浙江省台州中学高一下学期期中试题(数学).doc

浙江省台州中学高一下学期期中试题（数学）
一.选择题(每小题3分，共30分) 1．直线03=-x 的倾斜角是( )
A ．045
B ．060
C ．090
D ．不存在
2．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =（ ）
A ．–4
B ．–6
C ．–8
D ．–10
3．设b a ,是非零实数，若b a <，则下列不等式成立的是 ( ) A ．2
2
b a < B ．b a ab 2
2
< C ．
b
a a
b 2211< D ．b a
a b <
4．在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
5．已知某个几何体的三视图如下，可知这个几何体的体积是( ) A ．
34000 B ． 3
8000
C ． 4000
D ． 8000
10 10
视 侧视图
俯视图
6．正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线11BD D A 与所成角是( )
A ．030
B ．045
C ．060
D ．090
7．一个圆柱的轴截面为正方形，其体积与一个球的体积之比是3：2，则这个圆柱的侧面积与这个球的表面积之比为( )
A ． 1:1
B ． 1:2
C ． 2:3
D ． 3:2
8．直线01)1(=+++my x m 与直线010)1()1(=-++-y m x m 垂直，则m 的值为( )
A ．1-
B ．
21 C ．31- D ．1-或2
1 9．设S 是ABC ∆的面积，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin ()sin S A BA BC B <⋅，则 ( )
A ．ABC ∆是钝角三角形
B ．AB
C ∆是锐角三角形
C ．ABC ∆可能为钝角三角形，也可能为锐角三角形
D ．无法判断
10．在ABC ∆中，已知9=⋅，C A B sin cos sin ⋅=，6=∆ABC S ，P 为线段AB 上的一点，且
x =|
||
|CB y CA +，则
y
x 1
1+的最小值为( ) A ．
67 B ．12
7
C ．33127+
D ．3367+
二.填空题(每小题4分，共28分) 11．若关于x 的不等式2
122
x x mx -
+>的解集为{x |0 < x < 2},则m =_____． 12．已知23a b +=，则b a 42+的最小值是 ．
13．在等腰△ABC 中，一腰上的高是3，这高与底边的夹角是600
，则这个三角形的外接圆半径是 ．
14．已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达
到最大值的=n ． 15．已知函数1
0()1
x x f x x x -+<⎧=⎨
-≥⎩，则不等式(1)()1x x f x ++≤的解集是 ．
16．已知数列{}n a 满足11a =， )()4
1(*1N n a a n n n ∈=++，1
2321444-⋅++⋅+⋅+=n n n a a a a S ，
则=-n n
n a S 45 ．
17．如图，在直棱柱111ABC A B C -
中，AC BC ==90ACB ∠=︒，
AA 1=2， E 、F 分别是AC 、AB 的中点，过直线EF 作棱柱的截面，若截面与 平面ABC 所成的二面角的大小为60︒，则截面的面积为 ．
三.解答题(共42分)
18．(本小题共8分) 已知两点(1,2)A -，(,3)B m ．求：
(1)求直线AB 的斜率；
(2)
已知实数1m ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求直线AB 的倾斜角α的范围．
19．(本小题共8分) 在ABC △
中，cos 17A =
3
tan 5
B =． (1)求角
C 的大小；
(2)若ABC △
本小题共8分) 某公司为了加大产品的宣传力度，准备立一块广告牌，在其背面要制作一个形如ABC ∆的
A
E
C B
B 1
A 1
C 1
F
支架，要求60ACB ∠=︒，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米．为节省材料，要求AC 的长度越短越好，求AC 的最短长度，且当AC 最短时，BC 的长度为多少米？
21．(本小题共9分) 如图, ABC ∆中，AB BC AC 22
=
= ， 四边形 ABED 是边长为a 的正方形，平面⊥ABED 平面ABC ，若G 、F
