最新北师大版高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》检测(包含答案解析)

一、选择题
1．若,,a b c ∈R ，且||1a ≤，||1b ≤，||1c ≤，则下列说法正确的是（ ） A ．322a ab bc ca +++≥ B ．322
a b
ab bc ca -+++≥ C ．322
a b c ab bc ca --+++
≥ D ．以上都不正确
2．已知1x <-，那么在下列不等式中，不成立的是( ) A ．210x ->
B ．1
2x x
+
<- C ．sin 0x x -> D ．cos 0x x +>
3．已知实数a ，b ，c 满足c b a <<，0ac <，那么下列选项中正确的是（ ） A ．ab ac >
B ．ac bc <
C ．22ab cb >
D ．22ca ac >
4．已知实数0a b >>，R c ∈，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．ac bc <
B ．
11b b
a a
+<+ C ．11b b
a a
+>+ D ．ac bc ≥
5．不等式ax b ＞，()0b ≠的解集不可能是（ ） A ．∅
B ．R
C ．,b a ⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
D ．,b a ⎛
⎫-∞-
⎪⎝⎭
6．若,,a b c 为实数，则下列命题错误的是( ) A ．若22ac bc >，则a b > B ．若0a b <<，则22a b < C ．若0a b >>，则
11a b
< D ．若0a b <<,0c d >>，则ac bd <
7．已知01a <<，01c b <<<，下列不等式成立的是（ ） A ．
b c
b a
c a
>++ B ．
c c a b b a
+>+ C ．log log b c a a < D ．b c a a >
8．已知0n m <<，则下列不等式正确的是( ) A ．
11n m
< B ．11()()22
m n
>
C ．44log ()log ()m n -<-
D ．22n m <
9．已知0a b >>，0c >，下列不等式中不．成立的是 A ．a c b c +>+
B ．a c b c ->-
C ．ac bc >
D ．
c c
a b
> 10．设 1,01x y a >><<则下列关系正确的是
A ．a a x y -->
B ．ax ay <
C ．x y a a <
D ．log log a a x y >
11．325x -≥不等式的解集是（ ） A ．{|1}x x ≤-
B ．{|14}x x -≤≤
C ．{|14}x x x ≤-≥或
D ．{|4}x x ≥
12．若0a b <<，则下列各式一定．．成立的是（ ） A ．a c b c +>+
B ．22a b <
C ．ac bc >
D ．
11
a b
> 二、填空题
13．在平面直角坐标系中，定义两点()()1122,,,P x y Q x y 之间的直角距离为：
1212(,)d P Q x x y y =-+-现有以下命题：
①若,P Q 是x 轴上的两点，则12(,)d P Q x x =-； ②已知(
)
22
(2,3),sin ,cos P Q αα，则(,)d P Q 为定值；
③原点O 与直线10x y -+=上任意一点P 之间的直角距离(,)d O P 的最小值为
22
； ④若||PQ 表示,P Q 两点间的距离，那么2
||(,)2
PQ d P Q ≥
. 其中真命题是__________（写出所有真命题的序号）.
14．已知实数,,a b c 满足3a b c ++=,222226a b c ++=,则c 的取值范围是___________. 15．关于x 的不等式22a x x ->-在[]0,2上恒成立，则a 的取值范围是__________. 16．（卷号）1570711643127808 （题号）1570711648378880 （题文）
已知二次函数
的图像为开口向下的抛物线，且对任意都有
．若向量，
，则满足不等式
的
取值范围为_____________．
17．设x ∈R ，如果()
lg 37a x x <++-恒成立，那么实数a 的取值范围是________. 18．若2,3a b >>，则1
(2)(3)
a b a b ++
--的最小值为________.
19．已知()2|1|f x x =-，记1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，…，
1()(())n n f x f f x +=，…，若对于任意的*n N ∈，0|()|2n f x ≤恒成立，则实数0x 的取值范
围是_______． 20．设函数1
()||||f x x x a a
=+
+-(0)a >，若(3)5f <，则a 的取值范围是_____.
