湖北省宜昌市葛洲坝中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题

宜昌市葛洲坝中学2018-2019学年第一学期
高一年级期末考试试卷 数学试题
★祝考试顺利★ 注意事项：
1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一．选择题（每小题5分，共60分）
1．已知集合A ＝{x|0<x≤1}，B ＝{x|x 2
<1}，则(∁R A)∩B＝( ) A ．(0,1) B ．[0,1] C ．(－1,1] D ．(－1,0] 2．下列四组函数，表示同一函数的是（ ） A ． B ．， C ． D ．
3．函数的定义域为（ ） A ． B ． C ． D ．
4．已知，则m 、n 、p 的大小关系为( ) A ．nmp B ．npm C ．pnm D ．mpn
5．已知()1tan 2πα+=，则sin cos 2sin cos αα
αα
-+=（ ） A ．14 B ．12 C ．14- D ．12
-
6．若点55,cos 66sin
ππ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
在角α的终边上，则sin α=（ ）
A
．12 C
．-．12-
7．如图所示，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、AC 的中点，则下列结论正确的是( ) A ． B ．= C ． D ．
8．函数()()sin f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（ ） A ．()2sin 33f x x ππ⎛⎫=-
⎪⎝⎭ B ．()2sin 16f x x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
C ．()2sin 3f x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
D ．()2sin 6
6f x x π
π⎛⎫=-
⎪⎝⎭
9．将函数)6
sin()(π
-
=x x f 图像上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再将它的图
像向左平移ϕ个单位)0(>ϕ，得到了一个偶函数的，则ϕ的最小值为（ ） A ．
6π B ．4π C ．3π D ．6
5π
10．已知函数是奇函数，当时，，则的解集是（ ） A ． B ． C ． D ．
11．函数sin y x = 的定义域为[]a b ，
，值域为1⎡-⎢⎣
⎦ ，则b a - 的最大值和最小值之差等于
（ ） A ．
53π B ．56
π
C ．2π
D ．π 12．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()4f x f x +=，且(]2,2x ∈-时，
()()
2111
,022{ 2,20
x x x x x f x x x x ⎛⎫
+--<≤ ⎪⎝
⎭=-+-<≤，则()()4log g x f x x =-零点个数是（ ）
A ．4
B ．7
C ．8
D ．9
二．填空题（每小题5分，共20分）
13．已知向量，，若向量∥，则实数________ 14．已知函数，则__________． 15．已知，则__________．
16．下列说法： ①正切函数在定义域内是增函数； ②函数是奇函数；
③是函数的一条对称轴方程；
④扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角为； ⑤若是第三象限角，则取值的集合为，
其中正确的是__________．（写出所有正确答案的序号）
三．解答题（共70分）
17．（本小题10分）已知()()1,2,3,2a b ==-.
（1）求2a b -的坐标； （2）当k 为何值时， ka b +与2a b -共线.
18．（本小题12分）计算： ⑴5log 333
332
2log 2log log 859
-+- ⑵
1
12
22
13
4142290.064
---⎛⎫+
+⨯ ⎪⎝⎭
19．（本小题12分）
已知二次函数()y f x =的最大值是4，且不等式()0f x >的解集为(1,3)-． （1）求()f x 的解析式；
（2）若存在[2,2]x ∈-，使得()0f x m -≤成立，求实数m 的取值范围．
20．（本小题12分）已知()1sin 226f x x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝⎭
（1）求函数()f x 的的最小正周期；
（2）求函数()f x 的最大值，并写出取最大值时自变量x 的集合； （3）求函数()f x 在0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上的单调区间；
21.（本小题满分12分）
已知点()()
11,A x f x ， ()()
22,B x f x 是函数()()2sin f x x ωϕ=+（0ω>， 02
π
ϕ-<<）图
象上的任意两点，且角ϕ的终边经过点(1,P ，若()()124f x f x -=时， 12x x -的最小值为
3
π． （1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 的单调递增区间； （3）当0,6x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，不等式()()2mf x m f x +≥恒成立，求实数m 的取值范围．
22.（本小题满分12分）
对于定义域为D 的函数)(x f y =，如果存在区间D n m ⊂],[，同时满足：①)(x f 在],[n m 内是单调函数；②当定义域是],[n m 时，)(x f 的值域也是],[n m ．则称],[n m 是该函数的“和谐区间”． （1）证明：]1,0[是函数)(x f y ==2x 的一个“和谐区间”． （2）求证：函数x
x g y 5
3)(-
==不存在“和谐区间”． （3）已知：函数x
a x a a x h y 221
)()(-+==（∈a R ，0≠a ）有“和谐区间” ],[n m ，当a 变化时，
求出m n -的最大值．
宜昌市葛洲坝中学2018-2019学年第一学期
高一年级期末考试试卷数学试题答案
命题人：李贤 审题人：宋爱华
1．D 2．D 3．A 4．B 5．C 6．C 7．D 8．A 9．C 10．A 11．B 12．C 1．D 【解析】
因为2{| 01},{| 1}A x x B x x =<≤=<， 所以(]
()(),01,,1,1R A B =-∞⋃+∞=-ð，所以()(]
1,0R A B ⋂=-ð，故选D. 2．D 【解析】 【分析】
分别判断两个函数的定义域值域、和对应法则是否一致，即可得结果. 【详解】
对于，两个函数的对应法则不相同，不是同一函数； 对于的定义域为，而的定义域为定义域不同，不是同一函数. 对于，两个函数的定义域不相同，不是同一函数.
对于的定义域、值域为， 的定义域、值域为，两个函数的定义域、值域和对应法则相同，是同一函数， 故选D. 【点睛】
本题通过判断几组函数是否为同一函数主要考查函数的定义域、值域以及对应法则，属于中档题.判断函数是否为同一函数，能综合考查学生对函数定义的理解，是单元测试卷经常出现的题型，要解答这类问题，关键是看两个函数的三要素：定义域、值域、对应法则是否都相同，三者有一个不同，两个函数就不是同一函数. 3．A 【解析】 【分析】
由函数的解析式可得，化简可得 ，由此求得函数的定义域． 【详解】
由函数的解析式可得， ∴，解得， 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查对数函数的定义域，对数不等式的解法，属于基础题．对于函数定义域问题，首先分式要满足分母不为0，根式要求被开方数大于等于0，对数要求真数大于0，幂指数要求底数不等于0即可. 4．B
【解析】解析：因为，即，又，即，故应选B.
点睛：本题设置的目的是综合考查指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质及数形结合思想等知识和方法的运用，求解的关键是准确利用所学函数的图象与单调性进行分析求解，对转化与化归的能力要求较高. 5．C
【解析】由()1tan 2πα+= 得： 1
tan 2
α=， 所以11
sin cos tan 1122sin cos 2tan 1114
αααααα---===-+++，故选D.
6．C
【解析】由题意得5sin cos 6πα==，选C. 7．D
【解析】△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、AC 的中点，∴（+）=+，∴A 错误；+=2，∴B 错误；+++，∴C 错误； ，∴D 正确．故选D ．
8．A
【解析】试题分析：根据题意，图像中最大值和最小值分别为2，-2，那么A=2，同时可知2（4-1）=6，是二分之一周期的长度，因此一个周期的长度为6，因此263
w w ππ
=∴=，然后代入点（1，0），可知，f(1)=0,则可知0=2sin(3
π
ϕ+),那么可得
03
3
π
π
ϕϕ+=∴=-
符
合题意。

