初三数学九年级上册期末试卷及答案

初三数学九年级上册期末试卷及答案
一、选择题
1．在半径为3cm 的⊙O 中，若弦AB ＝32，则弦AB 所对的圆周角的度数为（ ） A ．30° B ．45°
C ．30°或150°
D ．45°或135°
2．已知34
a b
=（0a ≠，0b ≠），下列变形错误的是（ ） A ．
34a b = B ．34a b =
C ．
43
b a = D ．43a b =
3．已知关于x 的函数y ＝x 2＋2mx ＋1，若x ＞1时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≥1
B ．m ≤1
C ．m ≥－1
D ．m ≤－1
4．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A ，B ，C ，D 都在格点上，点E 在AB 的延长线上，以A 为圆心，AE 为半径画弧，交AD 的延长线于点F ，且弧EF 经过点C ，则扇形AEF 的面积为（ ）
A ．
58
π B ．58
π
C ．54
π
D ．
54
π 5．如图，点P 为⊙O 外一点，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于点B ，∠P=30°，OB=3，则线段BP 的长为（ ）
A ．3
B ．3
C ．6
D ．9
6．小华同学某体育项目7次测试成绩如下（单位：分）：9，7，10，8，10，9，10．这组数据的中位数和众数分别为（ ） A ．8，10
B ．10，9
C ．8，9
D ．9，10 7．抛物线2
y 3(x 1)1=-+的顶点坐标是( ) A ．()1,1
B ．()1,1-
C ．()1,1--
D ．()1,1-
8．如图，AB 是⊙O 的弦，∠BAC ＝30°，BC ＝2，则⊙O 的直径等于（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6 9．已知a 是方程x 2+3x ﹣1＝0的根，则代数式a 2+3a+2019的值是( )
A ．2020
B ．﹣2020
C ．2021
D ．﹣2021
10．点P 1（﹣1，1y ），P 2（3，2y ），P 3（5，3y ）均在二次函数22y x x c =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A ．321y y y >>
B ．312y y y >=
C ．123y y y >>
D ．123y y y =>
11．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．方程x 2=4的解是（ ）
A ．x=2
B ．x=﹣2
C ．x 1=1，x 2=4
D ．x 1=2，x 2=﹣2
13．如图，随意向水平放置的大⊙O 内部区域抛一个小球，则小球落在小⊙O 内部(阴影)区域的概率为（ ）
A ．
12
B ．
14
C ．
13
D ．
19
14．已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，CM 是它的中线，以C 为圆心，5cm 为半径作⊙C ，则点M 与⊙C 的位置关系为( ) A ．点M 在⊙C 上
B ．点M 在⊙
C 内
C ．点M 在⊙C 外
D ．点M 不在⊙C 内
15．下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A ．2x +y ＝1
B ．x 2+3xy ＝6
C ．x +
1x
＝4 D ．x 2＝3x ﹣2
二、填空题
16．150°的圆心角所对的弧长是5πcm ，则此弧所在圆的半径是______cm ．
17．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m ，与树相距
15m ，则树的高度为_________m.
18．小亮测得一圆锥模型的底面直径为10cm ，母线长为7cm ，那么它的侧面展开图的面积是_____cm 2．
19．如图，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8AC =，6BC =，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转得到MCN ∆，点D 、E 分别为AB 、MN 的中点，若点E 刚好落在边BC 上，则
sin DEC ∠=______.
20．将二次函数y ＝2x 2的图像向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的图像所对应的函数表达式为____．
21．抛物线y=ax 2-4ax+4(a≠0)与y 轴交于点A ．过点B(0,3)作y 轴的垂线l ，若抛物线y=ax 2-4ax+4(a≠0)与直线l 有两个交点，设其中靠近y 轴的交点的横坐标为m ，且│m│<1，则a 的取值范围是______． 22．如图，ABC ∆是O 的内接三角形，45BAC ∠=︒，BC 的长是
54
π
，则O 的半径是__________．
23．如图，矩形ABCD 中，2AB =，点E 在边CD 上，且BC CE =，AE 的延长线与
BC 的延长线相交于点F ，若CF AB =，则tan DAE ∠=______.
