【人教版】高中数学必修五期末试卷(附答案)(1)

一、选择题
1．已知x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，若34z x y =-的最大值为9，则m 的值为
（ ） A ．32-
B ．28-
C ．2
D ．3
2．设x ，y 满足约束条件22032600,0x y x y x y -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪≥≥⎩
，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大
值为12，则22a b +的最小值为（ ） A ．
254
B ．
499
C ．
144
25
D ．
225
49
3．已知实数x 、y 满足约束条件22x y a x y ≤⎧⎪
≤⎨⎪+≥⎩
，且32x y +的最大值为10，则a =（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．已知实数x ,y 满足210210x y x x y -+≥⎧⎪
<⎨⎪+-≥⎩
,则221z x y =--的取值范围是( )
A ．5,53
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．5,53
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
C ．5,53⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D ．5,53⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
5．在ABC ∆中，若sin (sin cos )sin 0A B B C +-=，sin cos20B C +=，4a =，则
ABC ∆的面积为（ ）
A
．2+ B
．4 C
．6+
D
．8+6．已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C
所对的边，若1,a b ==B 是,A C 的
等差中项，则角C =（ ） A ．30
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
7．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC 的面积为S
，且
()2
2a b c =+-，则πsin 4C ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭（ ）
A ．1
B
．
2
C
．
4
D
．
4
8．已知在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积为
S ，且222()S a b c =+-，则tan C =（ ）
A ．43
-
B ．34
-
C ．
34
D ．
43
9．某大楼共有12层，有11人在第一层上了电梯，他们分别要去第2至12层，每层1人，因特殊原因，电梯只能停在某一层，其余10人都要步行到所要去的楼层，假设初始的“不满意度”为0，每位乘客每向下步行一层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，要使得10人“不满意度”之和最小，电梯应该停在第几层（ ） A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
10．已知等差数列{}n a 满足3434a a =，则该数列中一定为零的项为（ ）
A ．6a
B ．7a
C ．8a
D ．9a
11．若数列{}n a 满足
*111
(n n
d n N a a +-=∈，d 为常数)，则称数列{}n a 为调和数列，已知数列21n x ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
为调和数列，且2222
1
2320184036x x x x +++⋯+=，则92010x x +的最大值为（ ） A
B ．2
C
．D ．4
12．已知函数()()f x x R ∈满足()()42f x f x -++=，若函数2
x
y x =-与()y f x =图象的交点为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋯，则()1
n
i
i i x
y =+=∑（ ）
A ．0
B ．n
C ．2n
D ．3n
二、填空题
13．若x ，y 满足约束条件0202x y x y y -≤⎧⎪
-≥⎨⎪⎩
，则32z x y =+的最大值是_________.
14．已知x ，y 满足041x y x y x -≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+的最大值为________.
15．已知60A =︒，ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中
7a =
，sin sin B C +=
bc 的值为______. 16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4
A π
=
，2
2
212
b c a -
=，
则tan B =________.
17．在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，222a c b ac +-=
，
b =2a
c +的最大值为______．
18．已知0a >，0b >，若a ，1，b 依次成等差数列，则
41
a b
+的最小值为________． 19．已知数列{}n a 与{}n b 前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，2
2n n n S a a =+，
1
121
(2)(2)
n n n n n n b a a +++=++，对任意的*n N ∈，n k T >，恒成立，则k 的最小值是__________．
20．著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，…，的特点是从三个数起，每一个数等于它前
面两个数的和，则
222
21232048
2048
a a a a a +++
+是数列中的第______项．
三、解答题
21．现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为111623
，，；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p (0<p <1)，设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整.记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X ，对乙项目每投资10万元，X 取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量X 1、X 2分别表示对甲、乙两项目各投资10万元一年后的利润.
(1)求X 1，X 2的概率分布和均值E (X 1)，E (X 2)； (2)当E (X 1)<E (X 2)时，求p 的取值范围. 22．已知函数2()()f x x ax a R =-∈. （1）若2a =，求不等式()3f x ≥的解集；
（2）若[1,)x ∈+∞时，2
()2f x x ≥--恒成立，求a 的取值范围
.