故选A.
考点：本试题主要是考查了三角函数的解析式的求解运用。

点评：解决这类问题的关键是能通过结合图像来得到振幅，从而得到A ，再结合周期得到w ，对于ϕ的求解，代入一个特殊点然后解方程即可。

熟练的理解三个参数与三角函数性质之间的关系运用。

属于基础题。

9．C 【解析】
试题分析：将函数)6
sin()(π
-=x x f 图像上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不
变），可得函数
sin(2)6
y x π
=-图像；再将它的图像向左平移ϕ个单位)0(>ϕ，可得函数
sin[2()]sin(22)66y x x ππϕϕ=+-=+-的图像，再根据sin(22)6
y x π
ϕ=+-为偶函数，
可得
2,6
2
k k Z π
π
ϕπ-
=+
∈，即,23
k k Z ππϕ=
+∈，则ϕ的最小值为3π
，故应选C ．
考点：1、函数sin()y A x ωϕ=+的图像及其变换；2、三角函数的图像及其性质． 【思路点睛】本题主要考查了函数sin()y A x ωϕ=+的图像及其变换和三角函数的图像及其性质，属中档题．其解题的一般思路为：首先根据函数sin()y A x ωϕ=+的图像变换规
律，可得所得函数sin(22
)6
y x π
ϕ=+-，再根据sin(22)6
y x π
ϕ=+-
为偶函数，可得
2,6
2
k k Z π
π
ϕπ-
=+
∈，由此可得出ϕ的最小值．
10．A 【解析】 【分析】
由题意，根题设条件，分别求得，当和时，的解集，由此可求解不等式的解集，得到答案。