24．在▱ABCD 中，∠ABC 的平分线BF 交对角线AC 于点E ，交AD 于点F ．若
AB BC ＝3
5
，则
EF
BF
的值为_____．
25．某一时刻，测得身高1.6m 的同学在阳光下的影长为2.8m ，同时测得教学楼在阳光下的影长为25.2m ，则教学楼的高为__________m . 26．如图，P 为O 外一点，PA 切O 于点A ，若3PA =，45APO ∠=︒，则O 的半
径是______.
27．有一块三角板ABC ，C ∠为直角，30ABC ∠=︒，将它放置在O 中，如图，点
A 、
B 在圆上，边B
C 经过圆心O ，劣弧AB 的度数等于_______︒
28．△ABC 是等边三角形，点O 是三条高的交点．若△ABC 以点O 为旋转中心旋转后能与原来的图形重合，则△ABC 旋转的最小角度是____________．
29．已知点P （x 1，y 1）和Q （2，y 2）在二次函数y ＝（x +k ）（x ﹣k ﹣2）的图象上，其中k ≠0，若y 1＞y 2，则x 1的取值范围为_____．
30．一次安全知识测验中，学生得分均为整数，满分10分，这次测验中甲、乙两组学生人数都为6人，成绩如下：甲：7，9，10，8，5，9；乙：9，6，8，10，7，8． （1）请补充完整下面的成绩统计分析表：
平均分 方差 众数 中位数
甲组 8
9
乙组
53
8
8
（2）甲组学生说他们的众数高于乙组，所以他们的成绩好于乙组，但乙组学生不同意甲组学生的说法，认为他们组的成绩要好于甲组，请你给出一条支持乙组学生观点的理由
_____________________________．
三、解答题
31．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个
动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA＋1
4
PB的最小值为_____．
32．如图，BD是⊙O的直径．弦AC垂直平分OD，垂足为E．
（1）求∠DAC的度数；
（2）若AC＝6，求BE的长．
33．如图，四边形OABC为矩形，OA=4，OC=5，正比例函数y=2x的图像交AB于点D，连接DC，动点Q从D点出发沿DC向终点C运动，动点P从C点出发沿CO向终点O运动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了t s．
（1）求点D的坐标；
（2）若PQ∥OD，求此时t的值？
（3）是否存在时刻某个t，使S△DOP=5
2
S△PCQ？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明
理由；
（4）当t为何值时，△DPQ是以DQ为腰的等腰三角形?
34．如图，AB 是⊙O 的直径，D 是弦AC 的延长线上一点，且CD ＝AC ，DB 的延长线交⊙O 于点E ．
（1）求证：CD ＝CE ；
（2）连结AE ，若∠D ＝25°，求∠BAE 的度数．
35．对于实数a ，b ，我们可以用{}max ,a b 表示a ，b 两数中较大的数，例如
{}max 3,13-=，{}max 2,22=．类似的若函数y 1、y 2都是x 的函数，则y ＝min{y 1， y 2}
表示函数y 1和y 2的取小函数．
（1）设1y x =，21=y x ，则函数1max ,y x x ⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭
的图像应该是___________中的实线部
分．
（2）请在下图中用粗实线描出函数()()
{
}22
max 2,2y x x =---+的图像，观察图像可
知当x 的取值范围是_____________________时，y 随x 的增大而减小．
（3）若关于x 的方程()(){
}22
max 2,20x x t ---+-=有四个不相等的实数根，则t 的
取值范围是_____________________．
四、压轴题
36．如图，⊙M 与菱形ABCD 在平面直角坐标系中，点M 的坐标为（﹣3，1），点A 的坐标
为（2，0），点B的坐标为（1，﹣3），点D在x轴上，且点D在点A的右侧．
（1）求菱形ABCD的周长；
（2）若⊙M沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，菱形ABCD沿x轴向左以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t（秒），当⊙M与AD相切，且切点为AD的中点时，连接AC，求t的值及∠MAC的度数；
（3）在（2）的条件下，当点M与AC所在的直线的距离为1时，求t的值．
