黑龙江省牡丹江市2019-2020学年八年级上学期期中数学试卷 (有解析)

黑龙江省牡丹江市2019-2020学年八年级上学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1.如图所示，图中不是轴对称图形的是()
A. B. C. D.
2.如图，有一块三角形的玻璃，不小心掉在地上打成三块，现要到玻璃
店重新划一块与原来形状、大小一样的玻璃，只需带到玻璃店去的是
()
A. ①
B. ②
C. ③
D. ①、②、③其中任一块
3.将两块直角三角板的直角顶点重合，如图所示，若∠AOD=128°，则
∠BOC的度数是()
A. 45°
B. 52°
C. 60°
D.
50°
4.如图，在△ABC中，BC=12，AB的中垂线交BC于D，AC的中
垂线交BC于E，则△ADE的周长等于()
A. 12
B. 13
C. 14
D.
15
5. 6.已知等腰三角形的一内角度数为40°，则它的顶角的度数为()
A. 40°
B. 80°
C. 100°
D. 40°或100°
6.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC
的面积是()
A. 10
B. 15
C. 20
D. 30
7.如图，∠ABC=30°，点D、E分别在射线BC、BA上，且BD=2，BE=4，
点M、N分别是射线BA、BC上的动点，当DM+MN+NE最小时，(DM+ MN+NE)2的值为()
A. 20
B. 26
C. 32
D. 36
8.若△ABC中，∠B、∠C的外角平分线交于点E，则∠BEC等于()
A. 1
2(90°+∠A) B. 90°−∠A C. 1
2
(180°−∠A) D. 180°−∠A
9.如图，已知AB=AC=BD，那么()
A. ∠1=∠2
B. 2∠1+∠2=180°
C. ∠1+3∠2=180°
D. 3∠1−∠2=180°
10.若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为()
A. 2cm
B. 4cm
C. 6cm
D.
8cm
11.如图，将三角形纸片ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合，
折痕分别交BC，AB于点D，E.如果AC=5cm，△ADC的周长为17cm，
那么BC的长为()
A. 7cm
B. 10cm
C. 12cm
D.
22cm
12.如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：
①∠AED=90°，②∠ADE=∠CDE，③DE=BE，④AD=AB+CD，四个
结论中成立的是()
A. ①②④
B. ①②③
C. ②③④
D. ①③
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
13.13.一个多边形的内角和比四边形内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形
的每个内角的度数是____．
14.若点M(m,−1)关于x轴的对称点是N(2,n)，则m+n的值是______．
15.如图，CD=CB，那么添加条件_______________ 能根据SAS判定△
ABC≌△ADC．
16.三角形的三边长分别为3、7、a，且a为偶数，则这个三角形的周长为______ ．
17.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，CD与CE分别是斜边AB
上的高和中线，那么∠DCE=______ 度．
18.如图，顺次连接腰长为2的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角
形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第n个小三角形的面积为______ ．
19.等腰三角形的顶角是120°，底边上的高是3cm，则腰长为______cm．
20.如图，点A、B关于直线MN对称，点B、C关于直线DE对称，则
PA PC.(填“>”“<”或“=”)
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
21.解方程：|||x|–2|−1|=3
四、解答题（本大题共7小题，共54.0分）
22.多边形的每一个内角都相等，它的一个外角等于正十边形的一个内角的5
求这个多边形的边数．
12
23.如图，点B、C、D在同一直线上，AB=AD=CD，∠C=36°.求∠BAD的度数．
24.如图，已知点B，C，F，E在同一直线上，∠1=∠2，BF=CE，AB//DE.
