高中数学 2.6《函数的单调性1》教案 苏教版必修1

第六课时 函数的单调性（1） 【学习导航】
知识网络
学习要求
1．理解函数单调性概念；
2．掌握判断函数单调性的方法，会证明一些简单函数在某个区间上的单调性；
3．提高观察、抽象的能力．；
自学评价
1．单调增函数的定义：
一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆．
如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()y f x =在区间I 上是单调增 函数，I 称为()y f x =的单调 增 区间．
注意：⑴“任意”、“都有”等关键词；
⑵.单调性、单调区间是有区别的；
2．单调减函数的定义：
一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆．
如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说()y f x =在区间I 上是单调 减函数，I 称为()y f x =的单调 减 区间．
3．函数图像与单调性：函数在单调增区间上的图像是 上升 图像；而函数在其单调减区间上的图像是 下降 的图像。

（填＂上升＂或＂下降＂）
4．函数单调性证明的步骤：
（1） 根据题意在区间上设12x x <；
（2） 比较12(),()f x f x 大小 ；
(3) 下结论＂函数在某个区间上是单调增（或减）函数＂ .
【精典X 例】
一．根据函数图像写单调区间：
例1：画出下列函数图象，并写出单调区间．
（1）2
2y x =-+； （2）1y x
=
； （3）21, 0()22, 0x x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩．
【解】
（图略）
（１）函数22y x =-+的单调增区间为(,0)-∞，单调减区间为(0,)+∞； （２）函数1y x
=
在(,0)-∞和(0,)+∞上分别单调减，即其有两个单调减区间分别是(,0)-∞和(0,)+∞． （３）函数21, 0()22, 0
x x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩在实数集R 上是减函数；
二．证明函数的单调性：
例2：求证：函数f(x)=－x 3+1在区间(－∞,+∞)上是单调减函数
证明：设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)=－x 13+1+x 23－1
=(x 2－x 1)(x 22+x 1x 2+x 12)
因为x 2>x 1，x 22+x 1x 2+x 12>0
所以f(x 1)－f(x 2)>0即
f(x 1)>f(x 2)
所以f(x)在(－∞,+∞)上递减
追踪训练一
1. 函数1
11--=x y (C) ()A 在(1,)-+∞内单调递增
()B 在(1,)-+∞内单调递减
()C 在(1,)+∞内单调递增
()D 在(1,)+∞内单调递减
2. 函数822+--=x x y 的单调增区间为(4,1)--．.
3. 求证：1()f x x x =+
在区间(0,1)上是减函数． 证明：设1201x x <<<，则
21120,01x x x x -><<
∴21()()f x f x -
2121
2121212112122112
11()()11()(
)()()(1)()0x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+-+=-+--=--
-=-< 即21()()f x f x < 故1()f x x x
=+在区间(0,1)上是减函数． 【选修延伸】
如果一个函数有两个单调区间，两个区间一般不取并集：
例３:函数1y x
=在其定义域(,0)(0,)-∞+∞上是减函数吗？ 分析：单调区间的判断目前只有通过定义进行说明，如果要说明这个命题是真命题时我们要
给出严格的定义证明，而如果要说明这个命题是假命题，我们只要举一组不满足定义的12,x x ，并加以说明．
【解】
该命题是假命题；例如121,1x x =-=时，12()1,()1f x f x =-=，显然12x x <且
12()()f x f x <，所以＂函数1y x
=在其定义域(,0)(0,)-∞+∞上是减函数＂是不成立的．
点评:
1．单调区间是函数定义域的子集，所以，求函数的单调区间，必须注意函数的定义域；
2．单调区间是单调增区间和单调减区间的统称，所以，求函数的单调区间时，如果函数既有单调增区间，又有单调减区间，必须分别写出来。

思维点拔：
一、利用图像写函数的单调区间？
我们只要画出函数的草图，在草图上要能够反映函数图像的上升和下降，根据图像上升的区间就是函数的单调增区间，图像下降的区间就是函数的单调减区间．
追踪训练
1．函数y ＝3x －2x 2＋1的单调递增区间是
（B ）
A (]
B [)
C (]
D [)．－∞，．，＋∞．－∞，－．－，＋∞34
3434
34 2. 若函数()f x 是R 上的增函数，对于实数,a b ，若0a b +>，则有(A ) ()
A ()()()()f a f b f a f b +>-+- ()
B ()()()()f a f b f a f b +<-+- ()
C ()()()()f a f b f a f b ->--- ()
D ()()()()f a f b f a f b -<---
3.函数f(x ＋1)＝x 2－2x ＋1的定义域是[2,0]-，则f(x)的单调递减区间是__[1,1]-______．
4. 函数y=⎩⎨⎧<--≥+0
101，x x ，x x 的单调减区间为(－∞，0).
5．讨论函数21)(++=
x ax x f )21(≠a 在),2(+∞-上的单调性. 解：1()2
ax f x x +=+ 21221212ax a a
x a x ++-=
+-=++ 设122x x -<<，则
2121(2)(2)0,0x x x x -->->
∴21()()f x f x -
211221121222
()(12)(2)(2)
a a x x x x a x x --=----=--- ∵1221()0(2)(2)
x x x x -<-- 当12
a <时，21()()f x f x <，此时函数21)(++=x ax x f )21(≠a 在),2(+∞-上是单调减函数； 当12
a >时，21()()f x f x >，此时函数21)(++=x ax x f )2
1(≠a 在),2(+∞-上是单调增函数；
第6课 函数的单调性(1)
分层训练
1．函数y=x 2+x+2单调减区间是( )
A 、1[,)2-+∞
B 、（-1，+∞）
C 、1(,]2
-∞-D 、（-∞，+∞）
2．下面说法正确的选项（ ）
A ．函数的单调区间可以是函数的定义域
B ．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间
C ．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称
D ．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象
3．函数f(x)=2x 2－mx+3,当x ∈[2,)-+∞时,增函数,当x ∈(]2,-∞-时,是减函数, 则f （1）等于
（ ）
A ．－3
B ．13
C ．7
D ．由m 而定的其它常数 考试热点
4．已知函数f(x)是R 上的增函数,A(0,－1)、B((3,1)是其图象上的两点,那么|f(x+1)|
<1的解集的补集是（ ）
A ．(－1,2)
B ．(1,4)
C ．(－∞,－1]∪[4,+ ∞)
D ．(－∞,－1]∪[2,+ ∞)
5．在区间)0,(-∞上为增函数的是（）
A ．1=y
B ．21+-=
x x y C ．122---=x x y
D ．21x y +=
6．设)(x f 为定义在R 上的减函数，且0)(>x f ，则下列函数：
○1)(23x f y -=；○2)
(11x f y +=；○3)(2x f y =；○4)(2x f y += 其中为R 上的增函数的序号是.
7．讨论函数f(x) =
1
2-x ax 在(－1,1)上的单调性.
8．己知a,b,c ∈R,且a<0,6a+b<0.设f(x)=ax 2+bx+c,试比较f(3)、与f(π)的大小.
拓展延伸
9．判断函数)(x f =x 2-2a x +3在(-2,2)内的单调性.
10．函数f(x)是定义在( 0 ,+ ∞)上的增函数 ,且 f(
y x ) = f(x) － f(y)， ①求f （1）的值.
②若f （6） = 1,解不等式 f( x+3 )－ f(
x
1) <2 .。