37．翻转类的计算问题在全国各地的中考试卷中出现的频率很大，因此初三（5）班聪慧的小菲同学结合2011年苏州市数学中考卷的倒数第二题对这类问题进行了专门的研究。

你能和小菲一起解决下列各问题吗？（以下各问只要求写出必要的计算过程和简洁的文字说明即可。

）
（1）如图①，小菲同学把一个边长为1的正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片向右翻转一周回到初始位置，求顶点O所经过的路程；并求顶点O所经过的路线；
图①
（2）小菲进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片向右翻转若干次．她提出了如下问题：
图②
问题①：若正方形纸片OABC接上述方法翻转一周回到初始位置，求顶点O经过的路程；问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是+
41202。

（3）①小菲又进行了进一步的拓展研究，若把这个正三角形的一边OA与这个正方形的一边OA重合（如图3），然后让这个正三角形在正方形上翻转，直到正三角形第一次回到初始位置（即OAB的相对位置和初始时一样），求顶点O所经过的总路程。

图③
②若把边长为1的正方形OABC放在边长为1的正五边形OABCD上翻转（如图④），直到正方形第一次回到初始位置，求顶点O所经过的总路程。

图④
（4）规律总结，边长相等的两个正多边形，其中一个在另一个上翻转，当翻转后第一次回到初始位置时，该正多边形翻转的次数一定是两正多边形边数的___________。

38．如图，B是O的半径OA上的一点（不与端点重合），过点B作OA的垂线交O于点C，D，连接OD，E是O上一点，CE CA
=，过点C作O的切线l，连接OE并延长交直线l于点F.
（1）①依题意补全图形.
②求证：∠OFC=∠ODC．
（2）连接FB，若B是OA的中点，O的半径是4，求FB的长.
39．如图，一次函数
1
2
2
y x
=-+的图象交y轴于点A，交x轴于点B点，抛物线
2
y x bx c
=-++过A、B两点．
（1）求A，B两点的坐标；并求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x轴的直线x＝t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取
何值时，MN 有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标．
40．()1尺规作图1：
已知：如图，线段AB 和直线且点B 在直线上
求作：点C ，使点C 在直线上并且使ABC 为等腰三角形． 作图要求：保留作图痕迹，不写作法，做出所有符合条件的点C ．
()2特例思考：
如图一，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有______个；如图二，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有______个.
()3拓展应用：
如图，AOB 45∠=，点M ，N 在射线OA 上，OM x =，ON x 2=+，点P 是射线OB 上的点.若使点P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 有且只有三个，求x 的值．
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一、选择题 1．D 解析：D 【解析】
【分析】
根据题意画出图形，连接OA 和OB ，根据勾股定理的逆定理得出∠AOB ＝90°，再根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求出即可． 【详解】 解：如图所示，
连接OA ，OB ， 则OA ＝OB ＝3， ∵AB ＝2， ∴OA 2+OB 2＝AB 2， ∴∠AOB ＝90°，
∴劣弧AB 的度数是90°，优弧AB 的度数是360°﹣90°＝270°， ∴弦AB 对的圆周角的度数是45°或135°， 故选：D ． 【点睛】
此题主要考查圆周角的求解，解题的关键是根据图形求出圆心角，再得到圆周角的度数.
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据两内项之积等于两外项之积对各项分析判断即可得解. 【详解】 解：由
34
a b
，得出，3b=4a, A.由等式性质可得：3b=4a ，正确； B.由等式性质可得：4a=3b ，错误； C. 由等式性质可得：3b=4a ，正确； D. 由等式性质可得：4a=3b ，正确. 故答案为：B. 【点睛】
本题考查的知识点是等式的性质，熟记等式性质两内项之积等于两外项之积是解题的关键.