三、解答题
21．已知函数()|2|||f x x x =-+. （Ⅰ）求不等式()2f x x ≥+的解集；
（Ⅱ）若函数()f x 的最小值为M ，正数a ，b 满足a b M +=，求1111
a b +++的最小值. 22．已知,,a b c 均为正实数. （I ）求证：
32
++≥+++a b c b c a c a b ； （II 1
≥.
23．已知函数()21,f x x m x m R =-+-∈ （1）当1m =时，解不等式()
2f x ；
（2）若不等式()3f x x <-对任意[0,1]x ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 24．已知函数()21f x x ax a =++-(0)a >. （1）当2a =时，求不等式()5f x ≤的解集； （2）若函数()f x 的最小值为32，设正实数,m n 满足m n a +=，求12
12
m n +++的最小
值.
25．已知()13f x x x =++-．
（1）求直线8y =与函数()y f x =的图象所围图形的面积； （2）若()211f x a a ≥++-对一切实数x 成立，求a 的取值范围． 26．设函数32
11()132f x ax bx cx =
+++，f x 为()f x 的导函数，(1)2a
f '=-，
322a c b >>.
（1）用a ，b 表示c ，并证明：当0a >时，334
b a -<<-； （2）若1
2a =-
，2b =，3
2
c ，求证：当1x ≥时，()ln x f x '≥.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A
【分析】
首先根据题意得到13ab bc ca -≤++≤，即可得到选项A 正确，再利用特值法排除选项B ，C ，即可得到答案. 【详解】
因为,,a b c ∈R ，且||1a ≤，||1b ≤，||1c ≤，
所以当,,a b c 都为1或1-时，ab bc ca ++取得最大值3， 设()()1,||1f x b c x bc x =+++≤，
(1)()1(1)(1)f b c bc b c -=-+++=--， (1)()1(1)(1)f b c bc b c =+++=++，
||1b ≤，||1c ≤，(1)0,(1)0f f ∴-≥≥， ||1x ∴≤时，()0f x ≥，又||1a ≤，
()()10f a b c a bc ∴=+++≥，1ab bc ca ++≥-
即：13ab bc ca -≤++≤. 对于选项A ，3122ab bc ca +++≥，1
22
a ≤，显然不等式成立． 取1a =，1
b =-，0c
，得到31(1)
10022---+++
≥ 显然不成立，故排除选项B.
取1a =-，0b =，1c =，得到3101
00(1)22
---++-+≥ 显然不成立，故排除选项C. 故选：A 【点睛】
本题主要考查根据条件判断不等式是否正确，特值法为解决本题的关键，属于简单题.
2．D
解析：D 【分析】
利用作差法可判断A 、B 选项的正误，利用正弦、余弦值的有界性可判断C 、D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】
1x <-，则()()2
1110x x x -=-+>，()2
2
112120x x x x x x x
+++++==<，
又
sin x 、[]cos 1,1x ∈-，sin 0x x ∴->，cos 0x x +<.
可得：ABC 成立，D 不成立.
【点睛】
本题考查不等式正误的判断，一般利用作差法来进行判断，同时也要注意正弦、余弦有界性的应用，考查推理能力，属于中等题.
3．A
解析：A 【分析】
根据不等式的性质推理即可得出. 【详解】
c b a <<，且0ac <， 0c ∴<，0a >，0b a -<，
ab ac ∴>.
故选：A. 【点睛】
本题考查不等式与不等关系，解题关键是熟练掌握不等式的性质，属于基础题.
4．C
解析：C 【分析】
根据不等式性质和作差法判断大小依次判断每个选项得到答案. 【详解】
当0c ≥时，不等式不成立，A 错误；
()()
10111b b ab a ab b a b
a a a a a a ++----==>+++，故B 错误C 正确； 当0c <时，不等式不成立，D 错误； 故选：C . 【点睛】
本题考查了不等式的性质，作差法判断大小，意在考查学生对于不等式知识的综合应用.
5．D
解析：D 【解析】 【分析】
当0a =，0b ＞时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是∅；当0a =，0b ＜时，不等式
ax b ＞，（0b ≠）的解集是R ；当0a ＞时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是
（
,b a +∞）；当0a ＜时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是,b a ⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭.