23．将函数()sin f x x x =图象上所有点向右平移6
π
个单位长度，然后横坐标缩短为原来的
1
2
(纵坐标不变)，得到函数()g x 的图象. （1）求函数()g x 的解析式及单调递增区间；
（2）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若
1sin cos 364B B ππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭⎛
⎫ ⎪⎝⎭，,6c g b π⎛⎫
== ⎪⎝⎭
ABC 的面积. 24．已知,,a b c 是ABC 的内角,,A B C 的对边，且
5cos cos 25sin sin cos2B C B C A +=+. （1）求角A 的大小；
（2）若ABC
的面积S c =
=sin sin B C 的值 25．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2
22n n n S a a =+-.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2
32n n
n a a b --=
，求数列{}n b 的前n 项和n T . 26．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n
S a 和2n a 的等差中项为1． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设41log n n b a +=，求数列11n n b b +⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭的前n 项和n T ．
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，表示的可行域如图中阴影部分所示，再利用数形
结合分析得()max 33439z m =⨯--=，解得参数即可. 【详解】
作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，表示的可行域如图中阴影部分所示，
由z ＝3x -4y 得344z y x =
-，它表示斜率为34纵截距为4
z
-的一系列直线， 当直线经过点A 时，直线的纵截距4
z
-
最小，z 最大.
由0
3
x y m x +-=⎧⎨
=⎩，解得A (3，m －3)，
故()max 33439z m =⨯--=，解得3m =. 故选：D. 【点睛】
方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1）根据题意，设出变量,x y ； （2）列出线性约束条件；
（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；
（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数).
2．C
解析：C 【分析】
根据z 的最大值求得,a b 的关系式，结合点到直线的距离公式，求得22a b +的最小值. 【详解】 由2203260x y x y -+=⎧⎨
--=⎩解得4
3x y =⎧⎨
=⎩
. 画出可行域如下图所示，由于0,0a b >>，所以目标函数()0,0z ax by a b =+>>在点
()4,3取得最大值4312a b +=.
22a b +的最小值等价于原点到直线43120x y +-=的距离的平方，
原点到直线43120x y +-=22
1212
5
34-=
+， 所以22a b +的最小值为2
12144525⎛⎫= ⎪⎝⎭
.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查根据线性规划的最值求参数，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
3．B
解析：B 【分析】
作出不等式组所表示的可行域，平移直线32z x y =+，找出使得目标函数32z x y =+取得最大值时对应的最优解，代入目标函数可得出关于实数a 的等式，由此可解得实数a 的值. 【详解】
不等式组所表示的可行域如下图所示：
易知点()2,A a ，由题意可知，点A 在直线2x y +=上或其上方，则22a +≥，可得
0a ≥，
令32z x y =+，平移直线32z x y =+，当直线32z x y =+经过点A 时，直线
32z x y =+在y 轴上的截距最大，此时，z 取得最大值，即max 3226210z a a =⨯+=+=，
解得2a =.
【点睛】
本题考查利用线性目标函数的最值求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
4．D
解析：D 【分析】
画出可行域，根据目标函数的截距，利用数形结合，即可求出z 的取值范围. 【详解】 作出可行域如下：
由221z x y =--得12
z
y x +=-， 平移直线12
z
y x +=-
， 由平移可知当直线12
z
y x +=-，经过点C 时， 直线12
z
y x +=-的截距最小，此时z 取得最大值， 由2
10x x y =⎧⎨
+-=⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩
，即(2,1)C -，
此时2214215z x y =--=+-=， 可知当直线12
z
y x +=-，经过点A 时， 直线12
z
y y x +==-
的截距最大，此时z 取得最小值， 由21010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得13
2
3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，即1(3A ，2)3
代入221z x y =--得125
221333
z =⨯-⨯-=-，
故5
[3
z ∈-，5)
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于中档题．
5．C
解析：C 【分析】
在ABC ∆中，()sin sin B A C +=，化简sin (sin cos )sin 0A B B C +-=可得4
A π
=
，又
sin cos20B C +=和34
B C π+=
，解得3B π
=，512C π=，最后通过正弦定理求出
1)c =，再根据三角形面积公式得到面积.