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据函数解析式可知，开口方向向上，在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小．
【详解】
解：∵函数的对称轴为x=222
b m m a -
=-=-， 又∵二次函数开口向上，
∴在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大，
∵x ＞1时，y 随x 的增大而增大，
∴-m≤1，即m ≥-1
故选：C ．
【点睛】
本题考查了二次函数的图形与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 4．B
解析：B
【解析】
【分析】
连接AC ，根据网格的特点求出r=AC 的长度，再得到扇形的圆心角度数，根据扇形面积公式即可求解.
【详解】
连接AC ，则r=AC=22251=+
扇形的圆心角度数为∠BAD=45°，
∴扇形AEF 的面积=()2
455360
π⨯⨯=58π 故选B.
【点睛】
此题主要考查扇形面积求解，解题的关键是熟知勾股定理及扇形面积公式.
5．A
解析：A
【解析】
【分析】
直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，进而利用直角三角形的性质得出OP 的长．
【详解】
连接OA ，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∵∠P=30°，OB=3，
∴AO=3，则OP=6，
故BP=6-3=3．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确作出辅助线是解题关键．
6．D
解析：D
【解析】
试题分析：把这组数据从小到大排列：7，8，9，9，10，10，10，
最中间的数是9，则中位数是9；
10出现了3次，出现的次数最多，则众数是10；
故选D．
考点：众数；中位数．
7．A
解析：A
【解析】
【分析】
已知抛物线顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．
【详解】
∵抛物线y=3（x﹣1）2+1是顶点式，∴顶点坐标是（1，1）．
故选A．
【点睛】
本题考查了由抛物线的顶点式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
如图，作直径BD，连接CD，根据圆周角定理得到∠D＝∠BAC＝30°，∠BCD＝90°，根据直角三角形的性质解答．
【详解】
如图，作直径BD，连接CD，
∵∠BDC 和∠BAC 是BC 所对的圆周角，∠BAC ＝30°，
∴∠BDC ＝∠BAC ＝30°，
∵BD 是直径，∠BCD 是BD 所对的圆周角，
∴∠BCD ＝90°，
∴BD ＝2BC ＝4，
故选：C ．
【点睛】
本题考查圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°圆周角所对的弦是直径；熟练掌握圆周角定理是解题关键．
9．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的定义，将a 代入已知方程，即可求得a 2+3a 的值，然后再代入求值即可.
【详解】
解：根据题意，得
a 2+3a ﹣1＝0，
解得：a 2+3a ＝1，
所以a 2+3a+2019＝1+2019＝2020.
故选：A.
【点睛】
此题考查的是一元二次方程的解，掌握一元二次方程解的定义是解决此题的关键
10．D
解析：D
【解析】
试题分析：∵22y x x c =-++，∴对称轴为x=1，P 2（3，2y ），P 3（5，3y ）在对称轴
的右侧，y 随x 的增大而减小，∵3＜5，∴23y y >，根据二次函数图象的对称性可知，P 1（﹣1，1y ）与（3，2y ）关于对称轴对称，故123y y y =>，故选D ．
考点：二次函数图象上点的坐标特征．
11．B
解析：B
试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；
B 、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
C 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
D 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误．
故选B ．
点睛：掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
12．D
解析：D
【解析】
x 2=4，
x =±2.
故选D.
点睛：本题利用方程左右两边直接开平方求解.
13．B
解析：B
【解析】
【分析】
针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与外切圆面积的比．
【详解】
解：∵如图所示的正三角形，
∴∠CAB ＝60°，
∴∠OAB ＝30°，∠OBA ＝90°，
设OB ＝a ，则OA ＝2a ，
则小球落在小⊙O 内部(阴影)区域的概率为
()2214
2a a ππ=． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了概率问题，掌握圆的面积公式是解题的关键．
14．A
【解析】
【分析】 根据题意可求得CM 的长，再根据点和圆的位置关系判断即可．
【详解】
如图，
∵由勾股定理得2268 ，
∵CM 是AB 的中线，
∴CM=5cm ，
∴d=r ，
所以点M 在⊙C 上，
故选A ．
【点睛】
本题考查了点和圆的位置关系，解决的根据是点在圆上⇔圆心到点的距离=圆的半径．
15．D
解析：D
【解析】
【分析】
利用一元二次方程的定义判断即可．
【详解】
解：A 、原方程为二元一次方程，不符合题意；
B 、原式方程为二元二次方程，不符合题意；
C 、原式为分式方程，不符合题意；
D 、原式为一元二次方程，符合题意，
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的识别，解题的关键是熟知一元二次方程的定义.