【详解】
当0a =，0b ＞时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是∅；
当0a =，0b ＜时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是R ； 当0a ＞时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是（
,b
a
+∞）； 当0a ＜时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是（,b a
-∞）. ∴不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集不可能是（,b a
-∞-）. 故选：D 【点睛】
本题主要考查了一元一次不等式的解法，属于中档题．解题时要认真审题，仔细解答．
6．B
解析：B 【分析】
由题意利用不等式的性质逐一考查所给的四个选项中的结论是否正确即可.其中正确的命题可以用不等式的性质进行证明，错误的命题给出反例即可. 【详解】
对于A ，若2
2
ac bc >，则0c ≠，22
22ac bc c c
>，即a b >，故正确；
对于B ，根据不等式的性质，若0a b <<，不妨取2,1a b =-=-，
则22a b >，故题中结论错误； 对于C ，若0a b >>，则
a b ab ab
>，即11a b <，故正确；
对于D ，若0a b <<,0c d >>，则0a b ->->，故ac bd ->-，ac bd <，故正确. 故选B. 【点睛】
本题主要考查不等式的性质及其应用，属于中等题.
7．A
解析：A 【分析】
由作差法可判断出A 、B 选项中不等式的正误；由对数换底公式以及对数函数的单调性可判断出C 选项中不等式的正误；利用指数函数的单调性可判断出D 选项中不等式的正误. 【详解】
对于A 选项中的不等式，()()()
a b c b c
b a
c a a b a c --=++++，01a <<，01c b <<<， ()0a b c ∴->，0a b +>，0a c +>，b c
b a
c a
∴
>++，A 选项正确； 对于B 选项中的不等式，
()()
a c
b
c c a b b a b b a -+-=++，01a <<，01c b <<<，
()0a c b ∴-<，0a b +>，c c a
b b a
+∴<
+，B 选项错误； 对于C 选项中的不等式，
01c b <<<，ln ln 0c b ∴<<，110ln ln b c
∴
<<， 01a <<，ln 0a ∴<，ln ln ln ln a a
b c
∴
>，即log log b c a a >，C 选项错误； 对于D 选项中的不等式，
01a <<，∴函数x y a =是递减函数，
又c b <，所以c b a a >，D 选项错误.故选A. 【点睛】
本题考查不等式正误的判断，常见的比较大小的方法有：（1）比较法；（2）中间值法；（3）函数单调性法；（4）不等式的性质.在比较大小时，可以结合不等式的结构选择合适的方法来比较，考查推理能力，属于中等题.
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据不等式的性质，以及指数函数与对数函数的单调性，逐项判定，即可得到答案. 【详解】
由题意，因为0n m <<，则 对于A 中，则
110m n
n m mn --=> ，所以11n m
>，所以不正确； 对于B 中，因为函数1
()2
x y =为单调递减函数，所以11()()2
2
m n
<，所以不正确；
对于C 中，因为函数4log y x =为单调递增函数，又因为0n m <<，则n m ->-， 所以44log ()log ()m n -<-是正确的；
对于D 中，由22()()0n m n m n m -=+->，所以22n m >，所以不正确，故选C. 【点睛】
本题主要考查了不等式的性质的应用，以及比较大小问题，其中解答中熟练应用作差法比较，以及熟记指数函数与对数函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
9．D
解析：D 【分析】
本道题结合不等式的基本性质,加上减去或者乘以大于0的数,不等式依然成立. 【详解】
A,B 选项,不等式左右两边同时加上或减去相同的数,不等号不改变方向,故正确;C 选项,不等式左右两边同时乘以一个大于0的数,不等号不改变方向,故正确,而D 选项,关系应该为
c c
a b
<,故不正确. 【点睛】
本道题考查了不等式的基本性质,关键抓住不等号成立满足的条件,难度中等.