分别是EC 、BD 的中点．
(1) 求证：ABC GF 面//；
(2) 求BD 与平面EBC 所成角的大小； (3) 求几何体EFBC 的体积．
22．(本小题共9分) 数列}{n a 的前n 项和记作n S ，满足
1232-+=n a S n n )(*N n ∈．
(1) 求出数列}{n a 的通项公式； (2) 若)6)(3(31---=+n n n n a n S a b ，求证：6
1
21<+++n b b b ；
(3) 若n
a c n n 33-=，且)6(l o g 1
1121a c c c a
n -<+++
对所有的正整数n 恒成立，求实数a 的取值范
围．
参考答案
一.选择题： CBCBB DADAC
二.填空：
C
A
B
D
E
F
G
11. 1 12. 24 13. 2 14. 5.{}
1x x ≤ 16. n （错位相加） 17. 203或283（对一个给2分） 三.解答题：
18.解：(1) 当1m =-时，直线AB 的斜率不存在，
当1m ≠-时，11
k m =+ (2) 当1m =-时，2
π
α=
当1m ≠-
时，
(
1,,13k m ⎫=∈-∞⋃+∞⎪⎪+⎣⎭
，则2,,6223ππππα⎡⎫⎛⎤∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ 综上，2,63ππα⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
19.解：(1)
π()C A B =-+
，cos A =
1
tan 4
A ∴=tan tan()C A
B ∴=-+=
13
45113145
+-
=--⨯．又0πC <<，3π4C ∴=； (2) 34C =π，AB
∴边最大，即AB =tan tan 0A B A B π⎛⎫
<∈ ⎪2⎝⎭
，，，，
∴角A 最小，BC
边为最小边
．
cos A =
，∴
sin A =．由s i n s i n
A B B C
C A =得： 2sin sin =⋅
=C
A
AB
BC ，所以，最小边BC = ：设BC x =(1)x >米，AC 的长度为y 米，则AB =y -0.5，在ABC ∆中， 由余弦定理得，
()2220.52cos60y y x yx -=+-︒ ，因此()21411
x y x x -
=>-
2134(1)2214(1)x y x x x -
=
=-++≥+--当且仅当314(1)x x -=-
即1x =时，y
有最小值2+. 21．(1)证明：连EA 交BD 于F ， ∵ F 是正方形ABDE 对角线BD 的中点 ∴F 是EA 的中点 ∴ FG //AC
又FG ⊄平面ABC ， AC ⊂平面ABC ∴FG//平面ABC
(2)又∵ 面ABED ⊥面ABC ，BE ⊥AB ∴BE ⊥AC
又∵2
AC BC AB ==
， ∴BC ⊥AC
∴AC ⊥面EBC
C
A
B D
E
F G
由(1)知，FG //AC ∴FG ⊥面EBC
∴∠FBG 就是线BD 与面EBC 所成的角
又2221a BD BF ==
,4221a AC FG ==，2
1sin ==∠BF FG FBG ∴︒=∠30FBG
(3)24
2221222131313
a a a a FG S V V EBC EBC F EFBC =⋅⋅⋅⋅⋅=⋅==∆-
22．解：(1)：1232-+=n a S n n
12)1(3211--+=--n a S n n (2≥n )
作差得到：3)(21+-=-n n n a a a 即0321=+--n n a a 所以)3(2)3(1-=--n n a a 且91=a ，
所以1
26)3(-⋅=-n n a
所以323+⋅=n
n a )(*
N n ∈
(2)⎪⎭
⎫
⎝⎛---=--=++12112161)12)(12(621
1n n n n n n b ⎪⎭
⎫
⎝⎛---++---+---=++++121121121121121121611322121n n n b b b
6
11211216111<⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+n (3) n n a c n n n 233=-= 令n n n n
c c c T 2
2221111221+++=+++=
错位相减得 n
n n T 22
2+-= 2<∴n T
)6(log a T a n -<对所有的正整数n 恒成立
即2log )
6(≤-a a
当10<<a 时，26a a ≤-，32-≤≥∴a a 或
当61<<a 时，2
6a a ≥-，23≤≤-∴a 综上，21≤<a。