二、填空题
16．6；
【解析】
解：设圆的半径为x ，由题意得：
=5π，解得：x=6，故答案为6．
点睛：此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式l=
（弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R ）．
解析：6；
【解析】
解：设圆的半径为x ，由题意得：
150180
x π =5π，解得：x =6，故答案为6． 点睛：此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式l =
180
n R π （弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R ）． 17．7
【解析】
设树的高度为m ，由相似可得，解得，所以树的高度为7m
解析：7
【解析】
设树的高度为x m ，由相似可得6157262
x +==，解得7x =，所以树的高度为7m 18．35π．
【解析】
【分析】
首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式S=lr 即可求解．
【详解】
底面周长是：10π，
则侧面展开图的面积是：×10π×7＝35πcm2．
故答案是：35π．
解析：35π．
【解析】
【分析】
首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式S=
12lr 即可求解． 【详解】
底面周长是：10π， 则侧面展开图的面积是：
12
×10π×7＝35πcm 2． 故答案是：35π．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
19．【解析】
【分析】
根据旋转性质及直角三角形斜边中线等于斜边一半，求出CD=CE=5,再根据勾股定理求DE长，的值即为等腰△CDE底角的正弦值，根据等腰三角形三线合一构建直角三角形求解.
【详解】
【解析】
【分析】
根据旋转性质及直角三角形斜边中线等于斜边一半，求出CD=CE=5,再根据勾股定理求DE 长，sin DEC
∠的值即为等腰△CDE底角的正弦值，根据等腰三角形三线合一构建直角三角形求解.
【详解】
如图，过D点作DM⊥BC，垂足为M，过C作CN⊥DE，垂足为N，
在Rt△ACB中，AC=8，BC=6，由勾股定理得，AB=10，
∵D为AB的中点，
∴CD=1
5 2
AB= ,
由旋转可得，∠MCN=90°,MN=10，∵E为MN的中点，
∴CE=1
5 2
MN,
∵DM⊥BC,DC=DB,
∴CM=BM=1
3 2
BC=,
∴EM=CE-CM=5-3=2，
∵DM=1
4 2
AC,
∴由勾股定理得，DE=∵CD=CE=5，CN⊥DE,
∴
∴由勾股定理得，CN=
∴sin∠DEC=
25 CN
CE
.
25
.
【点睛】
本题考查旋转性质，直角三角形的性质和等腰三角形的性质，能够用等腰三角形三线合一的性质构建直角三角形解决问题是解答此题的关键.
20．y＝2(x－2)2＋3
【解析】
【分析】
根据平移的规律：左加右减，上加下减可得函数解析式．
【详解】
解：将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的表达式为
解析：y＝2(x－2)2＋3
【解析】
【分析】
根据平移的规律：左加右减，上加下减可得函数解析式．
【详解】
解：将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的表达式为y=2（x-2）2+3，
故答案为：y＝2(x－2)2＋3.
【点睛】
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．
21．a>或a<.
【解析】
【分析】
先确定抛物线的对称轴，根据开口的大小与a的关系，即开口向上时，a>0,且a越大开口越小，开口向下时，a<0,且a越大，开口越大，从而确定a的范围. 【详解】
解：如
解析：a>1
3或a<
1
5
.
【解析】
【分析】
先确定抛物线的对称轴，根据开口的大小与a的关系，即开口向上时，a>0,且a越大开口越小，开口向下时，a<0,且a越大，开口越大，从而确定a的范围.