求证：△ABC≌△DEF．
25.已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，点P在AB上．
求证：PC=PD．
26.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
AB=6，AC=4，若S△ABD=9，求S△ACD．
27.(1)已知：△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC=
∠DCE，若∠A=60°(如图①).求证：EB=AD；
(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其它条件不变(如
图②)，(1)的结论是否成立，并说明理由；
(3)若将(1)中的“若∠A=60°”改为“若∠A=90°”，其它条件不变，则EB
的值是多少？(直接
AD 写出结论，不要求写解答过程)
28.如图，在边长为8的等边三角形ABC中，点D沿射线AB方向由A向B运动，点F同时从C出
发，以相同的速度每秒1个单位长度沿射线BC方向运动，过点D作DE⊥AC，连结DF交射线AC于点G．
(1)当DF⊥AB时，求AD的长；
AC．
(2)求证：EG=1
2
(3)点D从A出发，经过几秒，CG=1.6？直接写出你的结论．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：C
解析：
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对图中的图形进行判断．
解：A.有四条对称轴，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B.有三条对称轴，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，故本选项符合题意；
D.有两条对称轴，是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选C．
2.答案：C
解析：
本题考查了全等三角形的应用，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键．
根据三角形全等的判定方法解答即可．
解：由图可知，带③去可以利用“角边角”得到与原三角形全等的三角形．
故选C．
3.答案：B
解析：
本题考查了角度的计算，理解∠BOC=∠AOB+∠COD−∠AOD是关键．
根据∠BOC=∠AOB+∠COD−∠AOD，即可求解．
解：∠BOC=∠AOB+∠COD−∠AOD=90°+90°−128°=52°．
故选：B．
4.答案：A
解析：解：∵AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，
∴DB=DA，EC=EA，
∴△ADE的周长=AD+AE+DE=BD+DE+EC=BC=12，
故选：A．
根据线段垂直平分线的性质得到DB=DA，EC=EA，根据三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
5.答案：D
解析：【详解】
①若40°是顶角，则底角=180∘−40∘
2
=70°；②若40°是底角，那么顶角
=180°−2×40°=100°.故选D．
6.答案：B
解析：解：如图，过D作DE⊥BC于E，
∵∠A=90°，
∴DA⊥AB，
∵BD平分∠ABC，
∴AD=DE=3，
∴△BDC的面积是1
2×DE×BC=1
2
×10×3=15，
故选B．
过D作DE⊥BC于E，根据角平分线性质求出DE=3，根据三角形的面积求出即可．
本题考查了角平分线的性质和三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．7.答案：A
解析：解：如图，作点D关于BA的对称点G，作点E关于BC的对称点H，连接GH交AB有M，交BC有N，连接DM、EN，此时DM+MN+NE的值最小．
根据对称的性质可知：BD=BG=2，BE=BH=4，DM=GM，EN=NH，
∴DM+MN+NE的最小值为线段GH的长，
∵∠ABC=∠GBM=∠HBC=30°，
∴∠HBG=90°，
∴GH2=BG2+BH2=20，
∴当DM+MN+NE最小时，(DM+MN+NE)2的值为20，
故选：A．
如图，作点D关于BA的对称点G，作点E关于BC的对称点H，连接GH交AB有M，交BC有N，连接DM、EN，此时DM+MN+NE的值最小．再证明∠HBG=90°，利用勾股定理即可解决问题；本题考查轴对称−最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
8.答案：C
解析：
(180°+∠A)，再根据三角形的内角和定理，先画出图形，根据题意由外角的性质，得∠2+∠3=1
2
求出∠BEC与∠A的关系．
本题考查了三角形外角的性质以及三角形的内角和定理．了解三角形外角的性质，结合三角形内角和定理列出等量关系是本题的解题关键．