【详解】
由sin (sin cos )sin 0A B B C +-=得：
sin sin sin cos sin cos cos sin sin sin cos sin 0A B A B A B A B A B A B ⋅+⋅-⋅-⋅=⋅-⋅=，
∴sin cos A A =，又0()A π∈，，则4A π
=，则34
B C π+=，
又3sin cos 2sin 22B C C π⎛⎫
=-=-
⎪⎝⎭
，则3222B C k ππ=-+或222B C k ππ=-+，
(0)B C π∈、，，则322B C π+=
或22C B π-=，又34
B C π+=，则取22C B π
-=，
得3
B π
=
，512
C π=
，又4a =，根据正弦定理，sin 1)sin a C
c A ⋅=
=，
∴1
sin 62
ABC S ac B ∆=⋅=+ 故选C. 【点睛】
思路点睛：在三角形中，由于A B C π++=,根据诱导公式，()sin sin A B C +=，
()sin sin A C B +=,()sin sin C B A +=，()cos cos A B C +=-,
()cos cos A C B +=-,()cos cos C B A +=-等，以上常见结论需要非常熟练. 6．A
解析：A 【详解】
由题设可得060B =11sin sin 2
A A =⇒=，则0
30A =或0150A =，但a b A B <⇔<，应选答案A ．
7．D
【分析】
根据()2
2a b c =+-
cos 1C C -=，结合三角函数的性质，求得C 的值，最后利用两角和的正弦函数，即可求解. 【详解】
由()22a b c =+-
，可得222
1sin 22ab C a b c ab =+-+，
因为2222cos a b c ab C +-=
，所以sin 2cos 2C ab C ab =+，
cos 1C C -=，可得π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪
⎝
⎭，则π1sin 62C ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭， 又因为0πC <<，则ππ5π666C -<-<，所以ππ66C -=，解得π
3
C =， 所以πππππππsin sin sin cos cos sin 4343434C ⎛
⎫⎛⎫+
=+=+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
1222=
+⨯=
故选：D. 【点睛】 本题主要考查了两角和的正弦函数的化简、求值，以及余弦定理的应用，其中解答中根据题设条件和余弦定理，求得C 的值，结合三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
8．A
解析：A 【分析】
由三角形面积公式和余弦定理可得C 的等式，利用二倍角公式求得tan
2
C
，从而求得tan C ． 【详解】
∵222222()2S a b c a b ab c =+-=++-，即2221
2sin 22
ab C a b ab c ⨯⋅=++-， ∴222sin 2ab C ab a b c ⋅-=+-，
又222sin 2sin cos 1222
a b c ab C ab C
C ab ab +-⋅-===-，∴sin cos 12C C +=
， 即22cos sin cos 222C C C =，则tan 22C =，∴2
22tan
2242tan 1231tan 2
C
C C ⨯===---， 故选：A ．
本题考查三角形面积公式，余弦定理，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握相应的公式即可求解．属于中档题，考查了学生的运算求解能力．
9．C
解析：C 【分析】
根据题意，假设电梯所停的楼层，表达出“不满意度”之和，利用等差数列的求和公式即可求得结论． 【详解】
解：设电梯所停的楼层是(212)n n ，则12(2)2[12(12)]S n n =++⋯+-+++⋯+- (2)(1)(12)(13)
222
n n n n ----=
+⨯ 2
2235335353()157()157232624
n n n =-+=--+ 开口向上，对称轴为53
96
x =
≈， 故S 在9n =时取最小值239539314402
min S ⨯-⨯+==．
故选：C ． 【点睛】
本题考查数列知识，考查函数思想的运用，考查计算能力，求得“不满意度”之和是关键．
10．B
解析：B 【分析】
由条件可得34a d =-,进而得n a (7)n d =-,从而得解. 【详解】
33a 44a =,
33a ∴()33444a d a d =+=+, 34d a ∴=-
n a ∴3(3)a n d =+-⋅
4(3)d n d =-+- (7)n d =- 70a ∴=,
故选：B 【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列的性质，属于基础题.
11．C
解析：C 【分析】 先由题设2
1n x ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
为调和数列{}2
n x ⇒是等差数列，进而利用等差数列的前n 项和公式及性质求得22
92010x x +的值，再利用基本不等式求得92010x x +的最大值即可.