【详解】
解：如图，观察图形
抛物线y=ax2-4ax+4的对称轴为直线
4
2
2
a
x
a
-
=-= ,
设抛物线与直线l交点（靠近y轴）为(m,3)，
∵│m│<1，
∴-1<m<1.
当a>0时，若抛物线经过点（1，3）时，开口最大，此时a值最小，将点（1，3）代入y=ax2-4ax+4，
得，3=a-4a+4
解得a=1 3 ,
∴a>1 3 ;
当a<0时，若抛物线经过点（-1，3）时，开口最大，此时a值最大，将点（-1，3）代入y=ax2-4ax+4，
得，3=a+4a+4
解得a=
1 5 - ,
∴a<
1 5 -.
a的取值范围是a>1
3
或a<
1
5
-.
故答案为：a>1
3
或a<
1
5
.
【点睛】
本题考查抛物线的性质，首先明确a值与开口的大小关系，观察图形，即数形结合的思想是解答此题的关键.
22．【解析】
【分析】
连接OB、OC，如图，由圆周角定理可得∠BOC的度数，然后根据弧长公式即可求出半径.
【详解】
解：连接OB、OC，如图，
∵，
∴∠BOC=90°，
∵的长是，
∴，
解得：
解析：5 2
【解析】
【分析】
连接OB、OC，如图，由圆周角定理可得∠BOC的度数，然后根据弧长公式即可求出半径.【详解】
解：连接OB 、OC ，如图，
∵45BAC ∠=︒，
∴∠BOC =90°，
∵BC 的长是
54π， ∴9051804
OB ππ⋅=， 解得：52OB =
. 故答案为：52
.
【点睛】
本题考查了圆周角定理和弧长公式，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解答的关键.
23．【解析】
【分析】 设BC=EC=a,根据相似三角形得到，求出a 的值，再利用tanA 即可求解.
【详解】
设BC=EC=a,
∵AB ∥CD ，
∴△ABF ∽△ECF ，
∴,即
解得a=（-舍去）
∴
51- 【解析】
【分析】
设BC=EC=a,根据相似三角形得到
222
a a =+，求出a 的值，再利用tan DAE ∠=tanA 即可求解.
【详解】
设BC=EC=a,
∵AB ∥CD ，
∴△ABF ∽△ECF ， ∴AB EC BF CF =,即222
a a =+
解得1（-1舍去）
∴tan DAE ∠=tanF=
2EC a CF ==12
. 【点睛】 此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知矩形的性质及正切的定义.
24．．
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质和角平分线的性质，得出边的关系，进而利用相似三角形的性质求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，
∴∠AFB ＝∠EBC ，
∵B 解析：38
． 【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质和角平分线的性质，得出边的关系，进而利用相似三角形的性质求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，
∴∠AFB ＝∠EBC ，
∵BF 是∠ABC 的角平分线，
∴∠EBC ＝∠ABE ＝∠AFB ，
∴AB ＝AF ， ∴35
AB AF BC BC ==， ∵AD ∥BC ，
∴△AFE ∽△CBE ，
∴
35AF EF BC BE ==， ∴38
EF BF =； 故答案为：38
． 【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的性质、角平分线的性质及相似三角形的判定定理.