10．C
解析：C 【分析】
由幂函数，指数函数，对数函数的单调性以及不等式的性质判断即可. 【详解】
A.a a x y -->，由幂函数y x α= 当0α<函数在()0,∞+上单调递减，可知A 错误； 由1,01x y a >><<，由不等式的性质可得0ax ay >>，故B 错误；由指数函数x y a = 当01a <<函数在()0,∞+上单调递减，可知C 正确；由对函数log a y x = 当01a <<函
数在()0,∞+上单调递减，可知D 错误. 故选 C . 【点睛】
本题考查幂函数，指数函数，对数函数的单调性以及不等式的性质，属基础题.
11．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据绝对值定义化简不等式，求得解集. 【详解】
因为325x -≥，所以325x -≥或325x -≤-，即14x x ≤-≥或，选C. 【点睛】
本题考查含绝对值不等式解法，考查基本求解能力.
12．D
解析：D 【分析】
运用不等式的可加性，可判断A ；由反比例函数的单调性，可判断D ；由0c ，可判断
C ；由二次函数的单调性可判断B ． 【详解】
对于A ，若0a b <<，则a c b c ++＜，故A 项错误； 对于D ，函数1
y x ＝在0-∞（，）上单调递减，若0a b <<，则11a b
>，故D 项正确； 对于C ，当0c
时，ac bc =，即不等式ac bc >不成立，故C 项错误；
对于B ，函数2y x 在
0-∞（，）上单调递减，若0a b <<，则22a b ＞，故B 项错误， 故选D ．
【点睛】
本题考查不等式的性质和运用，考查函数的单调性和反例法，考查推理、判断能力，属于基础题．
二、填空题
13．①②④【分析】根据新定义的直角距离结合具体选项进行逐一分析即可【详解】对①：因为是轴上的两点故则①正确；对②：根据定义因为故②正确；对③：根据定义当且仅当时取得最小值故③错误；对④：因为由不等式即可
解析：①②④ 【分析】
根据新定义的直角距离，结合具体选项，进行逐一分析即可. 【详解】
对①：因为,P Q 是x 轴上的两点，故120y y -=，则12(,)d P Q x x =-，①正确；
对②：根据定义(,)d P Q 22
2sin 3cos αα=-+-
因为[][]2
2sin
0,1,cos 0,1αα∈∈，故(,)d P Q 222sin 3cos 4αα=-+-=，②正确；
对③：根据定义(,)d O P ()111x y x x x x =+=++≥-+=， 当且仅当()10x x +≤时，取得最小值，故③错误；
对④：因为PQ =(,)d P Q 1212x x y y =-+-
由不等式(
)()2
2
2
2a b
a b +≥+，即可得2
PQ ≥
(,)
d P Q ，故④正确.
综上正确的有①②④ 故答案为：①②④. 【点睛】
本题考查新定义问题，涉及同角三角函数关系，绝对值三角不等式，属综合题.
14．【解析】消a 得
解析：3
[0,]2
【解析】
消a 得22222(3)226032(3)3(1)0b c b c b c b c --++-=∴--+-=
223
4(3)36(1)00.2
c c c ∆=---≥∴≤≤
15．【解析】结合自变量的范围若可得：不等式明显成立；若由不等式可得解得：综上可得的取值范围是
解析：4a ≠
【解析】
结合自变量的范围，若02x ≤<，可得：20x -<，不等式明显成立； 若2x =，由不等式可得40a ->，解得：4a ≠， 综上可得a 的取值范围是4a ≠.