【详解】
解：由题设知：22
122
1111
1n n n n x x d x x ++-=-=*(n N ∈，d 为常数)， {}
2
n x ∴是等差数列， 222
222120181
2
3
2018
2018()
40362
x x x x x x
++++⋯+==
， 2222
12018920104x x x x ∴+==+，
22
92010920102x x x x +(当且仅当92010x x =时取“等号“)， 2229201092010()2()8x x x x ∴++=，
9201022x x ∴+
(当且仅当92010x x =“等号“)，
92010x x
∴+的最大值为
故选：C. 【点睛】
本题主要考查等差数列的定义、性质、前n 项和公式及基本不等式在处理最值中的应用，属于中档题.
12．D
解析：D 【分析】
由题意可得()()f x x R ∈的图像关于点()2,1对称，函数2
x
y x =-的图像也关于()2,1对称，然后利用对称性以及倒序相加法即可得出答案. 【详解】
函数()()f x x R ∈满足()()42f x f x -++=，
∴()f x 的图像关于点()2,1对称，而函数2
x
y x =
-的图像也关于()2,1对称， 设123n x x x x >>>
>
121224n n x x x x -∴+=+==⨯= 121212n n y y y y -+=+=
=⨯=
令
121
n
i
n i x
x x x ==++
∑，则111
n
i n n i x x x x -==++
∑，
()()()12111
24n
i n n n i x x x x x x x n -==++++
∴+=∑，1
2n
i i x n =∴=∑
令
121n
i
n i y y y
y ==++
∑，则111
n
i n n i y y y y -==++
∑，
()()()12111
22n i n n n i y y y n y y y y -=∴=+++++=∑，1
n
i i n y =∴=∑
()13n
i i i x y n =+=∴∑，
故选：D 【点睛】
本题考查了函数的对称性应用，考查了倒序相加法求和，解题的关键是找出中心对称点，属于中档题.
二、填空题
13．10【分析】作出不等式组对于的平面区域利用数形结合即可得到结论【详解】解：作出不等式组对于的平面区域如图：由则平移直线由图象可知当直线经过点时直线在轴上的截距最大此时最大由解得此时故答案为：10【点
解析：10 【分析】
作出不等式组对于的平面区域，利用数形结合即可得到结论． 【详解】
解：作出不等式组对于的平面区域如图： 由32z x y =+，则322
z y x =-+， 平移直线322
z
y x =-
+， 由图象可知当直线322
z
y x =-+， 经过点A 时，直线322
z y x =-
+， 在y 轴上的截距最大，此时z 最大，
由20
y x y =⎧⎨-=⎩，解得(2,2)A ， 此时322210max z =⨯+⨯=， 故答案为：10．
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
14．6【分析】作出不等式组所表示的平面区域结合图象确定目标函数的最优解即可得到答案【详解】由题意作出不等式组所表示的平面区域如图所示因为目标函数可化为直线当直线过点A 时此时目标函数在轴上的截距最大此时目
解析：6 【分析】
作出不等式组所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，即可得到答案. 【详解】
由题意，作出不等式组041x y x y x -≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
所表示的平面区域，如图所示，
因为目标函数2z x y =+，可化为直线2y x z =-+，当直线2y x z =-+过点A 时，此时目标函数在y 轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值， 又由0
4
x y x y -=⎧⎨
+=⎩，解得(2,2)A ，
所以目标函数2z x y =+的最大值为2226z =⨯+=. 故答案为：6.
【点睛】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．
15．40【分析】首先根据正弦定理求并表示最后根据余弦定理求的值【详解】根据正弦定理可知根据余弦定理可知得解得：故答案为：40【点睛】方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更适合或
解析：40 【分析】
首先根据正弦定理求2R ，并表示sin sin 22b c B C R R
+=+，最后根据余弦定理求bc 的值. 【详解】
143
22sin 3
a R R A =⇒==， 根据正弦定理可知
1331322b c b c R R +=⇒+=， 根据余弦定理可知()2
222222cos 3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-， 得249133bc =-，解得：40bc =. 故答案为：40 【点睛】
方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到；(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．
16．3【分析】由题意结合余弦定理得进而可得再由余弦定理即可求得利用平方关系求得进而求得【详解】由余弦定理可得即又所以所以所以所以所以所以故
答案为：3【点睛】本题考查了余弦定理的综合应用考查了同角三角函数
解析：3 【分析】
由题意结合余弦定理得3
c =
，进而可得a =
，再由余弦定理即可求得cos B =
，利用平方关系求得sin B =
，进而求得sin tan 3cos B B B ==. 【详解】
4
A π
=
，∴由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-
即222b a c -=-，
又2
2
212b a c -=
，
所以2212c c =-
，所以3
c =， 222222145299a b c b b b =-=-=
，所以3
a b =，
所以222
2
2
2
58cos 2b b b
a c
b B a
c +-+-===，
所以sin B ==， 所以sin tan 3cos B
B B
=
=， 故答案为：3. 【点睛】
本题考查了余弦定理的综合应用，考查了同角三角函数关系式，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.
