人教版数学九年级下册 第二十七章 相似 27.2.1 相似三角形的判定 同步练习

人教版数学九年级下册 第二十七章 相似 27.2.1 相似三角形的判定 同步练
习
一、单选题（共9题；共18分）
1.如图，在 △ABC 中， ∠B =70° ， AB =4 ， BC =6 ，将 △ABC 沿图示中的虚线 DE 剪开，
剪下的三角形与原三角形不．
相似的是（ ）
A. B. C. D.
2.下列各组长度的线段（单位： cm ）中，成比例线段的是（ ）
A. 1，2，3，4
B. 1，2，3，5
C. 2，3，4，5
D. 2，3，4，6 3.已知四条线段a,b,c,d 是成比例线段，即 a
b ＝ c
d ，下列说法错误的是（ ） A. ad=bc B. a+c
b+d ＝ a
b C. a−b b
＝
c−b d
D. a 2b
2 ＝
c 2
d 2
4.下列判断中，错误的有（ ）
A. 三边对应成比例的两个三角形相似
B. 两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似
C. 有一个锐角相等的两个直角三角形相似
D. 有一个角是100°的两个等腰三角形相似 5.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，AD ：BD=5：3，CF=6，则DE 的长为（ ）
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12 6.下列条件中，不能判断△ABC 与△DEF 相似的是（ ） A. ∠A =∠D ， ∠B =∠F B. BC
EF =AC
DF 且∠B =∠D C. AB
DE =BC
EF =AC
DF D. AB
DE =AC
DF 且∠A =∠D
7.如图所示，在▱ABCD.BE 交AC ，CD 于G ，F ，交AD 的延长线于E ，则图中的相似三角形有（ ）
A. 3对
B. 4对
C. 5对
D. 6对
8.如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（）
A. ∠ADC＝∠ACB
B. AB
BC =AC
CD
C. ∠ACD＝∠B
D. AC2＝AD•AB
9.如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则AE：EC 的值是（）
A. 3：2
B. 4：3
C. 6：5
D. 8：5
二、填空题（共4题；共4分）
10.如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥B C．如果AD
DB =3
2
，AC＝10，那么EC
＝________．
11.如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发，沿BC以2 cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1 cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为ts，当t＝________时，△CPQ与△CBA相似．
12.ΔABC的边长分别为a,b,c,ΔA1B1C1的边长分别√a,√b,√c，则ΔABC与ΔA1B1C1________（选填“一定”“不一定” “一定不”）相似
13.如图所示，在△ABC中，已知BD＝2DC，AM＝3MD，过M作直线交AB，AC于P，Q两点．则AB
AP +2AC
AQ
＝________．
三、解答题（共4题；共20分）
14.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是AB上一点，连接DE，BD2=BC·BE.
证明：△BCD∽△BDE.
15.如图，直线a//b//c，直线m,n相交于点O，且分别与直线a,b,c相交于点A,B,C和点
D,E,F，已知OA=3，OB=4，BC=6，EF=5，求DO的长度．
16.已知：如图，ΔABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE//BC,BE与CD交于点S,AS与BC交于点M．求证：点M是线段BC的中点．
17.如图，把一块直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的边BC上，并且使一条直角边经过点D，另一条直角边与AB交于点Q，请写出一对相似三角形，并加以证明（图中不添加字幕和线段）
四、综合题（共1题；共7分）
18.如图1，在正方形ABCD中，E是边BC上的点，将线段DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，过点C作CG∥EF交BA（或其延长线）于点G，连接DF，FG.
（1）FG与CE的数量关系是________，位置关系是________.
（2）如图2，若点E是CB延长线上的点，其它条件不变.
①（1）中的结论是否仍然成立？请作出判断，并给予证明；
.