16．【解析】分析：由已知中二次函数的图象为开口向下的抛物线且对任意都有则函数的图象是以为对称轴开口方向朝下的抛物线再由向量结合二次函数的性质和向量数量积运算可以得到一个关于的不等式解不等式即可求出的取值 解析：
【解析】
分析：由已知中二次函数y f x =（）的图象为开口向下的抛物线，且对任意x ∈R 都有11f x f x -=+（）（） ．则函数的图象是以1x = 为对称轴，开口方向朝下的抛物线，再由向
量 12a m b m =-=-（，），（，）， 结合二次函数的性质和向量数量积运算，可以得到一个关于m 的不等式，解不等式即可求出m 的取值范围．
详解：∵对任意x ∈R 都有11f x f x -=+（）（）．
故函数的对称轴为1x =，
12a m b m （，），（，），
=-=-2a b m ∴⋅=+ 若1f a b f ⋅-（）＞（）
则2111m +---＜ ，解得31,m -＜＜ 又由0m ≥ 得0 1.m ≤＜ 故答案为[01，
） 点睛：本题考查的知识点是二次函数的性质，绝对值不等式的解法，平面向量的数量积的运算，其中根据二次函数的性质和向量数量积运算，将不等式1f a b f ⋅-（）＞（）转化为一个关于m 的不等式，是解答本题的关键．
17．【分析】先根据绝对值三角不等式求得最小值即得最小值再根据不等式恒成立得结果【详解】当且仅当时取等号由恒成立得故答案为：【点睛】本题考查不等式恒成立问题利用绝对值三角不等式求最值考查综合分析转化求解能 解析：1a <
【分析】
先根据绝对值三角不等式求得37x x ++-最小值，即得()
lg 37x x ++-最小值，再根据不等式恒成立得结果. 【详解】
373(7)10x x x x ++-≥+--=,当且仅当(3)(7)0x x +-≤时取等号，
()lg 37lg101x x ∴++-≥=
由()lg 37a x x <++-恒成立得()
min [lg 37]11a x x a <++-=∴<
故答案为：1a <
【点睛】
本题考查不等式恒成立问题、利用绝对值三角不等式求最值，考查综合分析转化求解能力，属中档题.
18．8【分析】根据题意对进行换元然后利用基本不等式的推广公式求解出目标的最小值【详解】解：令即所以当且仅当即即当时等号成立【点睛】本题考查了基本不等式推广公式的使用运用基本不等式推广公式时一定要注意题意 解析：8
【分析】
根据题意对2,3a b --进行换元，然后利用基本不等式的推广公式求解出目标的最小值．
【详解】
解：令2,3a t b m -=-=
2,3a b >>，
20,30a b ∴->->，
即0,0t m >>， 所以3115358(2)(3)a b t m t m a b tm ++=+++⨯⨯=--， 当且仅当1t m tm ==
， 即123(2)(3)
a b a b -=-=--， 即当3,4a b ==时等号成立.
【点睛】
本题考查了基本不等式推广公式的使用，运用基本不等式推广公式时，一定要注意题意是否满足“一正、二定、三相等”的条件．
19．【解析】【分析】先由得再由的定义可知对于任意的时不等式均成立进而得解【详解】由对于任意的恒成立可知即解得下证即为所求当时…故答案为：
【点睛】本题主要考查了解绝对值不等式及函数的表达式的应用属于中档题 解析：[0,2]
【解析】
【分析】
先由()()1002f x f x =≤，得002x ≤≤，再由()()()1n n f x f
f x +=的定义可知对于任意的*n N ∈，[]
00,2x ∈时不等式均成立，进而得解.
【详解】
由对于任意的*n N ∈，()02n f x ≤恒成立，
可知()()1002f x f x =≤，即0212x -≤，解得002x ≤≤.
下证02x ≤≤即为所求.
当[]00,2x ∈时，()[]100,2f x ∈，
()()()()[]201010
210,2f x f f x f x ==-∈, ()()()()[]302020 210,2f x f f x f x ==-∈,
…，
()()()()[]01010 210,2n n n f x f f x f x --==-∈.
故答案为：[]
0,2.
【点睛】
本题主要考查了解绝对值不等式及函数的表达式的应用，属于中档题. 20．【解析】分析：即再分类讨论求得的范围综合可得结论详解：函数函数由可得其中下面对进行分类讨论①时可以解得②时可以解得综上即答案为点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法体现了转化分类讨论的数学思想属于中档题
解析： 【解析】
分析：()35f <，即15x x a a
++-<，再分类讨论求得a 的范围，综合可得结论． 详解：函数函数()1f x x x a a =+
+- (0)a >， 由()35f <，可得15x x a a
++-<，其中0a >， 下面对a 进行分类讨论，
①3a ＞时，13335f a a （）＜=++- ，可以解得532
a ＜＜
②03a ≤＜时，1
3335f a a （）＜=++- ，可以解得1 32a ≤
综上，1522a ⎛∈ ⎝⎭
即答案为52⎫+⎪⎪⎝⎭
. 点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．
三、解答题
21．（Ⅰ）(,0][4,)-∞⋃+∞；（Ⅱ）1.
