二次函数y=a(x-h)2 k的图象ppt 人教版

函数y=5(x－3)2－2的图象可由函数
y=5x2 的图象沿x轴向 右 平移 3 个单位，
再沿y轴向 下 平移 2 个单位得到 .
1 2 y = x 经过平移能得到 3
y=- 3 ( x -1 )+6 吗 ?
2
不可以 !!
2 1 x- m 把y = ( ) - n (其中m,n是常数) 2
向右平移2个单位, 向下平移5个单位得:
开口方向 向上 向下
向上
对称轴
顶点坐标
对称轴 ( -3, 5 ) 直线 x=-3 顶点坐标
直线x=1 直线x=3
( 1 , -2 ) ( 3 , 7) ( 2 , -6 )
向下
直线x=2
练习 说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点： （1）y =2( x+3)2+5;（2）y = －3(x－1)2－2;
2 1 y= ( x -m -2 -5 )- n 2
?
?
右移3
上移1
y = 5( x+ 1 ) +3
2
2
y = 5( x+ 4 ) +2
再接再厉
图形变换带来的顶点,对称轴,最值的变化
1 2 1 2 y x 3 2是 y x 如何变换得到? 2 2 1 2 1 2 y x 4 3是 y x 如何变换得到? 2 2
yaxh k 与
2
y ax2
形状______ 相同 ，位置不同，把抛物线y=ax2向上（下）
平移 ，可以得到抛物线 y a x h k 向左（右）_______

2
h，k 的值来决定． 平移的方向、距离要根据_________
抛物线 ya
xh k 有如下特点：
对称轴
y轴 y轴 直线x=h 直线x=h
顶点坐标
(0,0) (0,k) (h,0) (h,k)
y = a (x - h )2 + k
1.抛物线Y=0.5X2-2的开口向
对称轴是 y轴 .
上 ,
,顶点坐标是 (0,-2)
2.抛物线y=a(x-h)2如图所示,下列结论正确的是 ( D )
Y
(A)a>0 , h>0
2 2 y x 10 5
2 2 y x 5
☞
探究
如图是一个汽车隧道，形状成抛物线，隧道路面宽 10米， 顶部到地面的距离为10米.高4米，宽4米的一辆厢式货 车能否顺利经过这条单向行车的隧道？ 若此隧道是双向车道，那么这辆货车又能否顺利经过 隧道？
10米
10米
y
9 8 7 6 5 4 3 2
（3）y = 4(x－3)2+7; （4）y = －5(x+2)2－6.
解： （1）a=2>0开口向上，对称轴为x=－3，顶点坐标为（－3，5）; （2）a=－3<0开口向下，对称轴为x=1，顶点坐标为（1,－2）; （3）a=4>0开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为（3,7）;
（2）a=－5<0开口向下，对称轴为x=－2，顶点坐标为（－2, －6）.
解：如图建立直角坐标系，点（1，3）是图中这段抛物线的顶点， 因此可设这段抛物线对应的函数是
y = a( x －1 )2 ＋3 (0≤x≤3). 由这段抛物线经过点（3，0）可得 0＝a(3－1)2＋3.
解得 因此 3 2 1
y
直角坐标系?