【详解】
由题意，当时，令，即，解得，
又由函数是奇函数，函数的图象关于原点对称， 则当时，令，可得，
又由不等式，则满足或，解得或，即 不等式的解集为，故选A 。

【点睛】
本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，以及数列应用函数的奇偶性的转化是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。

11．B
【解析】
值域为1,2⎡-⎢⎣⎦
，由sin y x =图象，可得得b a -的最大值为45333ππ
π
⎛⎫--= ⎪⎝⎭
，最小值为
5,326
π
ππ
⎛⎫--= ⎪⎝⎭所以b a - 的最大值和最小值之差等于555366πππ-= ，故选B. 12．C
【解析】根据()()4f x f x +=可知，函数的周期为4，画出()f x 与4log y x =的图象如下图所示，由图可知它们交点个数为8，也即()g x 的零点个数为8个.
【点睛】本题主要考查周期函数图像的画法，考查分段函数图像的画法，考查含有绝对值函
数的图像画法.对于分段函数，需要将图像每一段都画出来，题给函数()f x 第一段函数含有两个绝对值，则分成()[]
0,1,1,2两段，去绝对值来画. log a y x =的图像是由log a y x =的图像保留，然后关于y 轴对称再画另一半所得. 13． 【解析】 【分析】
直接利用向量共线的坐标运算得答案． 【详解】
因向量∥，所以－m ＝6，m ＝－6, 故答案为-6. 【点睛】
本题考查平面向量共线的坐标运算，是基础题． 14．
【解析】分析：因为 ，所以。

所以 详解：
点睛：本题考查分段函数求值、幂的运算性质及对数运算。

对于分段函数求值问题，应注意括号内式子的范围适合分段函数的哪一段的自变量的范围。

15．
【解析】分析：根据诱导公式和同角三角函数关系式，对三角函数表达式进行变形应用。

详解：因为，所以
点睛：本题考查了三角函数诱导公式和同角三角函数关系式的综合应用。

熟练掌握 “奇变偶不变，符号看象限”的判断原则，属于中档题。

16．②③④
【解析】①正切函数在每个区间内是增函数；②是奇函数；③时，所以是函数的一条对称轴方程；④；⑤若是第三象限角，则是第二或第四象限角，因此取值的集合为，综上正确的是②③④.
17．（1）()7,2-（2）1
2
k =-
【解析】试题分析：（1）根据向量坐标运算公式计算；（2）求出ka b +的坐标，根据向量共线与坐标的关系列方程解出k; 试题解析：
（1）()()()21,223,27,2a b -=--=-
（2）()()()1,23,23,22ka b k k k +=+-=-+，
()()()21,223,27,2a b -=--=-
∵ka b +与2a b -共线， ∴()()72223k k +=-- ∴1
2
k =-
18．（1）1-（2）
83
【解析】试题分析：（1）按照对数的运算性质进行计算；（2）根据分数指数幂的运算法则进行计算即可。

试题解析： （1）()53
33
33222859log log log log -+- 333324839
log log log =+-- 33
32
3239
log log =-- 393log =- 231=-=-。

（2）
1
1
2
2
2
13
4142
290.064
---⎛⎫
+
-
+⨯ ⎪
⎝⎭
12
2
1
33
1124325⎡⎤⎛⎫=+-+⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
512243=
+⨯ 5126=+ 83
=。

