江苏省东海高级中学高三数学练习(向量专题②)

江苏省东海高级中学高三数学练习（向量专题②）
一 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 在每小题的四个选项中，有且
只有一项是符合题目要求的 请将正确答案前的字母填在题后的括号内
已知向量||),15sin ,15(cos ),75sin ,75(cos b a b a -==那么
的值是 （ ）
A ．
2
1 B ．
2
2 C ．
2
3 D ．1
2．已知点A （2，3） B （10，5），直线AB 上一点P 满足|PA|=2|PB|，则P 点坐标是（ ）
A ．2213,33⎛⎫
⎪⎝⎭ B （18，7） C 2213,33⎛⎫
⎪⎝⎭
或（18，7） D （18，7）或（－6，1） 3．若向量),sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==则b a 与一定满足 （ ）
A b a 与的夹角等于βα-
B )(+⊥)(-
C a ∥b
D a ⊥b
4．已知△ABC 的三个顶点的A B C 及平面内一点P 满足AB PC PB PA =++，下列
结论中正确的是
（ ）
A ．P 在△ABC 内部
B ．P 在△AB
C 外部
C ．P 在AB 边所在直线上
D ．P 是AC 边的一个三等分点
5．已知函数cos 223y x π⎛
⎫
=-+
+ ⎪⎝
⎭
，按向量平移所得图象的解析式为()y f x =，当()y f x =为奇函数时，向量可以是
（ ）
（A ）,26π⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
（B ）,212π⎛⎫-
- ⎪⎝⎭ （C ）,26π⎛⎫
⎪⎝⎭ （D ）,212π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
6．若|a-b|=32041-,|a |=4,|b |=5，则向量a ·b = （ ） A 103 B -103 C 102 D 10
7．若平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则第4个顶点D 的坐标是（ ）
A (2a,b)
B (a-b,a+b)
C (a+b,b-a)
D (a-b,b-a)
8．△ABC 的三边长分别为AB=7，BC=5，CA=6，则⋅的值为 （ ）
（A ）19
（B ）－19
（C ）－18
（D ）－14
9．在△ABC 中，有命题①→AB －→AC =→BC ；②→AB ＋→BC ＋→CA =→0；③若(→AB ＋→AC )⋅(→AB －→
AC )=0，则
△ABC 是等腰三角形；④若→AB ⋅→
AC >0，则△ABC 为锐角三角形．上述命题正确的是（ ） A ．①② B ．①④ C ．②③ D ．②③④
10．已知平面上直线l 的方向向量→
e =(－45，35
)，点O(0，0)和A(1，－2)在l 上的射影分
别是O '和A '，则→O 'A '=λ→
e ，其中λ= （ ） A ．115 B ．－11
5
C ．2
D ．－2
11．已知向量→a =(cos θ，sin θ),向量→b =(3，－1）则|2→a －→
b |的最大值，最小值分别是
A ． 42，0
B ．4，4 2
C ．16，0
D ．4，0 （ ）
12．已知 为两个非零向量，有以下命题：①2
a =2
b ，②·=2
b ，③|| =||
且∥ 其中可以作为=的必要但不充分条件的命题是 （ ） A ．② B ．①③ C ．②③ D ．①②③
二 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 把答案填在题中的横线上
13．已知点A （2，0） B （4，0），动点P 在直线y=x 上，使得·取得最小值的
点P 的坐标是
14．已知向量321,,op op op 满足条件321=++op op op ，且|1op |=1||||32==op op ，则△P 1P 2P 3为 ；
若向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,则向量a 的模
为 ;
16．设),,0(),0,1(),sin ,cos 1(),sin ,cos 1(παββαα∈=-=+=)2,(ππβ∈，与c 的夹角1θ，b 与c 的夹角为θ2，且6
21π
θθ=
-，则4
sin
β
α-的值为
三 解答题：本大题共6小题，共74分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（本小题满分12分）设1e ，2e 是两个垂直的单位向量，
且)2(21e e +-=,21e e λ-= （Ⅰ）若∥，求λ的值； （Ⅱ）若a ⊥b ，求λ的值
18 已知点A B C 的坐标分别为A （3，0），B （0，3），C （cos α，sin α），α
∈(2
3,2π
π
（Ⅰ）若||||AC CB =，求角α的值；（Ⅱ）若AC CB ⋅=－1，求a
a
a tan 12sin sin 22++的值
19．（本小题满分12分）已知A （－1，0），B （1，0）两点，C 点在直线032=-x 上，且
⋅⋅,，BC BA ⋅成等差数列，记θ为CB CA 与的夹角，求tan θ
20 （本小题满分12分）已知C B A ∠∠∠、、为ABC ∆的三个内角，且
(