【分析】
（Ⅰ）去掉绝对值符号，得到分段函数，然后分类讨论求解不等式()2f x x ≥+的解集； （Ⅱ）由绝对值三角不等式求出函数()f x 的最小值为M ，再利用基本不等式计算可得；
【详解】
解：（Ⅰ）22,0()22,0222,2x x f x x x x x x -+≤⎧⎪=+-=<<⎨⎪-≥⎩
由()2f x x ≥+，得
0,222x x x ≤⎧⎨-+≥+⎩或02,22x x <<⎧⎨≥+⎩或2,222,x x x ≥⎧⎨-≥+⎩
解得0x ≤或4x ≥，
故不等式()2f x x ≥+的解集为(,0][4,)-∞⋃+∞
（Ⅱ）由绝对值三角不等式的性质，可知|2||||(2)|2x x x x -+≥--=，
当且仅当(2)0x x -≤时取“=”号，
∴min ()2f x M ==，∴2a b +=，所以(1)(1)14
a b +++=. 11111111[(1)(1)]1111144111b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+=++++=+++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭
121(22)144
⎛≥+ =+=⎝， 当且仅当
1111b a a b ++=++，即1a b ==时，等号成立， 所以1111
a b +++的最小值为1 【点睛】
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 22．（I ）见解析；（II ）见解析.
【解析】
试题分析：
（I ）将分式通分后，在分子中运用基本不等式后可得不等式
a b a b b c a c a c b c +>+++++，b c b c a c a b a b a c
+≥+++++，
c a a c a b b c a b b c
+≥+++++，然后求和后利用基本不等式可得结论成立．（II ）在所给不等式的每个分母中利用基本不等式进行化简，然后再利用基本不等式求解．
试题
（I ）
()()()()()()()()
222a b c b a c a b a b ac bc ab ac bc a b b c a c b c a c b c a c b c a c a c b c +++++++++=≥==+++++++++++， ∴a b a b b c a c a c b c
+≥+++++． 同理
b c b c a c a b a b a c +≥+++++② c a a c a b b c a b b c
+≥+++++③ 由①+②+③得：23a b c a c b c a b b c a c a b a c b c a b
+++⎛⎫++≥++= ⎪++++++⎝⎭， 当且仅当a b c ==时各个等号同时成立．
∴ 32
a b c b c a c a b ++≥+++． （II ）∵
222
a
b c b c
a c
a b b c a c a b ≥+++++++++++
23a b c b c a c a b ⎛⎫=++ ⎪+++⎝⎭
23≥
2231332
≥⋅=⋅=， 当且仅当a b c ==时各个等号同时成立．
∴1≥． 23．（1）403x x ⎧
⎫<<⎨⎬⎩⎭
；（2）02m <<. 【分析】
（1）分类讨论去绝对值后分区间解不等式，再求并集；
（2）转化为||3|21|x m x x -<---对任意的[0x ∈，1]恒成立，后再构造函数，利用函
数的单调性列不等式可得结果．
【详解】
（1）当1m =时，()|1||21|f x x x =-+-， 所以123,21(),1232,1x x f x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=⎨⎪->⎪⎪⎩
， ∴23212x x -<⎧⎪⎨<⎪⎩或2112
x x <⎧⎪⎨⎪⎩或3221x x -<⎧⎨>⎩， 解得403
x << 所以不等式()
2f x 的解集为4{|0}3x x << （2）由题意()3f x x <-对任意的[0x ∈，1]恒成立，
即||3|21|x m x x -<---对任意的[0x ∈，1]恒成立， 令12,02()321143,12x x g x x x x x ⎧+<⎪⎪=---=⎨⎪-⎪⎩
，
()g x 在10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递增，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
递减， ||y x m =-在(],m -∞上递减，在[),m +∞上递增，
要使||3|21|x m x x -<---对任意的[0x ∈，1]恒成立，
只需0021431m m ⎧-<+⎪⎨-<-⨯⎪⎩
可得02m <<
【点睛】
绝对值不等式的常见解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
24．（1）312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，（2）4
【分析】
（1）讨论21x <-，112
x -≤≤，1x >三种情况，计算得到答案. （2）()min 1()min (),12f x f f ⎧
⎫=-⎨⎬⎩⎭，解得1a =，1)(2)4m n +++=(，利用均值不等
式解得答案.