解：如图，
∵CE、BE分别为∠ACB、∠ABC的外角平分线，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠2=∠A+∠CBA，∠3+∠4=∠A+∠ACB，
∴∠2+∠3=1
2
(∠A+∠CBA)+
1
2
(∠A+∠ACB)
=1
2
(180°+∠A)，
∵∠BEC+∠2+∠3=180°，
∴∠BEC=180°−1
2
(180°+∠A)=90°−
1
2
∠A
=1
2
(180°−∠A)．
故选C．
9.答案：D
解析：
根据等边对等角得出∠B=∠C，∠BAD=∠1，根据三角形外角的性质和三角形内角和得出∠C+
2∠1=180°，然后根据∠C=∠1−∠2，即可求得3∠1−∠2=180°．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
解：∵AB=AC=BD，
∴∠B=∠C，∠BAD=∠1，
∵∠1=∠C+∠2，
∴∠BAD=∠1=∠C+∠2，
∵∠B+∠1+∠BAD=180°，
∴∠C+2∠1=180°，
∵∠C=∠1−∠2，
∴∠1−∠2+2∠1=180°，
即3∠1−∠2=180°．
故选：D．
10.答案：A
解析：解：若2cm为等腰三角形的腰长，则底边长为10−2−2=6(cm)，2+2<6，不符合三角形的三边关系；
若2cm为等腰三角形的底边，则腰长为(10−2)÷2=4(cm)，此时三角形的三边长分别为2cm，4cm，4cm，符合三角形的三边关系；
故选：A．
分为两种情况：2cm是等腰三角形的腰或2cm是等腰三角形的底边，然后进一步根据三角形的三边
关系进行分析能否构成三角形．
此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，同时注意三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边．
11.答案：C
解析：
此题主要考查了翻折变换的性质，根据题意得出AD=BD是解题关键．
利用翻折变换的性质得出AD=BD，进而利用AD+CD=BC得出即可．
解：∵将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合，
∴AD=BD，
∵AC=5cm，△ADC的周长为17cm，
∴AD+CD=BC=17−5=12(cm)．
故选：C．
12.答案：A
解析：
本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形全等的判定与性质．过E作EF⊥AD于F，易证得Rt△AEF≌Rt△AEB，得到BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB；而点E是BC的中点，得到EC=EF=BE，则可证得Rt△EFD≌Rt△ECD，得到DC=DF，∠FDE=
∠BEC=90°，即可判断∠CDE，也可得到AD=AF+FD=AB+DC，∠AED=∠AEF+∠FED=1
2
出正确的结论．
解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴EF=EB，
在Rt△AEF和Rt△AEB中，
,
∵{AE=AE
EF=EB
∴Rt△AEF≌Rt△AEB
∴BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC=EF=BE，所以③错误；
在Rt△EFD与Rt△ECD中，
,
∵{EF=EC
DE=DE
∴Rt△EFD≌Rt△ECD，
∴DC=DF，∠FDE=∠CDE，所以②正确；
∴AD=AF+FD=AB+DC，所以④正确；
∴∠AED=∠AEF+∠FED=1
∠BEC=90°，所以①正确．
2
故选A．
13.答案：135°
解析：
设边数为n，根据一个多边形的内角和比四边形内角和多720°列方程求解即可．
【详解】
设边数为n，根据题意，得
(n−2)×180=360+720
(n−2)×180=1080
n−2=6
∴n=8．
1080°÷8=135°．
故答案为：135°
本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征，还需要懂得挖掘此题隐含着边数为正整数这个条件．本题可用整式方程求解．
14.答案：3
解析：解：∵点M(m,−1)关于x轴的对称点是N(2,n)，
∴m=2，n=1，
故答案为：3．
直接利用关于x轴对称点的性质，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得出答案．
此题主要考查了关于x轴对称的点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
15.答案：∠DCA=∠ACB
解析：
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．CD=CB，公共边AC=AC，要利用SAS判定△ABC≌△ADC，需加条件∠DCA=∠ACB．
