湖北省沙市中学2015-2016学年高二下学期第一次半月考数学(文)试卷(无答案)

2015—2016学年下学期高二年级
第一次半月考文数试卷
考试时间：2016年3月4日
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）。

1.一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，一学生到达该路口时，见到红灯的概率是( )
A ．
25 B ．58 C ．1
15
D ．3
5
2.已知命题:p ,x R ∃∈使23x x >；命题:(0,
),tan sin 2
q x x x π
∀∈>，下列是真命题的是
A.()p q ⌝∧
B.()()p q ⌝∨⌝
C.()p q ∧⌝
D.()p q ∨⌝
3. “2a =-”是“直线1:30l ax y -+=与2:2(1)40l x a y -++=互相平行”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4.将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b ，c ，则方程
20x bx c ++=有实根的概率为( )
A ．
1736
B ．
12 C ．59
D ．
19
36
5.执行如图所示的程序框图，如果输入30m =，18n =，则输出的
m 的值为 ( )
A ．0
B ．6
C ．12
D ．18
6. 已知函数()f x 的导数为'()f x ，且满足关系式 2
()3'(2)ln f x x xf x =++，则'(2)f =（ ） A ．2- B ．2 C ．94-
D ．94
7.已知椭圆
22
1x y m n +=与双曲线221x y p q
-=（,,,m n p q 均为正数）有共同的焦点1F ，2F ，
P 是两曲线的一个公共交点．则12PF PF ⋅的值是( )
A ．22p m -
B ．p m -
C ．m p -
D ．22m p -
8. 1F ，2F 是双曲线的两个焦点，Q 是双曲线上任一点，从焦点1F 引12FQF ∠的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹为( )
A.直线
B.圆
C.椭圆
D.双曲线
9.若函数()sin f x x kx =-存在极值，则实数k 的取值范围是( )
A ．(1,1)-
B ．[0,1)
C ．(1,)+∞
D ．(,1)-∞-
10.如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm ）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为( )
A ．20
B ．25
C ．22.5
D ．22.75
11.已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，若其渐近线与圆2
2
430x y y +-+=相切，则此双曲线的离心率等于( )
A ．
1
2
B C D ．2 12.已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线2
4y x =上一动点P 到直线1l 和直
线2l 的距离之和的最小值是( )
A B ．2 C ．
11
5
D ．3
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）。

13由命题“存在x R ∈，使220x x m ++≤”是假命题，则实数m 的取值范围为_____________
14.函数2
()(1)x
f x x x e =++（x R ∈）的单调减区间为 ．
15.变量x ，y 满足条件1011x y y x -+≤⎧⎪≤⎨⎪>-⎩
，则22
(2)x y -+的最小值为_________
16.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>
，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 交
椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为1k ，2k ，若点A ，B 关于原点对称，则12k k ⋅的值为___________
三、解答题（共70分）。

17.（10分）设函数3
()65f x x x =-+，x R ∈. (1)求函数()f x 的单调区间和极值；
(2)若关于x 的方程()f x a =有三个不同的实根，求实数a 的取值范围.
18.（12分）求下列函数的导数：（1）sin ()1sin x
f x x
=+；（2）()tan f x x x =⋅。

19. （12分）如图，直线:l y x b =+与抛物线2
:4C x y =相切于点A ． （Ⅰ）求实数b 的值；
（Ⅱ）求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．
20.（12分）某市一水电站的年发电量y （单位：亿千瓦时）与该市的年降雨量x （单位：毫米）有如下统计数据：
（Ⅰ）若从统计的5年中任取2年，求这2年的发电量都低于8.0（亿千瓦时）的概率； （Ⅱ）由表中数据求得线性回归方程为0.004y x a =+．该水电站计划的发电量不低于9.0亿千瓦时，现由气象部门获悉的降雨量约为1800毫米，请你预测能否完成发电任务，若不能，缺口约为多少亿千瓦时？
21.（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =
的一个顶点与椭圆两焦点构成的三角形面积为 （I ）求椭圆的方程； （Ⅱ）直线1
2
y x m =
+与椭圆交于A ，B 两点，求OAB ∆面积的最大值．
22.（12分）已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，其焦点与双曲线2
2
:12
y C x -=的焦点重合，
且椭圆E 的短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）过双曲线C 的右顶点A 作直线l 与椭圆E 交于不同的两点P 、Q ，设点(4,3)M ，记直线PM 、QM 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +为定值，求出此定值．
试卷答案
1.A
2.D
3.A
4. C
5.D
6.C
7.C
8.B
9.A 10.C
11.D
12.B
13.（1，+∞） 14.（﹣2，﹣1）（或闭区间） 15.5 16. 17.
18.（1）2
cos '()(1sin )x f x x =
+；（2）2sin cos '()cos x x x
f x x +=
19.解：（I ）由
，消去y 得：x 2﹣4x ﹣4b=0①， 因为直线l 与抛物线C 相切，
所以△=（﹣4）2﹣4×（﹣4b ）=0， 解得b=﹣1；
（II ）由（I ）可知b=﹣1， 把b=﹣1代入①得：x 2﹣4x+4=0， 解得x=2，代入抛物线方程x 2=4y ，得y=1， 故点A 的坐标为（2，1），
因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y=﹣1的距离，
即r=|1﹣（﹣1）|=2， 所以圆A 的方程为：（x ﹣2）2
+（y ﹣1）2
=4．
20.解：（ I ）从统计的5年发电量中任取2年的基本事件为（7.4，7.0），（7.4，9.2），（7.4，7.9），（7.4，10.0），（7.0，9. 2），（7.0，7.9），（7.0，10.0），（9.2，7.9），（9.2，10.0），（7.9，10.0）共10个．
其中2年发电量都低于8. 0（亿千瓦时）的基本事件为（7.4，7.0），（7.4，7.9），（7.0，7.9），共3个．
所以这2年发电量都低于8.0（亿千瓦时）的概率．
（ II ）∵
，
．
又直线 过点
，
∴， 解得，
∴
． 当x=1800时，
，
所以不能完成发电任务，缺口量为0.3（亿千瓦时）． 21.解：（I ）由题意可得，e==
，•2c•b=2
，a 2
﹣b 2
=c 2
，
解得a=2，b=，即有椭圆方程为+=1；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），将y=x+m代入椭圆方程x2+4y2=8，
可得x2+2mx+2m2﹣4=0，判别式△=4m2﹣4（2m2﹣4）＞0，
解得﹣2＜m＜2且m≠0，x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣4，
由直线与y轴交于（0，m），
则S△OAB=|m|•|x1﹣x2|=|m|•
=|m|•≤=2，
当且仅当m=±时取得等号．
则OAB面积的最大值为2．
22. 解：（Ⅰ）由题意椭圆的焦点在x轴上，设方程为，其左右焦点
为F1（﹣，0），F2（，0），∴c=，
∵椭圆E的短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形，
∴a=2b，
∵a2=b2+c2，
∴a=2，b=1，
∴椭圆E的方程为；
（Ⅱ）①双曲线C右顶点为A（1，0），
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=k（x﹣1），
代入椭圆方程得（4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，
设直线l与椭圆E交点P（x1，y1），Q（x2，y2），
则x1+x2=，x1x2=，
∴
k1+k2===
=2
②当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，代入椭圆方程可得x=1，y=±．不妨设P（1，），Q（1，﹣），则k1+k2==2为定值．
综上所述，k1+k2为定值，定值为2．。