17．【分析】由余弦定理可求出角再根据正弦定理即可表示出然后利用消元思想和辅助角公式即可求出的最大值【详解】因为所以而∴∵∴∴其中所以的最大值为当时取得故答案为：【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中
解析：
【分析】
由余弦定理可求出角B ，再根据正弦定理即可表示出2a c +，然后利用消元思想和辅助角公式，即可求出2a c +的最大值． 【详解】
因为2
2
2
a c
b a
c +-=，所以2221
cos 222
a c
b a
c B ac ac +-===，而0B π<<，
∴3
B π
=
．
∵2
sin sin sin sin 3
a b c A B C π
====，∴2sin ,2sin a A c C ==．
∴222sin 4sin 2sin 4sin 4sin 3a c A C A A A A π⎛⎫
+=+=+-=+
⎪⎝⎭
()A ϕ=+
，其中tan 2
ϕ=
． 所以2a c +
的最大值为2
A π
ϕ=-时取得．
故答案为： 【点睛】
本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，以及利用三角函数求解三角形中的最值问题，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
18．【分析】由a1b 依次成等差数列可得再利用乘1法及基本不等式计算即可求得答案【详解】且a1b 依次成等差数列当且仅当即取等号故的最小值为故答案为：【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用涉及等差中项的定
解析：9
2
【分析】
由a ，1，b 依次成等差数列，可得2a b +=，再利用乘“1”法及基本不等式计算，即可求得答案． 【详解】
0a >，0b >，且a ，1，b 依次成等差数列， ∴2a b +=，
∴
(
)41141141941(52222
b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当4b a a b =，即43
a =，2
3b =，取等号， 故
14
a b +的最小值为92
． 故答案为：9
2
． 【点睛】
本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及等差中项的定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．
19．【分析】首先利用与的关系式求数列的通项公式再利用裂项相消法求再利用的最值求的最小值【详解】当时解得或当两式相减后可得整理后得：所以数
列是公差为1的等差数列即数列单调递增当时对任意的恒成立即的最小值是
解析：1
3
【分析】
首先利用n S 与n a 的关系式，求数列{}n a 的通项公式，再利用裂项相消法求n T ，再利用n T 的最值求k 的最小值. 【详解】
当1n =时，2
111122S a a a =+=，解得10a =或11a =，
0n a >，11a ∴=，
当2n ≥，2
2
11122n n n
n n n S a a S a a ---⎧=+⎨=+⎩，两式相减后可得()()()22
1112n n n n n n S S a a a a ----=-+-，
整理后得：()()1110n n n n a a a a --+--=，所以11n n a a --=，
∴数列{}n a 是公差为1的等差数列，即n a n =，
()()112111221221n n n n n n b n n n n +++==-
++++++，
2231
111111...21222223221n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1112121
n n +=
-+++ 111321
n n +=
-++， 数列{}n T 单调递增，当n →+∞时，13
n T → 对任意的*n N ∈，n k T >，恒成立，
()max n k T ∴>，即13k ≥,k 的最小值是1
3
.
故答案为：1
3
【点睛】
易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： (1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；
(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；
(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.
