大值时，则d<0，故A 、B 正确；因为{S n }为递增数列，则d>0，不妨设a 1＝－1，d ＝2，显然{S n }是递增数列，但S 1＝－1<0，故C 错误；对任意n ∈N *
，S n 均大于0时，a 1>0，d>0，{S n }必是递增数列，D 正确．
【答案】 C 二、填空题
6．从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.
【解析】 设倒n 次后纯酒精与总溶液的体积比为a n ，
则a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，由题意知⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n
<10%，
∴n≥4. 【答案】 4
7．已知数列{a n }为等差数列，公差为d ，若a 11
a 10
<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，则使
得S n <0的n 的最小值为________．
【解析】 根据S n 有最大值知，d<0，则a 10>a 11，由a 11
a 10<－1知，a 10>0>a 11，
且a 11<－a 10即a 10＋a 11<0，从而S 19＝1
＋a 19
2
＝19a 10>0，
S 20＝
1
＋a 20
2
＝10(a 10＋a 11)<0，
则使S n <0的n 的最小值为20. 【答案】 20
8．设曲线y ＝x
n ＋1
(n ∈N *
)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x n ＝________，
令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．
【解析】 ∵y ＝x
n ＋1
，∴y′＝(n ＋1)x n
，
它在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)， 与x 轴交点的横坐标为x n ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，
由a n ＝lg x n 得a n ＝lg n －lg(n ＋1)， 于是a 1＋a 2＋…＋a 99
＝lg 1－lg 2＋lg 2－lg 3＋…＋lg 99－lg 100 ＝lg 1－lg 100＝0－2＝－2. 【答案】
n
n ＋1
－2 三、解答题
9．(2012·重庆高考)已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12. (1)求{a n }的通项公式；
(2)记{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求正整数k 的值．
【解】 (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意知⎩⎪⎨
⎪⎧
2a 1＋2d ＝8，
2a 1＋4d ＝12，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝2，
d ＝2.
所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n ，即a n ＝2n. (2)由(1)可得S n ＝
1
＋a n
2＝＋2
＝n(n ＋1)．
因为a 1，a k ，S k ＋2成等比数列， 所以a 2
k ＝a 1S k ＋2.
从而(2k)2
＝2(k ＋2)(k ＋3)，即k 2
－5k －6＝0， 解得k ＝6或k ＝－1(舍去)，因此k ＝6.
10．(2014·武汉模拟)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.
(1)求第n 年初M 的价值a n 的表达式；
(2)设A n ＝a 1＋a 2＋…＋a n
n ，若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则需在第n 年初对M 更
新．证明：需在第9年初对M 更新．
【解】 (1)当n≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列，a n ＝120－10(n
－1)＝130－10n ；
当n≥7时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为34的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×⎝ ⎛⎭
⎪
⎫34n
－6
.
因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为 a n ＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
130－10n ，n≤6，70×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6，n≥7.
(2)设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n≤6时，S n ＝120n －5n(n －1)，A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ；
当n≥7时，由于S 6＝570，故S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34×4×⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6＝
780－210×⎝ ⎛⎭
⎪⎫34n －6
，A n ＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪
⎫34n －6
n .
因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列，
又A 8＝780－210×⎝ ⎛⎭
⎪
⎫342
8＝824764>80，
A 9＝780－210×⎝ ⎛⎭
⎪
⎫343
9＝767996
<80，
所以需在第9年初对M 更新．
B 组 能力提升
1．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1且a n ，a n ＋1是函数f(x)＝x 2
－b n x ＋2n
的两个零点，则b 10
等于( )
A ．24
B ．32
C ．48
D ．64
【解析】 依题意有a n a n ＋1＝2n
，所以a n ＋1a n ＋2＝2
n ＋1
，两式相除得a n ＋2
a n
＝2.所以a 1，a 3，a 5，…
成等比数列，a 2，a 4，a 6，…也成等比数列，而a 1＝1，a 2＝2.所以a 10＝2·24
＝32，a 11＝1·25
＝32.又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64.
【答案】 D
2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *
)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－5成
立的最小自然数n ＝________.
【解析】 ∵a n ＝log 2n ＋1
n ＋2
＝log 2(n ＋1)－log 2(n ＋2)，
∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝log 22－log 23＋log 23－log 24＋…＋log 2(n ＋1)－log 2(n ＋2)＝1－log 2(n ＋2)，
由S n <－5，得log 2(n ＋2)>6，
即n ＋2>64，∴n>62，∴n 有最小值63. 【答案】 63
图5－5－1
3．(2013·潍坊一模)已知数列{a n }的各项排成如图5－5－1所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成等差数列{b n }，S n 是{b n }的前n 项和，且b 1＝a 1＝1，S 5＝15.
(1)若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知a 9＝16，求a 50的值；
(2)设T n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n ，当m ∈[－1,1]时，对任意n ∈N *，不等式t 2
－2mt －83>T n
恒成立，求t 的取值范围．
【解】 (1)∵{b n }为等差数列，设公差为d ，b 1＝1，S 5＝15， ∴S 5＝5＋10d ＝15，d ＝1. ∴b n ＝1＋(n －1)×1＝n.
设从第3行起，每行的公比都是q ，且q>0，a 9＝b 4q 2,
4q 2
＝16，q ＝2， 1＋2＋3＋…＋9＝45，故a 50是数阵中第10行第5个数， 而a 50＝b 10q 4
＝10×24
＝160. (2)∵S n ＝1＋2＋…＋n ＝＋
2
，
∴T n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1
S 2n
＝2＋
＋
＋
2＋
＋
＋…＋
2＋
＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1
＝2⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1n ＋1－12n ＋1
＝
2n ＋
＋
.
令f(x)＝2x ＋＋(x≥1)， f′(x)＝
2－4x 2
＋
2
＋
2
，
当x≥1时，f′(x)<0，f(x)在[1，＋∞)上为减函数， ∴{T n }为递减数列，{T n }的最大值为T 1＝1
3
.
∴不等式变为t 2
－2mt －3>0恒成立，设g(m)＝－2tm ＋t 2
－3，m ∈[－1,1]，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
－，，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
2t ＋t 2
－3>0，
－2t ＋t 2
－3>0，
解得t>3或t<－3.
即t 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞).。