小学六年级数学难题思维能力题训练：枚举法(竞赛培训)

枚举法
电工买回一批日光灯，在灯座上逐一试一遍，结果全部日光灯都是好
的．像这样将一批事物一个一个全部列举出来的方法就是枚举法．
问题44．1 小明有1 个5 分币， 4 个2 分币，8 个1 分币，要拿出8 分钱，
你能找出几种拿法？
分析为了不重复、不遗漏地找出所有可能的拿法，“找”就要按照一定的
规则进行．
先找只拿一种硬币的拿法，有两种：
① 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1=8 （分）；
②2 + 2 + 2 + 2=8 （分）.
再找拿两种不同硬币的拿法，有四种：
①1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1+2 = 8 （分）；
②1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 = 8 （分）；
③1 + 1+2 + 2+2 = 8 （分）；
④1 + 1 + 1 + 5=8 （分）.
最后找拿三种不同硬币的拿法，只有一种：
⑤1+2 + 5 = 8 （分）.
由此可见，共有7 种不同的拿法．
在上面用枚举法寻找可能拿法的过程中，我们对全部拿法作了适当分
类．合理分类是枚举法解题中力求又快又省的技巧．
问题44．2 从1、2、3、4、6、8六个数字中任取两个，作为被除数与除
数，问比 1 大的不同的商有多少个？
问题44. 3假设有A、R C三个城市，从A到C必须经过B.已知从A到
B 可以坐汽车或坐火车到达，而从B 到
C 则可以坐汽车或坐火车或坐飞机
到达.问：从A到C可以有多少种不同的旅行方式？
分析从A到C （ZC）可分两个阶段进行：第一阶段，从A到B （A-B）; 第二阶段，从B到C （B-C）,按照第一阶段使用的交通工具不同可以分为两类：
A-B B-CA一
（汽J汽
.向火）
*鸿，飞
* （火.海
（火，火）
*《火，飞
图44-1
所以，从A到C共有2X3 = 6种不同的旅行方式.
上述解法中的图示叫做枝形图（图44-1）,在解不太复杂的计数问题中很有用.
问题44. 4有一位小学生，从武汉出发，到a、b、c三个城市去游览.他
今天到这个城市，明天就到另一个城市.现在知道这位小学生第一天到 a
城，第四天仍回到a城，你能知道这位小学生有多少种旅行路线吗？
分析解决这个问题的一个很自然的想法是，把旅行路线的所有可能性一一列举出来，然后从中挑选出满足要求的路线.
解先用枝形图（见图44-2）表示这个小学生四天旅行的全部可能的路线：
……第-乐
—第二^
…第三天第
四天
图44-2
从图中明显地看出，这个小学生第四天到a城的旅行路线有两种:
第一种武汉一a-b一c-a；
第二种武汉一a-c一b-a.
问题44. 5用0、1、2、3这四个数码可以组成多少个没有重复数字的三位数？
有时枚举的对象或可能性较多，如果兼用一些推理，可变逐一列举为逐类分析，简化解
题过程.
问题44. 6甲、乙、丙、丁4位优秀学生坐在一张方桌的4边，等待老师向他们发奖.奖品共有5种，每种奖品都有多份.如果只给每人发一种奖品中的一份，而且要求坐在邻位上的两人所得的奖品不同，问共有多少种不同的发奖方法？
分析先让甲、乙、丙、丁在方桌4边坐定，不妨设四人的座位如图44— 3所示.
发给甲的奖品可以是5种奖品中的任一种，因而有5种不同取法.甲的奖品每选定一种，乙和丁只能从剩下的4种奖品中各任选一种.
由于乙、丁的奖品对内取何种奖品会有影响，因此需分乙、丁奖品相同或不同两种情况加以讨论.
（1）如果乙、丁所得的奖品相同，则乙只能从除甲有的奖品外剩下的4种奖品中任选一种，有4种选法.当乙选定后，丁也就相应地选定了奖品.丙与乙和丁都邻座，因此不能选与他们相同的奖品，但可与甲的奖品相同.因此丙可以从乙、丁所有的那种奖品以外的4种奖品中任选一种.从而知在这种情况下共有5X4X4=80 （种）发奖方法.