a
3 2 y x 1 3 0 x 3 4
如何平移：
3 y (x 1 )2 4
3 2 y (x 1) 4
3 2 y (x 3) 4
1 2 y x 3 2
3 2 y (x 5) 4
1 2 y (x6) 2
左 右 平 移
y = a( x – h )2 + k
上 下 平 移
y = ax2 + k
上下平移
1 2 y (x 1 ) 1 2
例3 (1)画出函数 y 1x12 1 的图象，
2
1 2 解：作函数 y x1 1 的图象： 2
x
y 1 2 x1 1 2
· · · －4
－3
－2
－1
0
1
2
· · ·
· · · －5.5 －3
－1.5 －1 －1.5 －3
O
☞
探究
如图是一个汽车隧道，形状成抛物线，隧道路面宽 10米， 顶部到地面的距离为10米.高4米，宽4米的一辆厢式货 车能否顺利经过这条单向行车的隧道？
若此隧道是双向车道，那么这辆货车又能否顺利经过 y y y 隧道？
o
10米
x
10米
10米
o
o
10米
x
10米
x
10米
2 y (x5 )2 10 5
2
其中 a 0
y = a( x – h )2 + k 平左 移右 y = ax2 + k 上下平移 y = ax2 平上 移下 y = a(x – h )2
左右平移
小结
1、 掌握函数
y = ax
2
2 到函数 y= ax (- h )+k的平移变换
(- h )+k的 2、 函数 y= ax
2
顶点坐标, 对称轴, 最值
2 ( x 2 ) 新坐标系下抛物线的解析式是 y .2
2
能力提升
抛物线
y x
2
如何平移得到
yx 2 x 2?
2
求下列抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴及最值 (1)
y2 x 8 x
2
(2)
y 2 x 4 x 8
2
思考
抛物线
y ax
2
如何平移得到 y a x b x c?
O
· · －5.5 ·
－4
－2
2
4
－2
1 2 y x1 1 2
－4 －6
1 2 y x 2
x
y
例3:(2)指出抛物线 y 1x12 1 的开口方向、 开口方向向下 对称轴是x=－1 顶点是（－1，－1）．1
y
－4 －2 2 4
－2 －4 －6
1 2 y x 2
2
向上 ；当a<0时，开口_______ 向下 ； （1）当a>0时，开口______
x=h ； （2）对称轴是直线______
（ h,k) （3）顶点坐标是 _________
二次函数 y=2(x+3)2+5 y = -3x(x-1)2 -2
y = 4(x-3)2 +7 y = -5(2-x)2 - 6
归纳小结
y = a ( x -h ) + k
2
( a ? 0 )
1. 开口方向由 a 的正负决定
2. 顶点坐标是(h, k)
3. 对称轴是直线x=h
4.
最值是k
顶点
对称轴 直线x=1
最值 最小值2
y = 3(x - 1 ) + 2 (1 ,2)
2
y2 x3 6
2
(-3 ,-6)
直线x=-3
y = a(x – h )2
左右平移
y=
ax2
结论: 一般地,抛物线 y = a(x-h)2+k 与y = ax2形状相同,位置不同。
抛物线
y = ax2 y = ax2 + k y = a (x - h )2
开口方向
a＞0向上 a＜0向下 a＞0向上 a＜0向下 a＞0向上 a＜0向下 a＞0向上 a＜0向下
解析式是
y 2x 1
2
, 顶点为 (0 ,-1) .
灵活变通
若二次函数
(-2,3)
1 2 ,则平移后的函数解析式为 y (x 2) . 3 2
2x
2
1 2 y x 2
经过平移变换后顶点坐标为
在平面直角坐标系中，如果抛物线 y
不动,
而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在
2 y 2 ( x 2 ) 选做题：一条抛物线的形状与抛物线
相同,其顶点坐标是(-1,3),写出这个抛物线的解析式
是：
Y=-2(X+1)2+3
2、按下列要求求出二次函数的解析式： （1）已知抛物线y=a(x-h)2经过点（-3，2） （-1，0）求该抛物线线的解析式。
（2）形状与y=-2(x+3)2的图象形状相 同，但开口方向不同，顶点坐标是（1， 0）的抛物线解析式。
y = ax
2
左右平移
y= a (x - h )
2
思考?
若对 y
1 2 x 向下平移1个单位, 再向左平移1个单位? 把y 2
= ax
2
先进行上下平移,再左右平移结果会如何?
1 2 y (x 1 ) 1 2 2 若对 y = ax 先进行左右平移,再上下平移结果会如何?