)22,sin 2cos 22cos2f A B A B A B =+-+ （1）当()B A f ,取得最小值时，求C ∠的度数； （2）当2
π
=
+B A 时，将函数()B A f ,按向量P 平移后得到函数()A A f 2cos 2=，
求向量
21 本小题满分12分）如图，在Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为
中点，问与的夹角θ取何值时⋅的值最大？并求出这个最大值
22 （本小题满分14分）
已知向量a ＝(cos
23x ，sin 23x )，b ＝(2
sin 2cos x
x -，)，且x ∈[0，2π]．若f (x )＝
a ·
b －2λ｜a ＋b ｜的最小值是2
3
－，求λ的值．
A
参考答案
一 二 13．（
23，23） 14 正三角形 15 6 16 2
1
- 三 解答题
17 （Ⅰ）∵a ∥b ∴a =m b 即21212e m e m e e λ-=--
∴⎩⎨
⎧-=-
=-λ
m m 12解得：m=-2， 21
-=λ
（Ⅱ）∵⊥， ∴·=0，0)()2(2121=-⋅--e e e e λ
即0222
2
12211=+⋅-⋅+-e e e e e e λλ -2+λ=0 ∴2=λ
18．解：（Ⅰ）∵AC =(cosa －3, sina), BC =(cosa, sina －3)
∴∣AC ∣=a a sin )3(cos 22=+-∣BC ∣
=a a a sin 610)3sin (cos 22-=-+ 由∣AC ∣=∣BC ∣得sina=cosa 又∵a )23,
2(
ππ∈，∴4
（Ⅱ）由AC ·BC =－1,得(cosa －3)cosa+sina (sina －3)=－1
∵3
① 又
a a a a
a a a
a a cos sin 2cos sin 1cos sin 2sin 2tan 12sin sin 222=+
+=++ 由①式两边平方得1+2sinacosa=9
4
,
∴2sinacosa=9
5
-, ∴
9tan 12sin sin 22=++a a a 19．解：a · b x x x x x 2cos 21
sin 23sin 21cos 23cos
=-=
2分 | a b +||cos |22cos 22)2
1
sin 23(sin )21cos 23(cos 22x x x x x x =+=-++=
→ → → → →
]2
0[π
，∈x ∴cos x ≥0，因此| a b + |＝2 cos x
∴f (x )＝a · b －2λ｜a b +｜即2221)(cos 2)(λλ---=x x f
6分
]2
0[π
，∈x ∴0≤cos x ≤1 ①若λ＜0，则当且仅当cos x ＝0时，f (x )取得最小值－1，这与已知矛盾； 8分 ②若0≤λ≤1，则当且仅当cos x ＝λ时，f (x )取得最小值221λ--，
由已知得23212-=--λ，解得：2
1
=λ 10分
③若λ＞1，则当且仅当cos x ＝1时，f (x )取得最小值λ41-，
由已知得2341-=-λ，解得：85
=λ，这与1>λ相矛盾．
综上所述，2
1
=λ为所求．
20 （1）解：()1212cos 232sin ,2
2
+⎪⎭⎫
⎝
⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=B A B A f ，当()B A f ,最小时， 2
1
2cos ,232sin ==
B A ︒=∠∴30A 或60°，︒=∠∴︒=∠120,30
C B 或90° （2）解：A B -=
2
π
，()()()22cos 2sin 32cos 2sin ,22+----+=A A A A B A f ππ
3
32cos 232sin 32cos 22cos 2sin 32cos 2sin 22+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=+-=++-+=πA A A A A A A 设()b a ,=，()A b a A 2cos 2332cos 2=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-π， 3,6-==∴b a π⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∴3,6π 21
)
()(,,,.
0,:AC AB AC AB -⋅-=⋅∴-=-=-==⋅∴⊥
.cos 2
1
21
)
(222222θa a BC
PQ a a a a AC AB AQ AB AC AP AQ AP +-=⋅+-=⋅+
-=-⋅--=⋅+⋅--=⋅+⋅-⋅-⋅=
.0.,)(0,1cos 其最大值为最大时方向相同与即故当⋅==θθ
22 ∵b k a b a k
-=+3 两边平方，得223b k a b a k -=+
∴)b k b a k 2a (3b a k 2b a k 222222
+∙-=∙++
即：a
∙b =k
b k a k 8)13()3(2
222 -+-
∵)sin ,(cos αα=a
，)sin ,(cos ββ=b ，∴12=a ，12=b
∴a ∙b =k
k 412+
（2）∵k>0，∴0)1(2
≥-k ，从而k k 212
≥+，
2
1
42412≥≥+k k k k ， ∴a ∙b 的最小值为2
1
，
此时2
1cos =∙=b a b a θ，︒
=60θ，即a 与b 夹角为︒60。