【详解】
（1）当2a =时，141,21()3,1241,1x x f x x x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩
，∴()5f x ≤， 则12415x x ⎧<-⎪⎨⎪-+≤⎩，或11235
x ⎧-≤≤⎪⎨⎪≤⎩，或1415x x >⎧⎨-≤⎩， 得112x -≤<-或112
x -≤≤或312x <≤，312x ∴-≤≤， 所以所求不等式的解集为312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，. （2）1()21212
f x x ax a x a x =++-=+
+-， 当02a <≤时， ()1113()1212222
f x a x a x a x a x x a =++-+-+≥+-+=， 12
x =-时等号成立； 当2a >时，
()11()2212121322
f x x x a x x x =++-+--≥+-+=， 1x =时等号成立. 故()min 133()min (),1min ,3222f x f f a ⎧
⎫⎧⎫=-==
⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，1a ∴=， 1m n ∴+=，1)(2)4m n +++=(，
[]12112(1)(2)12412
m n m n m n ∴+=++++++++（
）122(1)1334124
n m m n ++=++≥+++（）（， 当
22(1)12n m m n ++=++
，即5m =
，6n =-
所以所求最小值为：
4
. 【点睛】 本题考查了讨论法解绝对值不等式，均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.
25．（1）24；（2）4433a -
≤≤. 【分析】
（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此画出直线8y =与函数()y f x =的图象.根据等腰梯形面积公式求得所围图形的面积.
（2）先求得()f x 的最小值，由此得到4211a a ≥++-，由零点分段法进行分类讨论，由此求得a 的取值范围.
【详解】
（1）因为()22,14,1322,3x x f x x x x -+≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩
，
如图所示：
直线8y =与函数()y f x =的图象所围图形是一个等腰梯形，
令228x -+=，得3x =-；令228x -=，得5x =， 所以等腰梯形的面积()1484242
S =⨯+⨯=． （2）要使()211f x a a ≥++-对一切实数x 成立，
只须()min 211f x a a ≥++-，
而()13134f x x x x x =++-≥+-+=，所以()min 4f x =， 故4211a a ≥++-．
①由122114a a a ⎧<-⎪⎨⎪---+≤⎩，得4132a -≤<-； ②由1122114a a a ⎧-≤≤⎪⎨⎪+-+≤⎩，得112a -≤≤； ③由12114
a a a >⎧⎨++-≤⎩，得413a <≤， 故4433
a -≤≤．
【点睛】
本小题主要考查含有绝对值的不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
26．（1）32c a b =-
-；证明见解析（2）证明见解析 【分析】
（1）求导后，利用(1)2a f '=-可得32c a b =--，将其代入到322a c b >>，利用不等式的性质可得334
b a -<<-； （2）构造函数213()2(n 2l 1)2g x x x x x =+
-+≥，求导得单调性，利用单调性可证不等式.
【详解】
（1）由题得2()f x ax bx c '=++ ∵(1)2a f '=-
，∴2a a b c ++=- ∴32
c a b =--， ∵322a c b >>
∴3322a a b b >--> ∴334
b a -<<- （2）∵12a =-
，2b =，32c ∴213()222
f x x x '=-+- 令213()2(n 2l 1)2
g x x x x x =+
-+≥
求导可得2
1(1)()2x g x x x x -'=+-= ∴()0g x '≥ ∴()g x 在区间[)1,+∞上单调递增 ∴()()10g x g ≥= ∴()ln x f x '≥成立
【点睛】
本题考查了不等式的性质，考查了利用导数证明不等式，属于中档题.。