19．（1）2
()23f x x x =-++；（2）5m ≥-． 【解析】
试题分析：（1）依题意函数两个零点为1,3x x =-=，对称轴为1x =，所以顶点为(1,4)，设出二点式方程，代入(1,4)求出a 的值，即2
()23f x x x =-++；（2）()0f x m -≤成立，
即[][]()
min ()2,2m f x x ≥∈-，min (2)5y f =-=-，所以5m ≥-． 试题解析：
（1）设2()f x ax bx c =++，由题意，0a <，且13b
a
-+=-
，13c a -⨯=，
故2b a =-，3c a =-，22()23(1)4f x ax ax a a x a =--=--，由已知得44a -=，故
1a =-，
所以2()23f x x x =-++．………………8分
（2）对称轴为1x =，[2,2]x ∈-时，min (2)5y f =-=-，故5m ≥-．………………12分 考点：一元二次不等式． 20．（1）T π=；（2）()max 1
2
f x =， |, 6x x k k Z ππ⎧⎫
=+∈⎨
⎬⎩⎭；(3) 0,6π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦单增， ,62ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦
单减.
21．（1）()2sin 33f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
．
（2）252,18
3183k k ππππ⎡⎤
-++⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）．（3）13m ≥．
【解析】试题分析：（1）由题意先求tan ϕ=02
π
ϕ-<<确定其值，再求出函
数的周期，利用周期公式求出
ω
的值，从而可求函数解析式.（2）令
2322
3
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+，即可解得函数的单调减区间.（3）由题意可得，
()()
()2122f x m f x f x ≥
=-
++恒成立，只需求0,6x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时， ()212f x -+的最大值即可.
试题解析：
（1）角ϕ的终边经过点(1,P ， tan ϕ= ∵02
π
ϕ-
<<，∴3
π
ϕ=-
．
由()()124f x f x -=时， 12x x -的最小值为3π，得23T π=，即223
ππ
ω=，∴3ω=，
∴()2sin 33f x x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
． （2）2322
3
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+，即25218
3183
k k x π
πππ
-
+
≤≤+，
∴函数()f x 的单调递增区间为252,18
3183k k ππππ⎡⎤
-
++⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）． （3）当0,
6x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，
()1f x ≤≤，于是， ()20f x +>， ()()2mf x m f x +≥等价于()()
()2122f x m f x f x ≥
=-
++，由0,6x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，得()()2f x f x +的最大值为13，
所以，实数m 的取值范围是1
3
m ≥
． 22．(1)证明见解析；(2)证明见解析；
【解析】
试题分析：(1)借助题设条件运用和谐区间的定义推证；(2)借助题设运用和谐区间的定义推证；(3)运用和谐区间的定义将其转化为二次方程有根的问题探求. 试题解析：
（1）因2x y =在区间]1,0[上单调递增． 又因为1)1(,0)0(==f f ，所以值域为]1,0[， 所以区间]1,0[是2)(x x f y ==的一个“和谐区间”．
（2）设],[n m 是已知函数定义域的子集．因0≠x ，)0,(],[-∞⊂n m 或),0(],[+∞⊂n m ， 故函数5
3y x
=-
在],[n m 上单调递增． 若],[n m 是已知函数的“和谐区间”，则()()g m m
g n n
=⎧⎪⎨
=⎪⎩ 故n m ,是方程5
3x x
-
=的同号的相异实数根． 因0532
=+-x x 无实数根， 故函数53y x
=-不存在“和谐区间”．
（3）设],[n m 是已知函数定义域的子集．因0≠x ，)0,(],[-∞⊂n m 或),0(],[+∞⊂n m ，
故函数()2
22111
a a x a y a x
a a x
+-+=
=
-在],[n m 上单调递增． 若],[n m 是已知函数的“和谐区间”，则()()h m m
h n n
=⎧⎪⎨
=⎪⎩
故n m ,是方程211
a x a a x
+-=，即01)(222=++-x a a x a 的同号的相异实数根． ∵2
10mn a
=
>，∴n m ,同号，只须0)1)(3(2
>-+=∆a a a ,并解得不等式的解集为3-<a 或1>a ，
已知函数有“和谐区间” ],[n m ， ∵n m -==，
∴当3=a 时，m n - 考点：和谐区间的定义及函数方程思想等有关知识的综合运用．
【易错点晴】本题以函数的定义域为背景,定义了和谐区间的新概念.然后精心设置了三个三个能够运用和谐区间的及其它知识的问题.重在考查迁移新概念和信息的能力及综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力.求解第一问时,只要运用和谐区间的定义推证即可;解答第二问时,先借助和谐区间的定义将问题等价转化为方程x x
=-
5
3有无同号的相异实数根的问题;第三问的范围问题,也是借助和谐区间的定义将问题转化为方程
x x
a a a =-+21
1，有两个同号的实数根的问题,即方程01)(222=++-x a a x a 的同号的相异实数根,然后运用判别式建立不等式0)1)(3(>-+a a ,并解得不等式的解集为3-<a 或
1>a ,从而使得问题获解.。