19届高考理数百强名校试题解析精编版：广东省惠州市2019届高三上学期第一次调研考试理数试题解析(原卷版)

惠州市2019届高三第一次调研考试
理科数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号等考生信息填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知全集{}，，，，，43210=U 集合{}，，，321=A {}，，42=B 则U C A B （）为（ ）．
（A ）{
}421，， （B ）{}432，， （C ）{}420，， （D ）{}4320，，， （2）复数i
-+251（i 是虚数单位）的模等于（ ）．
（A ）10 （B ）10 （C （D ）5
（3）下列命题中的假命题是（ ）．
（A ）0lg ,=∈∃x R x （B ）0tan ,=∈∃x R x
（C ）02,>∈∀x R x （D ）0,2>∈∀x R x
（4）已知向量(,2),(1,1)m a n a =-=-，且//m n ，则实数a ＝（ ）．
（A ）－1 （B ）2或－1 （C ）2 （D ）－2
（5）ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3,2,a b c A ===∠则＝（ ）
． （A ）O 30 （B ）O 45 （C ）O 60 （D ）O 90
（6）已知函数⎩⎨⎧≤>=0
,20,log )(3x x x x f x ，则))91((f f =（ ）.
（A ）12 （B ）14 （C ）16 （D ）18
（7）已知某几何体的三视图如右图所示，正视图和侧视图是边长为1的正方形，俯视图是腰
长为1的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（ ）．
（A ）2 （B ）1 （C ）21 （D ）13
（8）已知实数,x y 满足约束条件10100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+的最大值为（ ）．
（A ）2- （B ）2 （C ）1 （D ）1-
（9）函数x x x f 3
2cos 32sin )(+=的图象中相邻的两条对称轴间距离为（ ）． （A ）3π （B ）π34 （C ）π23 （D ）π6
7 （10）设,,αβγ为不同的平面，,,m n l 为不同的直线，则m β⊥的一个充分条件为（ ）．
（A ）αβ⊥，l αβ=，m l ⊥ （B ）m αγ=，αγ⊥，βγ⊥
（C ）αγ⊥，βγ⊥，m α⊥ （D ）n α⊥，n β⊥，m α⊥
（11）将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，
则每所大学至少保送1人的不同保送方法数为（ ）种。

（A ）150 （B ）180 （C ）240 （D ）540
（12）已知抛物线281x y =与双曲线)0(1222>=-a x a
y 有共同的焦点F ，O 为坐标原点， P 在x 轴上方且在双曲线上，则OP FP ⋅的最小值为（ ）
． （A ）323- （B ）332- （C ）47- （D ）4
3
主视图
侧视图
俯视图
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题～第21题为必考题，每个考生都必须做答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）若3sin(
)25
π
α+=，则cos 2α= ． （14）4)31(x x -的展开式中常数项为 ．（用数字表示） （15）2
2
1cos x dx ππ-+⎰()= ． （16）如下面数表为一组等式：
123451,
235,
45615,
7891034,
111213141565,s s s s s ==+==++==+++==++++
=
某学生猜测221(21)()n S n an bn c -=-++，若该学生回答准确，则3a b += ．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）
已知{}n a 为等差数列，且满足138a a +=，2412a a +=．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，若31,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值．
18．（本小题满分12分）
一个盒子中装有大量．．
形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到样本的重量频率分布直方图（如右图），
（Ⅰ）求a 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；
（Ⅱ）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[]5,15内的小球个数为X ，求X 的分布列和数学期望. (以直方图中的频率作为概率).
19．（本小题满分12分）
如右图,三棱柱111ABC A B C -中,112AB AC AA BC ====,1160AAC ∠=︒,平面1ABC ⊥平面11AAC C ,1AC 与1AC 相交于点D .
（Ⅰ）求证：BD ⊥平面11AAC C ；
（Ⅱ）求二面角1C AB C --的余弦值.
20．（本小题满分12分）
如图，曲线C 由上半椭圆22
122:1(0,0)y x C a b y a b
+=>>≥和部分抛物线22:1C y x =-+ (0)y ≤连接而成，12,C C 的公共点为,A B ，其中1C
（Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q （均异于点,A B ），若AP
AQ ⊥，求
直线l 的方程. C C 1
B 1 A A 1
B
D
21．（本小题满分12分）
已知函数()()2f x x x a =-，()()2
1g x x a x a =-+-+(其中a ∈R ). （Ⅰ）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值，并直接写出函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）令()()()F x f x g x =-，讨论函数()y F x =在区间[]1,3-上零点的个数。

请考生在第22、23、24题中任选一题做答。

如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，
BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连接AE ，BE .
证明：（Ⅰ）FEB CEB ∠=∠；
（Ⅱ）2EF AD BC =⋅.
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为1(2x t t y t
=+⎧⎨=+⎩为参数），以该直角坐标系的
原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，圆2C 的方程为
θθρsin 32cos 2+-=．
（Ⅰ）求直线1C 的普通方程和圆2C 的圆心的极坐标；
（Ⅱ）设直线1C 和圆2C 的交点为A 、B ，求弦AB 的长．
（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知1m >且关于x 的不等式|2|1m x --≥的解集为[0,4].
（Ⅰ）求m 的值；
（Ⅱ）若a ，b 均为正实数，且满足a b m +=，求22a b +的最小值.。