20．【分析】由题意可得进而可得然后再利用累加法即可求出结果【详解】由
题意可知所以即所以……所以又所以∴所以是数列中的第项故答案为：【点睛】本题考查了数列的递推公式和累加法的应用考查学生的计算能力属于中档题 解析：2049
【分析】
由题意可得21n n n a a a ++=+，进而可得2
1211n n n n n a a a a a ++++⋅=+⋅，然后再利用累加法，即
可求出结果． 【详解】
由题意可知21n n n a a a ++=+，
所以()1211n n n n n a a a a a ++++⋅=⋅+，即2
1211n n n n n a a a a a ++++⋅=+⋅
所以2
20482049204820482047a a a a a ⋅=+⋅，
2
20472048204720472046a a a a a ⋅=+⋅，
……
223221·a a a a a ⋅=+，
所以222
2048204920482047221·
a a a a a a a ⋅=++⋯++， 又21a a =
所以2
2
2
2
204820492048204721a a a a a a ⋅=++⋯++
∴
222
2123204820492048a a a a a a ++++=．
所以
222
21232048
2048
a a a a a ++++是数列中的第2049项.
故答案为：2049 ． 【点睛】
本题考查了数列的递推公式和累加法的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．
三、解答题
21．（1）见解析（2）0<p <0.3 【解析】
分析：（1）由题意可得随机变量X 1的分布列和期望；结合X ～B (2，p )可得随机变量X 2的分布列和期望．（2）由E (X 1)<E (X 2)可得关于p 的不等式，解不等式可得所求． 详解：(1)由题意得X 1的分布列为
∴E (X 1)＝1.2×16＋1.18×12＋1.17×1
3
＝1.18. 由题设得X ～B (2，p )，即X 的分布列为
2
2＝1.3×(1－2p ＋p 2)＋2.5×(p －p 2)＋0.2×p 2 ＝－p 2－0.1p ＋1.3.
(2)由E (X 1)<E (X 2)，得－p 2－0.1p ＋1.3>1.18， 整理得(p ＋0.4)(p －0.3)<0， 解得－0.4<p <0.3. 因为0<p <1， 所以0<p <0.3．
即当E (X 1)<E (X 2)时，p 的取值范围是()0,0.3.
点睛：(1)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．
(2)求解离散型随机变量X 的均值与方差时，只要在求解分布列的前提下，根据均值、方差的定义求EX ，DX 即可．
22．（1）{|1x x ≤-或3}x ≥；（2）(,4]-∞. 【解析】
试题分析：（1）先对不等式移项并因式分解得()()310x x -+≥，再根据不等号方向得不等式解集，（2）先化简不等式，并分离12a x x ⎛⎫
≤+
⎪⎝⎭
，转化为求对应函数最值：()min a h x ≤，其中()12h x x x
⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，再根据基本不等式求()h x 最值，即得a 的取值范
围. 试题
（1）若()2,3a f x =≥
即()()2
230,310x x x x --≥-+≥
所以原不等式的解集为{|1x x ≤-或3}x ≥ （2）()2
2f x x ≥--即12a x x ⎛⎫
≤+
⎪⎝⎭
在[)1,x ∈+∞时恒成立，
令()12h x x x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，等价于()min a h x ≤在[)1,x ∈+∞时恒成立，
又()124h x x x ⎛⎫=+
≥= ⎪⎝
⎭，当且仅当1x x =即1x =等号成立，所以4a ≤. 故所求a 的取值范围是(]
,4-∞. 23．（1）()2sin 26g x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，单调递增区间为：(,3)k k k Z πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
-++∈；（2）
【分析】
（1）由题可得()2sin 26g x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，令2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+即可解得单调
递增区间；
（2）由题可得2c =，6
B π
=或2
B π
=
，由余弦定理可求得a ，即可求出面积.
【详解】
（1）()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫
=+=+
⎪⎝
⎭
， ()f x 图象向右平移6π
个单位长度得到2sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象，
横坐标缩短为原来的
1
2 (纵坐标不变)得到2sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象， 所以()2sin 26g x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
， 令2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+，解得3
6
k x k π
π
ππ-
+≤≤
+，
所以()g x 的单调递增区间为：(,3)k k k Z πππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
-
++∈ （2）由（1）知，62c g π⎛⎫
⎪⎝⎭
==，
因为21sin cos cos 3664B B B πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-+=+=，所以1cos 62B π⎛⎫
⎪⎝=±⎭
+
又因为()0,B π∈，所以7,666
B π
ππ
+
=⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 当1
cos 62
B π⎛⎫ ⎪⎝=⎭+时，,636B B πππ+==，
此时由余弦定理可知，2422cos
126a a π+-⨯⨯=
，解得a =，
所以
12sin 26ABC S π
=⨯⨯⨯=， 当1cos 62B π⎛⎫ ⎪⎝=-⎭
+时，2,632B B πππ+==，
此时由勾股定理可得，a ==，
所以122S =
⨯⨯=△ABC 【点睛】
关键点睛：本题考查三角函数的图象变换求三角函数的性质，以及解三角形的应用，解题的关键是根据图象变换正确得出变换后的解析式.