25．4
【解析】
【分析】
根据题意可知，，代入数据可得出答案．
【详解】
解：由题意得出：，
即，
解得，教学楼高=14.4．
故答案为：14.4．
【点睛】
本题考查的知识点是相似三角形的应用以及平
解析：4
【解析】
【分析】 根据题意可知，
1.6
2.8=身高教学楼高影长教学楼影长，代入数据可得出答案． 【详解】 解：由题意得出：
1.6
2.8=身高教学楼高影长教学楼影长， 即，1.62.825.2
=教学楼高 解得，教学楼高=14.4．
故答案为：14.4．
【点睛】
本题考查的知识点是相似三角形的应用以及平行投影，熟记同一时刻物高与影长成正比是解此题的关键．
26．3
【解析】
【分析】
由题意连接OA，根据切线的性质得出OA⊥PA，由已知条件可得△OAP是等腰直角三角形，进而可求出OA的长，即可求解．
【详解】
解：连接OA，
∵PA切⊙O于点A，
∴OA
解析：3
【解析】
【分析】
由题意连接OA，根据切线的性质得出OA⊥PA，由已知条件可得△OAP是等腰直角三角形，进而可求出OA的长，即可求解．
【详解】
解：连接OA，
∵PA切⊙O于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
∵∠APO=45°，
∴OA=PA=3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查切线的性质即圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，连接过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
27．120°
【解析】
【分析】
因为半径相等，根据等边对等角结合三角形内角和定理即可求得，继而求得答案．
【详解】
如图，连接OA，
∵OA，OB为半径，
∴，
∴，
∴劣弧的度数等于，
故答案为：1
解析：120°
【解析】
【分析】
因为半径相等，根据等边对等角结合三角形内角和定理即可求得AOB ∠，继而求得答案．
【详解】
如图，连接OA ，
∵OA ，OB 为半径，
∴30OAB ABO ∠=∠=︒，
∴180120AOB OAB ABO ∠=︒-∠-∠=︒，
∴劣弧AB 的度数等于120︒，
故答案为：120．
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系以及圆周角定理，是基础知识要熟练掌握． 28．120°．
【解析】
试题分析：若△ABC 以O 为旋转中心，旋转后能与原来的图形重合，根据旋转变化的性质，可得△ABC 旋转的最小角度为180°﹣60°=120°．故答案为120°．
考点：旋转对称图形
解析：120°．
【解析】
试题分析：若△ABC 以O 为旋转中心，旋转后能与原来的图形重合，根据旋转变化的性质，可得△ABC 旋转的最小角度为180°﹣60°=120°．故答案为120°．
考点：旋转对称图形．
29．x1＞2或x1＜0．
【解析】
【分析】
将二次函数的解析式化为顶点式，然后将点P 、Q 的坐标代入解析式中，然后
y1＞y2，列出关于x1的不等式即可求出结论．
【详解】
解：y＝（x+k）（x﹣k﹣2
解析：x1＞2或x1＜0．
【解析】
【分析】
将二次函数的解析式化为顶点式，然后将点P、Q的坐标代入解析式中，然后y1＞y2，列出关于x1的不等式即可求出结论．
【详解】
解：y＝（x+k）（x﹣k﹣2）
＝（x﹣1）2﹣1﹣2k﹣k2，
∵点P（x1，y1）和Q（2，y2）在二次函数y＝（x+k）（x﹣k﹣2）的图象上，
∴y1＝（x1﹣1）2﹣1﹣2k﹣k2，
y2＝﹣2k﹣k2，
∵y1＞y2，
∴（x1﹣1）2﹣1﹣2k﹣k2＞﹣2k﹣k2，
∴（x1﹣1）2＞1，
∴x1＞2或x1＜0．
故答案为：x1＞2或x1＜0．
【点睛】
此题考查的是比较二次函数上两点之间的坐标大小关系，掌握二次函数的顶点式和根据函数值的取值范围求自变量的取值范围是解决此题的关键．
30．（1），8.5，8；（2）两队的平均分相同，但乙组的方差小于甲组方差，所以乙组成绩更稳定．
【解析】
【分析】
（1）根据方差、平均数的计算公式求出甲组方差和乙组平均数，根据中位数的定义，取出甲组中