（2）如果乙、丁所得奖品不同，则乙的奖品有4种不同的选法（除去甲已选的一种），而丁的奖品只能从甲、乙已选定后剩下的3种奖品中去选，有3种选法，这时内可选乙、丁选后剩下的3种奖品之一，也有3 种选法.所以在这种情况下共有5X4X3X32=180 （种）发奖方法.
合起来，全部不同的发奖方法共有
80+ 180= 260 （种）
问题44. 7小玲的爷爷几年前逝世，逝世时的年龄是他出生的年数
的小玲的父亲1955年上小竽一年级.问这一年小玲的爷爷的年龄有多大?
练习44
1.甲、乙、丙、丁与小强一
盘.到现在为止，甲已经赛了1盘.
问小强已经赛了几盘？
2.某校六年级有甲、乙、丙、丁四个班开展“纪律”、“卫生”评比竞赛.学校制作了“纪律优胜”和“卫生优胜”两面锦旗，奖给纪律、卫生最好的班级.想一想，可能出现多少种不同的得奖情况，并叙述你的推理方法.
3,已知A、R G D为自然数，且AX B= 24, CX D= 32, BX 又48, BX C= 24 .问A、B、C、D各为多少？
4.甲、乙二人打乒乓球，谁先连胜头两局谁赢，如果没有人连胜头两局，谁先胜三局谁赢.问共有多少种可能的情况？
5.从1至I 100的自然数中，每次取出2个数，要使它们的和大于100, 问共有多少种取法？
练习44
问题44. 2 8个.问题44. 5 16个.
问题44. 7把小于1955的29的倍数枚举出来:
1943, 1914, 1885, 1856,…
在这些数中哪一个是小玲爷爷的出生年数呢？如果是1885,那么小
玲爷爷1955年时的年龄就等于1955-1885=70 （岁）.而他逝世时的年龄为1885+
29=65 （岁），这显然是个矛盾，也就是说小玲爷爷不能在1885
年出生.同样的方法不难知道在比1885年更早的年数里出生也不行.现在，还剩下1943和1914两个数，如果在1943年出生，1955年时的年龄为1955-1943=12 （岁），这当然也是不合情理的，因为小玲的父亲不可能在他爷爷12岁时上小学.把所有不可能的情况都排除了，就不难知道小玲爷爷出生年数为1914年，1955年时的年龄为41岁.
1.根据题设，已赛过的几盘棋分别如下:
5位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛
4盘，乙赛了3盘，内赛了2盘，丁赛了
所以，小强已经赛了2盘.
2.如果甲班获得“纪律优胜”锦旗，那么“卫生优胜”锦旗可能仍由甲班获得，也可能由乙班、丙班、丁班获得，共有四种不同的得奖情况.同理，当乙班、丙班、丁班分别获得“纪律优胜”锦旗时，也各有四种不同的得奖情况.
所以，可能出现4X4=16 （种）不同的得奖情况.
3.因为C是24、32的公约数，又24、32的最大公约数是8,所以C 是8的正约数.
若C=1,贝U从CX D=32得D=32,再从BX D=48,得
这与B为自然数的条件矛盾.
若C=2或8,同样可导致矛盾.
若C=4,可求得D=8, B=6, A=4满足题意.
4,先考虑甲赢、乙输共有多少种可能性.画出下面表格，列举出所有甲麻、乙输的情况：
表中表示胜一局，“X”表示输一局.从表中可以看出来，甲麻乙输共有7种不同的方法.同样，乙赢甲输也有7种不同的方法.故共有14种可能的情况.
5.自1至100这100个不等的数中，每次取出2个，其中必定有一个较小的.又这两数之和大于100,我们可以枚举较小数的所有可能性来分析.
较小数是1,只有1种取法，即{1 ,100};
较小数是2,有2种取法，即
{2, 99}和{2, 100};依此类推……；
较小数是50,有50种取法，即
{50, 51}和{50, 52},…，{50, 100};
较小数是51,有49种取法，即
{51 , 52}和{51 , 53},…，{51 , 100};依此类推较小数是99,只有1种取法，即{ 99, 100}.
所以，共有取法：
1+2 + 3+---+ 50 + 49+48+- + 2+1
=2 X（49+；） X49 + 50 = 250。

（种）.。