②DE，DF分别交BG于点M，N，若BC＝2BE，求MN
BC
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】C
【解析】【解答】解：A.∵∠B=∠EDC, ∠C=∠C,
∴△ABC∽△EDC;
B.∵∠B=∠DEC, ∠C=∠C,
∴△ABC∽△DEC;
D.∵A、B、C、D在同一个圆上，
∴∠A+∠DEC=180°,
又∵∠DEB+∠DEC=180°,
∴∠A=∠DEB, ∠B=∠B,
∴△ABC∽△EBD;
故剪下的三角形与原三角形不相似的是C.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定定理逐项进行判断，即可求解.
2.【答案】D
【解析】【解答】解：A.1：2≠3：4，故四条线段不成比例，不合题意；
B. 1：2≠3：5，故四条线段不成比例，不合题意；
C.2：3≠4：5，故四条线段不成比例，不合题意；
D. 2：3=4：6，故四条线段成比例，符合题意；
故答案为：D．
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．3.【答案】C
【解析】【解答】解：∵四条线段a，b，c，d是成比例线段，即a
b ＝c
d
，
∴A．利用内项之积等于外项之积，ad=bc，不符合题意，
B．利用内项之积等于外项之积，a（b+d）=b（a+c），ab+ad=ab+bc，即ad=bc，不符合题意，
C．∵a−b
b = c−d
d
，∴a−b
b
＝c−b
d
，符合题意，
D．∵a
b ＝c
d
，∴a2
b2
＝c2
d2
，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据比例的性质分别将原式变形，然后判断即可.
4.【答案】B
【解析】【解答】解：A、三边对应成比例的两个三角形相似，故A选项不合题意；
B、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故B选项符合题意；
C、有一个锐角相等的两个直角三角形相似，故C选项不合题意；
D、有一个角是100°的两个等腰三角形，则它们的底角都是40°，所以有一个角是100°的两个等腰三角形相似，故D选项不合题意；
故答案为：B．
【分析】三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等、两角分别相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可.
5.【答案】C
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB
∴四边形BFED是平行四边形
∴DE=BF
∵ DE∥BC AD：BD=5：3
∴AD
DB =AE
EC
=5
3
∴CE
CA =3
8
又EF∥AB
∴CE
CA =CF
CB
=3
8
又∵CF=6
∴CB=16
∴BF=BC−FC=10
即DE=10
故答案为：C
【分析】根据DE∥BC，EF∥AB，判断出DE=BF，在根据DE∥BC，EF∥AB，便可以找到分的线段成比
例。

AD
DB =AE
EC
，CE
CA
=CF
CB
，便可求解了．
6.【答案】B
【解析】【解答】解：A、∠A=∠D，∠B=∠F，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可以得出△ABC∽△DFE，故此选项不合题意；
B、BC
EF =AC
DF
，且∠B=∠D，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；
C、AB
DE =BC
EF
=AC
DF
，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，可以得出△ABC∽△DEF，故此选
项不合题意；
D、AB
DE =AC
DF
且∠A=∠D，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可以得出
△ABC∽△DEF，故此选项不合题意；
故答案为：B．
【分析】直接根据三角形相似的判定方法分别判断得出答案．7.【答案】C
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴△AGE∽△CGB，△DFE∽△CFB，
∵AB∥CD，
∴△ABG∽△CFG，△ABE∽△CFB，△EDF∽△EAB．
∴共有5对，
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的判定来找出共有多少对相似的三角形