解：添加条件：∠DCA=∠BCA，
在△ABC和△ADC中，
CD=CB，∠DCA=∠ACB，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC(SAS)．
故答案为∠DCA=∠ACB．
16.答案：16或18
解析：
据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．7−3<a<7+3，即4<a<10，又第三边是偶数，故a的值为6、8；三角形的周长可求．
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边．
解：∵7−3<a<7+3，
∴4<a<10，
又∵第三边是偶数，
∴a的值为6或8；
∴三角形的周长为：3+6+7=16或3+8+7=18．
故答案为16或18．
17.答案：50
解析：解：∠A=20°，CD为AB边上的高，
∴∠ACD=70°，
∵∠ACB=90°，CE是斜边AB上的中线，
∴∠ACE=∠A=20°，
∴∠DCE的度数为70°−20°=50°．
故答案为：50．
根据直角三角形中线的性质及互为余角的性质计算．
此题主要考查了直角三角形中线的性质及互为余角的性质．
18.答案：1
22n−1
解析：解：记原来三角形的面积为s，第一个小三角形的面积为s1，第二个小三角形的面积为s2，…，
∵s1=1
4⋅s=1
22
⋅s，
s2=1
4⋅1
4
s=1
24
⋅s，
s3=1
26
⋅s，
∴s n=1
22n ⋅s=1
22n
⋅1
2
⋅2⋅2=1
22n−1
，
故答案为1
22n−1
．
记原来三角形的面积为s，第一个小三角形的面积为s1，第二个小三角形的面积为s2，…，求出s1，s2，s3，探究规律后即可解决问题．
本题考查三角形的中位线定理，三角形的面积等知识，解题的关键是循环从特殊到一般的探究方法，寻找规律，利用规律即可解决问题．
19.答案：6
解析：解：如图，
AB=AC，AD⊥BC于点D，AD=3cm，∠BAC=120°，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=(180°−∠BAC)÷2=30°，
∵AD⊥BC，
∴AB=3÷1
2
=6cm．
故填：6．
画出图形，可求得底角为30度，结合已知，由含30°的直角三角形的性质可求得腰的长．
本题考查了等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质；求得30°的角是正确解答本题的关键．20.答案：=
解析：
此题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.两次运用垂直平分线的性质是正确解答本题的关键．
由已知条件，根据线段垂直平分线的性质，首先可得PA=PB，进而得到PB=PC，于是答案可得．解：如图，连结PB．
∵点A、B关于直线MN对称，
∴直线MN是线段AB的垂直平分线，∴PA=PB．
同理，PB=PC．
∴PA=PC.
21.答案：解：–2|−1|=3，
∴||x|−2|−1=±3，
∴||x|−2|−1=3或||x|−2|−1=−3，
所以，
则|x|−2=±4，
∴|x|−2=4或|x|−2=−4，
，
∴x=6或−6．
解析：本题主要考查了含有绝对值符号的一元一次方程的解法，主要使用绝对值的性质进行求解即可，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键，根据绝对值的性质依次由外及内去绝对值号即可．
22.答案：解：设这个多边形的边数为n，则360
n =180×(10−2)
10
×5
12
解得n=6
答：这个多边形的边数是6．
解析：本题考查多边形的内角和与外角和定理．根据内角和定理求出正十边形的内角，根据外角和定理表示出这个多边形的一个外角，根据题意列出方程即可求解．
23.答案：解：∵AD=DC
∴∠DAC=∠C，
∵∠C=36°，
∴∠DAC=36°，
∴∠BDA=∠C+∠DAC═72°，
∵AB=AD
∴∠BDA=∠B=72°，
∴∠BAD=180°−∠BDA−∠B=36°．
解析：首先利用等腰三角形的性质求得∠DAC的度数，然后求得∠BDA的度数，最后利用三角形的内角和求得∠BAD的度数．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24.答案：证明：∵BF=CE，
∴BF−FC=CE−CF，即BC=EF，
∵AB//DE，
∴∠E=∠B，
在△ABC和△DEF中，
{∠B=∠E ∠1=∠2 BC=EF
，
∴△ABC≌△DEF(AAS)．
解析：首先根据平行线的性质可得∠E=∠B，进而求得BC=EF，再加上∠1=∠2，可利用AAS证明△ABC≌△DEF．
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
25.答案：证明：
∵∠1=∠2，∠3=∠4，AB=AB