解析：（1）8
3
，8.5，8；（2）两队的平均分相同，但乙组的方差小于甲组方差，所以乙
组成绩更稳定．
【解析】
【分析】
（1）根据方差、平均数的计算公式求出甲组方差和乙组平均数，根据中位数的定义，取出甲组中位数；
（2）根据（1）中表格数据，分别从反应数据集中程度的中位数和平均分及反应数据波动程度的方差比较甲、乙两组，由此找出乙组优于甲组的一条理由．
【详解】
（1）甲组方差：
()()()()()()22222218789810888589863
⎡⎤-+-+-+-+-+-=⎣⎦ 甲组数据由小到大排列为：5，7，8，9，9，10
故甲组中位数：（8+9）÷2=8.5
乙组平均分：(9+6+8+10+7+8)÷6=8
填表如下：
故答案为：83
，8.5，8；两队的平均分相同，但乙组的方差小于甲组方差，所以乙组成绩更稳定． 【点睛】
本题考查数据分析，熟练掌握反应数据集中趋势的中位数、众数和平均数以及反应数据波动程度的方差的计算公式和定义是解题关键．
三、解答题
31 【解析】
【分析】
连接PC,则PC=
12DE=2, 在CB 上截取CM=0.25,得出△CPM ∽△CBP ，即可得出结果. 【详解】
解:连接PC,则PC=12
DE=2, ∴P 在以C 为圆心，2为半径的圆弧上运动,
在CB 上截取CM=0.25,连接MP ,
∴
0.25121,2444CM CP CP CB ====, ∴CM CP CP CB
=, ∵∠MCP=∠PCB,
∴△CPM ∽△CBP ,
∴PM=1
4 PB,
∴PA+1
4
PB=PA+PM,
∴当P、M、A共线时，PA+1
4
PB最小，即22
145
0.25+6=
2
.
【点睛】
本题考查了最短路径问题，相似三角形的判定与性质，正确做出辅助线是解题的关键. 32．（1）30°；（2）33
【解析】
【分析】
（1）由题意证明△CDE≌△COE，从而得到△OCD是等边三角形，然后利用同弧所对的圆
周角等于圆心角的一半求解；（2）由垂径定理求得AE=1
2
AC=3，然后利用30°角的正切
值求得DE=3，然后根据题意求得OD=2DE=23，直径BD=2OD=43，从而使问题得解.【详解】
解：连接OA,OC
∵弦AC垂直平分OD
∴DE=OE，∠DEC=∠OEC=90°
又∵CE=CE
∴△CDE≌△COE
∴CD=OC
又∵OC=OD
∴CD=OC=OD
∴△OCD 是等边三角形
∴∠DOC=60°
∴∠DAC =30°
（2）∵弦AC 垂直平分OD
∴AE=12
AC=3 又∵由（1）可知，在Rt △DAE 中，∠DAC =30°
∴tan 30DE AE =，即33
DE =
∴
∵弦AC 垂直平分OD
∴
∴直径
∴-【点睛】
本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质及锐角三角函数，掌握相关定理正确进行推理判断是本题的解题关键.
33．（1）D （2，4）；（2）52
t =；（3）存在，t 的值为2 ；（4）当15t =或22511t =或3256
t =时，△DPQ 是一个以DQ 为腰的等腰三角形 【解析】
【分析】
（1）由题意得出点D 的纵坐标为4，求出y=2x 中y=4时x 的值即可得；
（2）由PQ ∥OD 证△CPQ ∽△COD ，得CQ CP CD CO
=，即555t t -=，解之可得； （3）分别过点Q 、D 作QE ⊥OC ，DF ⊥OC 交OC 与点E 、F ，对于直线y=2x ，令y=4求出x 的值，确定出D 坐标，进而求出BD ，BC 的长，利用勾股定理求出CD 的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形CQE 与三角形CDF 相似，由相似得比例表示出QE ，由底PC ，高QE 表示出三角形PQC 面积，再表示出三角形ODP 面积，依据S △DOP =
52
S △PCQ 列出关于t 的方程，解之可得；
（4）由三角形CQE 与三角形CDF 相似，利用相似得比例表示出CE ，PE ，进而利用勾股定理表示出PQ 2，DP 2，以及DQ ，分两种情况考虑：①当DQ=DP ；②当DQ=PQ ，求出t 的值即可．
【详解】
解：（1）∵OA =4
∴把4y =代入2y x =得2x =。