24．（1）3A π=
；（2）12
. 【分析】 （1）由已知化简可得22cos 5cos 30A A +-=，解出1cos 2
A =即可求出角A 的大小； （2）利用面积公式可求得b ，再利用余弦定理可求得a ，进而求出ABC 外接圆直径，得出所求.
【详解】
（1）5cos cos 25sin sin cos2B C B C A +=+，
25cos()22cos 1B C A ∴++=-，
22cos 5cos 30A A ∴+-= 解得1cos 2
A =或cos 3A =-（舍去）.
0A π<<，所以3A π=
. （2）313sin 223
S bc π==，6bc
∴=， 3,c b =∴= 由余弦定理得22212369,3a b c bc a =+-=+-==
，
由正弦定理得ABC
外接圆直径2sin 2
a R A === 2(2)sin sin 6R B C bc ==，
所以1sin sin 2
B C =
. 【点睛】
本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是正确利用正余弦定理进行化简.
25．（1）1n a n =+；（2）12
n n n T -=
. 【分析】
（1）根据222n n n S a a =+-可得211122n n n S a a +++=+-，两式作差证明{}n a 为等差数列，由此求解出{}n a 的通项公式；
（2）先根据232
n n n a a b --=
求解出{}n b 的通项公式，然后采用错位相减法进行求和，由此求解出n T .
【详解】
（1）因为222n n n S a a =+-，所以211122n n n S a a +++=+-，
所以两式作差有：221112n n n n n a a a a a +++=+--， 所以()()221111n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-，且0n a >，所以10n n a a ++>，
所以11n n a a +-=，所以{}n a 是公差为1的等差数列，
且21111222S a a a ==+-，所以12a =或11a =-（舍），
所以()2111n a n n =+⋅-=+；
（2）因为232n n n a a b --=，所以122n n n b --=， 所以01211012...2222n n n T ---=++++，所以12311012...22222n n
n T --=++++， 两式作差可得：012311
111112+ (2222222)
n n n n T ------=++++-， 所以11
111222221212
n n n n T --⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
-⎝⎭=---，所以11112221222n n n n n n T ---⎛⎫-⎛⎫=---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】 思路点睛：满足等差乘以等比形式的数列{}n a 的前n 项和n S 的求解步骤（错位相减法）：
（1）先根据数列的通项公式写出数列n S 的一般形式：123...n n S a a a a =++++； （2）将（1）中的关于n S 等式的左右两边同时乘以等比数列的公比()1q ≠；
（3）用（1）中等式减去（2）中等式，注意用（1）中等式的第一项减去（2）中等式的第2项，依次类推，得到结果；
（4）利用等比数列的前n 项和公式以及相关计算求解出n S .
26．（Ⅰ）2n n a =；（Ⅱ）22
n n T n =+． 【分析】
（Ⅰ）利用等差中项的定义得出n S 与n a 的关系，然后由1(2)n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的递推关系，求出1a 其为等比数列，从而得通项公式；
（Ⅱ）用裂项相消法求和n T ．
【详解】
解：（Ⅰ）因为n n
S a 和2n a 的等差中项为1， 所以22n n n
S a a +=，即22n n S a =-， 当2n 时，1122n n S a --=-．
两式相减得1122n n n n S S a a ---=-，整理得12n n a a -=．
在22n n S a =-中，令1n =得12a =，
所以，数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，
因此1222n n n a -=⨯=．
（Ⅱ）411log 2n n n b a ++==
． 则114114(1)(2)12+⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭
n n b b n n n n ． 所以11111111244233412222n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-=⨯-=
⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭． 【点睛】
方法点睛：本题考查求等比数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，
（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；
（2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法；
（3）裂项相消法；数列1{}n n k
a a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa q
b +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；
（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．。