8.【答案】B
【解析】【解答】解：A.由∠ADC=∠ACB，∠A=∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；
B.由AB
BC =AC
CD
不能判定△ACD∽△ABC，此选项符合题意；
C.由∠ACD=∠B，∠A=∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；
D.由AC2=AD•AB，即AC
AD =AB
AC
，且∠A=∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析△ACD与△ABC中有一公共角A与公共边AC，根据两个三角形相似的判定定理将选项带进去即可排除，选出答案。

9.【答案】D
【解析】【解答】如图，过点D作DF∥CA 交BE于F，
∵DF∥CE，
∴DF
CE = BD
BC
，
而BD：DC=2：3，BC=BD +CD，
∴DF
CE = 2
5
，则CE= 5
2
DF，
∵DF∥AE，
∴DF
AE = DG
AG
，
∵AG：GD=4：1，
∴DF
AE = 1
4
，则AE=4DF，
∴AE
CE =
4DF
5
2
DF
=8
5
，
故答案为：D．
【分析】如图，过点D作DF∥CA 交BE于F，根据平行线分线段成比例得出DF
CE =BD
BC
,而BD：DC=2：3，
BC=BD +CD，故CE= 5
2DF，再根据平行线分线段成比例得出DF
AE
=DG
AG
,又AG：GD=4：1，故AE=4DF，从而
得出答案。

二、填空题
10.【答案】4
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴AD
DB =AE
EC
=3
2
，
∵AC=10，
∴EC= 2
5AC= 2
5
×10=4，
故答案为4．
【分析】由DE∥BC，推出AD
DB =AE
EC
=3
2
, 可得EC= 2
5
AC, 由此即可解决问题．
11.【答案】4.8或64
11
【解析】【解答】①CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，
所以CP
CB ＝CQ
CA
，
即16−2t
16＝t
12
，
解得t＝4.8；
②CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，
所以CP
CA ＝CQ
CB
，
即16−2t
12＝t
16
，
解得t＝64
11
.
综上所述，当t＝4.8或64
11
时，△CPQ与△CBA相似．
【分析】分两种情况①△CPQ∽△CBA，②△CPQ∽△CAB，利用相似三角形的性质分别解答即可.
12.【答案】不一定
【解析】【解答】解：∵ΔABC的边长分别为a,b,c,ΔA1B1C1的边长分别√a,√b,√c，
∴两个三角形对应边的比分别为：
a =√a,
√b
=√b,
c
=√c，
当a=b=c时，
√a =
√b
=
√c
，这两个三角形相似，
当a≠b≠c时，
√a ≠
√b
≠
√c
，这两个三角形不相似，
∴ΔABC与ΔA1B1C1不一定相似，
故答案为：不一定．
【分析】先求出两个三角形三边的比，再根据三边对应成比例判断两个三角形相似即可．
13.【答案】4
【解析】【解答】解：过点B作NB⊥PQ于点N，过点D作DG⊥PQ于点G，过点C作CH⊥PQ于点H，
∴BN∥AK
∵AM=3MD，
∴AK
DG =AM
MD
=3
1
设DG=a，则AK=3a，设BN=x，CH=y
∵AK∥BN
∴BP
AP =BN
AK
=x
3a
∴AB
AP =x+3a
3a
∵AK∥CH
∴AK
CH =AQ
CQ
=3a
y
∴AC
AQ =y+3a
3a
由BD=2CD，可得a−x
y−x =2
3
∴3a=2y+x
原式=AB
AP +2AC
AQ
=3a+x
3a
+2(3a+y)
3a
=3+x+2y
3a
=3+3a
3a
=4
故答案为：4.
【分析】过点B作NB⊥PQ于点N，过点D作DG⊥PQ于点G，过点C作CH⊥PQ于点H，设它们的长度分别为x，3a，a，y，利用平行线分线段成比例，即可推出结论。

三、解答题
14.【答案】证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBE=∠CBD，
∵BD2=BC⋅BE，
∴BC
BD =BD
BE
，
∴△BCD∽△BDE.
【解析】【分析】根据角平分线的定义可得∠DBE=∠CBD，由BD2=BC⋅BE可得BC
BD =BD
BE
，根据
两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似即可得△BCD∽△BDE.