1 2 x 向左平移1个单位, 再向下平移1个单位? 把y 2
3 4
O
1
2
3
x
当x = 0时，y = 2.25，也就是说，水管应长2.25m.
练习：某幢建筑物，从10米高的窗口 A用水管向 外喷水，喷出的水呈抛物线状 ( 抛物线所在平面与 墙面垂直，如图所示 ).如果抛物线的最高点 M离墙 1 米，离地面 40/3 米，则水流落地点 B 离墙的距离 OB是 ( B) A.2米 B.3米 C.4米 D.5米 ①抛物线顶点M（1,40/3) 与y轴交点A(0.10) ②求得抛物线解析式; ③求出抛物线与x轴的交点;
A. ( m ， C.
n)
B. D.
( m， - n )
(m，n)
(m ， -n)
牛刀小试
抛物线 y 的对称 5 ( x m n ) nm
2
轴 直线x=n-m. 在直角坐标系中将二次函数
y 2 ( x 1 ) 2
2
的图象向左平移１个单位，再向上平移１个单位，则其
最小值-6
2 5 y= - ( x- 4 ) - 3 (4 ,-3) 2
直线x=4
最大值-3
对称轴是直线x=-2的抛物线是( C ) A.
牛刀小试
2
y 2x 2
2
B. D.
y 2x 2
2
C.
1 2 y (x2 ) 2 2
2
y 5 ( x 2 ) 6
)
抛物线
y 2 ( x m ) n 的顶点坐标是( C
（3）已知二次函数图像的顶点在x轴上， 且图像经过点（2，-2）与（-1，-8）。 求此函数解析式。
4.用配方法把下列函数化成y=a（x-h）2的
形式，并说出开口方向，顶点坐标和对称
2 1 2 1 2 (3)抛物线 y x 经过怎样的变换可以得到抛物线 y x1 1 2 2
x1
2
1
1 2 把抛物线 y x 向下平移1个单位，再向 2 1 2 左平移1个单位，就得到抛物线 y x1 1
2
x
O
对称轴及顶点．
2
y
归 纳
一般地，抛物线
0
X
(B)a<0 , h<0
(C)a>0 , h<0
(D)a<0 , h>0
3、若将抛物线y=-2（x-2）2的图象的顶点移到 原点，则下列平移方法正确的是（ C ） A、向上平移2个单位 B、向下平移2个单位 C、向左平移2个单位 D、向右平移2个单位
4.二次函数y=(x+2)2-1的图像可以由二次函数y=x2 的图像平移而得到，下列平移正确的是( B ) A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位 B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
1 2 将抛物线 y x 2 向右平移 4 个单位后， 再向下平移 4 个单位， 会得到哪条抛物线？
1
3 2 1
0
1 23 45 1 2
x

1 2 把y = x 向上平移4个单位, 3
再向左平移2个单位得: ?
1 2 y= - ( x+ 2 )+4 3
26.1.4 2 二次函数y=a(x-h) +k的图象
温故而知新
1 2 (1) 抛物线 y = x - 5 的顶点坐标是 (0 ,-5), 4
对称轴是Y轴 , 当x= 0 时, 函数y的值最 小 , 最 值是 -5 . 1 2 (2) 抛物线 y = - (x + 3) 的顶点坐标是 (-3 ,0), 对称轴是 直线x=-3 , 当x= -3 时, 函数y的值最 大 ,
例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直 安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头， 使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距 离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地 处离池中心3m，水管应多长？
例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管， 在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与 池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落 地处离池中心3m，水管应多长？
4
最值是
0
.
温故而知新
y = 2x
2
向下平移1个1 向上平移4个单位为: 5 2 2 y = x + 3 5
y = ax
2
上下平移
y = ax + c
2
温故而知新
y = 3x
2
向左平移4个单位为:
2
y= 3 ( x+ 4 )
1 2 y = - (x - 2) 向右平移5个单位为: 2 1 2 y = - (x - 7) 2