2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第十六章选修4 第17课 极坐标与参数方程的应用

____第17课__极坐标与参数方程的应用____
1. 理解并掌握一些简单图形(过极点的直线、过极点的圆、圆心在极点的圆等)的极坐标方
1. 阅读：选修44第18～24页，第47～49页．
基础诊断
1. 将参数方程⎩⎨⎧x ＝sin α，y ＝cos α＋1(α为参数)化为普通方程为________________．
2. 圆ρ＝3cos θ被直线⎩⎨⎧x ＝2＋2t ，
y ＝1＋4t (t 为参数)截得的弦长为________．
3. 圆锥曲线⎩
⎨⎧x ＝t 2
，
y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．
4. 在极坐标系中，直线ρcos θ＋ρsin θ＝a(a>0)与圆ρ＝2cos θ相切，则a ＝________．
范例导航
考向
直线与圆的极坐标方程与直角坐标方程的
例1
在平面直角坐标系Oy 中，已知直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1－2
2t ，
y ＝2＋2
2t
(t 为参数)，
直线l 与抛物线y 2＝4相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．
在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝42cos (θ－π
4
)，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建
立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩
⎨⎧x ＝t ＋1，
y ＝t －1(t 为参数)，求直线l 被圆C 截得的弦AB 的
长度．
考向
⎩y ＝sin α标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ＋π4＝2 2.
(1) 写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；
(2) 设点P 在曲线C 1上，点Q 在直线C 2上，求PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标．
在平面直角坐标系Oy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，
y ＝sin θ(θ是参数)，直线l 的参数方程
为⎩
⎨⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 是参数)．
(1) 若a ＝－1，求曲线C 与直线l 的交点坐标；
(2) 若曲线C 上的点到直线l 距离的最大值为17，求a 的值．
考向
例3 在平面直角坐标系Oy 中，设动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎨y ＝2sin θ
(θ为参数)
上，且这两点对应的参数分别为θ＝α，θ＝2α(0<α<2π)，设PQ 的中点M 与定点A(1，0)间的距离为d ，求d 的取值范围．
自测反馈
1. 在极坐标系中，直线4ρcos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫
θ－π6＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的公共点的个数为________．
2. 已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
θ－π6，则它的直角坐标方程为______________．
3. 在平面直角坐标系Oy 中，过椭圆⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的左焦点与直线⎩⎨⎧x ＝1＋t ，
y ＝－4＋2t
(t 为
参数)垂直的直线方程为________．
4. 设直线l 1的参数方程为⎩
⎨⎧x ＝1＋t ，
y ＝a ＋3t (t 为参数)以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立
极坐标系得到另一直线l 2的方程为ρsin θ－3ρcos θ＋4＝0，若直线l 1与l 2之间的距离为10，则实数a 的值为________．
1. 求解与极坐标有关的问题，主要有两种方法：一是直接利用极坐标求解，求解时可与数形结合的思想一起应用；二是转化为直角坐标后，用直角坐标求解．使用后一种方法时应注意，若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．
2. 参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，不要忘了参数的范围．
3. 总结参数方程求解的思路：
第17课 极坐标与参数方程的应用
基础诊断
1. 2
＋(y －1)2
＝1(－1≤≤1) 解析：由题意得⎩⎨⎧sin α＝x ，
cos α＝y －1
(α为参数)，所以2＋(y －1)2＝1，即
该参数方程化为普通方程为2＋(y －1)2＝1且－1≤≤1.
2. 3 解析：圆ρ＝3cos θ化为直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝9
4.将直线⎩
⎨⎧x ＝2＋2t ，y ＝1＋4t (t 为参数)代
入⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －322＋y 2＝9
4得20t 2＋10t －1＝0，则t 1＋t 2＝－12，t 1t 2＝－120，所以(t 1－t 2)2＝920，故直线截得
的弦长为20（t 1－t 2）2＝3.
3. (1，0) 解析：由题意得曲线参数方程⎩⎨⎧x ＝t 2
①，
y ＝2t ②
(t 为参数)，将②两边平方得y 2＝4t 2.又
因为＝t 2，所以该曲线的普通方程为y 2＝4，故焦点为(1，0)．
4 1＋ 2 解析：圆ρ＝2cos θ，转化成ρ2＝2ρcos θ，
进一步转化成直角坐标方程为(－1)2＋y 2＝1，把直线ρ cos θ＋ρ sin θ＝a 的方程转化成直角坐标方程为＋y －a ＝0.由于直线和圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，所以 |1－a|2＝1，
且a>0，故a ＝1＋ 2.
范例导航
例1 解析：直线l 的普通方程为＋y ＝3， 代入抛物线y 2＝4并整理得2－10＋9＝0，
解得＝1或＝9，所以交点A(1，2)，B(9，－6)，故AB ＝8 2.
解析：圆C 的直角坐标方程为2＋y 2－4－4y ＝0，即(－2)2＋(y －2)2＝8，圆心C(2，2)，半径r ＝22，
直线l 的普通方程为－y －2＝0. 圆心到直线l 的距离d ＝
2
2
＝2， 所以弦长AB ＝2r 2－d 2＝2 6.
例2 解析：(1) 曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，
y ＝sin α
(α是参数)，化为普通方程，即有椭圆
C 1：x 23
＋y 2
＝1.
曲线C 2的极坐标方程为ρ sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ＋π4＝22，
可得
22ρ sin θ＋2
2
ρ cos θ＝22， 即直线C 2的直角坐标方程为＋y －4＝0.