15.【答案】解：∵b//c，
∴OE
EF
=
OB
BC
∵OB=4，BC=6，EF=5，
∴OE
5
=
4
6
∴OE=10
3∵b//a，
∴OD
OE
=
OA
OB
∵OA=3，OB=4，
∴OD
10
3
=
3
∴DO=5
2
【解析】【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．16.【答案】证明：设AM与DE相交于N，
∵DE∥BC，
∴NE
BM =ES
BS
=DE
BC
，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，△ANE∽△AMC，
∴DE
BC =AE
AC
=NE
CM
∴NE
BM =NE
CM
，
∴BM=CM，
即点M是线段BC的中点．
【解析】【分析】设AM与DE相交于N，由平行线分线段成比例可证得NE
BM =ES
BS
=DE
BC
=AE
AC
=NE
CM
，则
BM=CM即可得证．
17.【答案】解：△BPQ∼△CDP,
证明:∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°,
∵∠QPD=90°,
∴∠QPB+∠BQP=90°,
∠QPB+∠DPC=90°,
∴∠DPC=∠POB,
∴△BPQ∼△CDP.
【解析】【分析】根据正方形的性质得出∠B=∠C=90°，得出∠QPB+∠BQP=90°，再由∠QPD=90°，得出∠QPB+∠DPC=90°，从而得出∠DPC=∠POB，即可证出∆BQP∽∆CDP.
四、综合题
18.【答案】（1）FG＝EC；FG∥EC
（2）解：①结论不变.
理由：延长CE到H.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠CBG＝∠DCE＝90°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠FEH+∠DEC＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，
∴∠FEH＝∠EDC，
∵CG∥EF，
∴∠GCB＝∠FEH＝∠EDC，
∴△GCB≌△EDC（ASA），
∴CG＝DE，
∵EF＝DE，
∴CG＝EF，∵CG∥EF，
∴四边形ECGF是平行四边形，
∴FG＝EC，FG∥EC.
②如图2﹣1中，延长AG到H，使得AH＝AD，连接DH，BD，在BC上截取一点K，使得BK＝HN，连接MK，DK.
∵AH＝AD＝AB，DA⊥BH，
∴DH＝DB，∠HDB＝90°，
∵BK＝HN，∠H＝∠DBK＝45°，
∴△NHD≌△KBD（SAS），
∴DN＝DK，∠HDN＝∠BDK，
∴∠HDB＝∠NDK＝90°，
∵∠MDN＝45°，
∴∠NDM＝∠KDM＝45°，
∵DM＝DM，
∴△NDM≌△KDM，
∴MN＝MK，设BC＝a，MN＝b，
∵BC＝2BE，
∴EB＝1
2
a，
∵BM∥CD，
∴BM
CD =EB
EC
=1
3
，
∴BM＝1
3
a，
∵BK＝NH＝2a﹣1
3a﹣b＝5
3
a﹣b，
在Rt△BMK中，∵MK2＝BM2+BK2，
∴b2＝（1
3a）2+（5
3
a﹣b）2，
整理得：b
a ＝13
15
，
∴MN
BC =13
15
.
故答案为：（1）FG＝EC，FG∥EC.（2）①结论不变，见解析，② MN
BC =13
15
.
【解析】【解答】解：（1）结论：FG＝EC，FG∥EC.
理由：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠CBG＝∠DCE＝90°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠FEB+∠DEC＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，
∴∠FEB＝∠EDC，
∵CG∥EF，
∴∠GCB＝∠FEB＝∠EDC，
∴△GCB≌△EDC（ASA），
∴CG＝DE，
∵EF＝DE，
∴CG＝EF，∵CG∥EF，
∴四边形ECGF是平行四边形，
∴FG＝EC，FG∥EC.
【分析】（1）结论：FG=EC，FG∥EC.证明四边形ECGF是平行四边形即可.（2）①结论不变.证明四边形ECGF是平行四边形即可.②如图2-1中，延长AG到H，使得AH=AD，连接DH，BD，在BC上截取一点K，使得BK=HN，连接MK，DK.首先证明MB=BK，设BC=a，MN=b，求出BM，BK，在Rt△BMK中，利用勾股定理即可解决问题.。