∴△ABD≌△ABC(ASA)
∴AD=AC，又∵PA=PA
∴△ADP≌△ACP(SAS)
∴PC=PD
解析：此题考查全等三角形的证明，掌握其证明方法如ASA、AAS等是解决问题的关键．
利用ASA和SAS即可．
26.答案：解：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF，
∵S△ABD=9，AB=6，
∴DE=3，
∴DF=3，
∵AC =4，
∴S △ACD =1
2
AC ⋅DF =6， 故答案为：6．
解析：根据角平分线的性质得到DE =DF ，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 27.答案：(1)证明：作DF//BC 交AC 于F ，如图1所示：
则∠ADF =∠ABC ，∠AFD =∠ACB ，∠FDC =∠DCE ，
∵△ABC 是等腰三角形，∠A =60°，
∴△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC =∠ACB =60°，
∴∠DBE =120°，∠ADF =∠AFD =60°=∠A ，
∴△ADF 是等边三角形，∠DFC =120°，
∴AD =DF ，
∵∠DEC =∠DCE ，
∴∠FDC =∠DEC ，ED =CD ，
在△DBE 和△CFD 中，{∠DEC =∠FDC
∠DBE =∠DFC =120° ED =CD
，
∴△DBE≌△CFD(AAS)，
∴EB =DF ，
∴EB =AD ；
(2)解：EB =AD 成立；理由如下：
作DF//BC 交AC 的延长线于F ，如图2所示：
同(1)得：AD =DF ，∠FDC =∠ECD ，∠FDC =∠DEC ，ED =CD ，
又∵∠DBE =∠DFC =60°，
∴在△DBE 和△CFD 中，{∠DEC =∠FDC ∠DBE =∠DFC ED =CD
， ∴△DBE≌△CFD(AAS)，
∴EB =DF ，
∴EB =AD ；
(3)解：EB AD =√2；理由如下：
作DF//BC 交AC 于F ，如图3所示：
同(1)得：△DBE≌△CFD(AAS)，
∴EB =DF ，
∵△ABC 是等腰直角三角形，DF//BC ， ∴△ADF 是等腰直角三角形，
∴DF =√2AD ，
∴
DF AD =√2， ∴EB
AD =√2．
解析：(1)作DF//BC 交AC 于F ，由平行线的性质得出∠ADF =∠ABC ，
∠AFD =∠ACB ，∠FDC =∠DCE ，证明△ABC 是等边三角形，得出∠ABC =∠ACB =60°，证出△ADF 是等边三角形，∠DFC =120°，
得出AD =DF ，由已知条件得出∠FDC =∠DEC ，ED =CD ，由AAS 证明△DBE≌△CFD ，得出EB =DF ，
即可得出结论；
(2)作DF//BC 交AC 的延长线于F ，同(1)证出△DBE≌△CFD ，得出EB =DF ，即可得出结论；
(3)作DF//BC 交AC 于F ，同(1)得：△DBE≌△CFD ，得出EB =DF ，证出△ADF 是等腰直角三角形，得出DF =√2AD ，即可得出结果．
本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．
28.答案：解：(1)设AD =x ，则CF =x ，BD =8−x ，BF =8+x ，
∵DF ⊥AB ，∠B =60°，
∴BD =12BF ，即8−x =1
2(8+x)，
解得，x =83，即AD =83；
(2)如图所示，过点D 作DH//BC ，交AC 于点H ，则∠HDG =∠F ，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ADH =∠AHD =∠A =60°，
∴△ADH 是等边三角形，
∴AD =DH ，
又∵点D 与F 的运动速度相同，
∴AD =CF ，
∴DH=FC，
在△DHG和△FCG中，
{∠DGH=∠FGC ∠HDG=∠F
DH=FC
，
∴△DHG≌△FCG(AAS)，
∴HG=CG，
∵△ADH为等边三角形，DE⊥AH，
∴AE=EH，
∴AC=AH+CH=2EH+2HG=2EG，
∴EG=1
2
AC．
(3)由(2)可知CG=CH=1.6，
∴AD=AH=8−3.2=4.8或AD=AH=8+3.2=11.2，
∴t=4.8s或11.2s时，CG=1.6．
解析：(1)设AD=x，根据直角三角形的性质列出方程，解方程即可；
(2)过点D作DH//BC，交AC于点H，则∠HDG=∠F，先判定△ADH是等边三角形，再根据等量代换得到DH=FC，进而判定△DHG≌△FCG(AAS)，得到HG=CG，再根据△ADH为等边三角形，DE⊥AH，得出AE=EH，最后得出AC=AH+CH=2EH+2HG=2EG；
(3)分两种情形解答即可；
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形和等边三角形，依据等边三角形三线合一以及全等三角形的对应边相等进行推导．。