(2) 由题意可得当直线＋y －4＝0的平行线与椭圆相切时，PQ 取得最值． 设与直线＋y －4＝0平行的直线方程为＋y ＋t ＝0，
联立⎩⎨⎧x 2
＋3y 2
＝3，x ＋y ＋t ＝0，
可得42＋6t ＋3t 2－3＝0，
由直线与椭圆相切，得Δ＝36t 2－16(3t 2－3)＝0， 解得t ＝±2，
显然当t ＝－2时，PQ 取得最小值，即有PQ min ＝2， 此时42－12＋9＝0，解得＝3
2
，
故此时点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，12.
【注】 (1) 运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C 1的普通方程，运用＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，以及两角和的正弦公式，化简可得C 2的直角坐标方程．
(2) 由题意可得当直线＋y －4＝0的平行线与椭圆相切时，PQ 取得最值．设与直线＋y －4＝0平行的直线方程为＋y ＋t ＝0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t ，再由平行线的距离公式，可得PQ 的最小值，解方程可得点P 的直角坐标．
解析：(1) 曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，
y ＝sin θ(θ为参数)，化为普通方程是x 29＋y 2＝1.
当a ＝－1时，直线l 的参数方程化为普通方程是＋4y －3＝0.
联立方程⎩⎨⎧x ＋4y －3＝0，
x 2
9
＋y 2
＝1，
解得⎩
⎨⎧x ＝3，y ＝0或⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－21
25，
y ＝2425
，
所以椭圆C 和直线l 的交点为(3，0)和⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－2125，2425.
(2) 直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝a ＋4t ，
y ＝1－t
(t 为参数)化为普通方程是＋4y －a －4＝0，
椭圆C 上的任意一点P 可以表示成P(3cos θ，sin θ)，θ∈[0，2π)， 所以点P 到直线l 的距离d 为
d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17＝|5sin （θ＋φ）－a －4|17，其中，φ满足tan φ＝34，且d 的最大值为
17.
①当－a －4≤0，即a ≥－4时，
|5sin (θ＋φ)－a －4|≤|－5－a －4|＝5＋a ＋4＝17，解得a ＝8≥－4，符合题意； ②当－a －4>0，即a<－4时，
|5sin (θ＋φ)－a －4|≤|5－a －4|＝5－a －4＝1－a ＝17，解得a ＝－16<－4，符合题意． 综上所述，a 的值为8或－16.
【注】 (1) 将曲线C 的参数方程化为普通方程，直线l 的参数方程化为普通方程，联立两方程可以求得交点坐标．
(2) 曲线C 上的点可以表示成P(3cos θ，sin θ)，θ∈[0，2π)，运用点到直线距离公式可以表示出点P 到直线l 的距离，再结合距离最大值为17进行分析，可以求出a 的值．
本题主要考查曲线的参数方程、点到直线距离和三角函数的最值，难点在于如何根据曲线C 上的点到直线l 距离的最大值求出a.
例3 解析：由题设知点P(1＋2cos α，2sin α)，Q(1＋2cos 2α，2sin 2α)， 于是PQ 中点M(1＋cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)． 从而d 2＝MA 2＝(cos α＋cos 2α)2＋(sin α＋sin 2α)2＝2＋2cos α. 因为0<α<2π，所以－1≤cos α<1， 于是0≤d 2<4，故d 的取值范围是[0，2)． 备用题
已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1
t ，
y ＝3⎝ ⎛⎭
⎪⎫t ＋1t (t 为参数，t>0)，求曲线C 的普通方程．
解析：因为2
＝t ＋1t －2，所以2
＋2＝t ＋1t ＝y 3
，
故曲线C 的普通方程为32－y ＋6＝0.
自测反馈
1. 2 解析：直线4ρcos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫
θ－π6＋1＝0化为直角坐标方程为23＋2y ＋1＝0.圆ρ＝2sin θ化为
直角坐标方程2＋y 2＝2y ，即2＋(y －1)2＝1.所以圆心C(0，1)到直线的距离d ＝3
4<1＝R ，所以直线
4ρcos (θ－π
6
)＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的公共点的个数为2.
2. (＋1)2
＋(y －3)2
＝4 解析：曲线C ：ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ－π6化为ρ2＝23ρsin θ－2ρcos θ，化为
直角坐标方程为(＋1)2＋(y －3)2＝4.
3. ＋2y ＋4＝0 解析：椭圆⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)化为x 225＋y 29＝1，直线⎩⎨⎧x ＝1＋t ，
y ＝－4＋2t (t 为参
数)化为2－y －6＝0.由此可得椭圆左焦点为(－4，0)，令过点(－4，0)且与该直线垂直的直线为
＋2y ＋c ＝0，将点(－4，0)代入得c ＝4，故过点(－4，0)与直线⎩⎨⎧x ＝1＋t ，
y ＝－4＋2t
(t 为参数)垂直的直线
方程为＋2y ＋4＝0.
4. 9或－11 解析：直线l 1：⎩
⎨⎧x ＝1＋t ，
y ＝a ＋3t (t 为参数)化为普通方程为3－y ＋a －3＝0，直线l 2：
ρsin θ－3ρcos θ＋4＝0，化为直角坐标方程为－3＋y ＋4＝0，即这两条直线平行，故l 1与l 2间的距离为d ＝|a ＋1|
10＝10，解得a ＝9或a ＝－11.。