第八讲 加法和减法中的巧算

• 解答：（1） 45+37+46+39+40+42+40+41+39+39+37+41+45 +49+44 • =40×15+（5-3+6-1+0+2+0+1-1-1-3+1+5+9+4） • =600+24 • =624 • （2）原式=（9996+4）-（5778+4-2782）+（9997+3） -（4559+3-1562）+（9998+2）-（6291+2-3289）+ （9999+1） • -（7546+1-4547） • =10000-3000+10000-3000+10000-3000+100003000 • =28000 • 说明：（1）当要计算的一些数相对比较接近时，可以先把它 们看成同一个“基数”，然后“多退少补”。 • （2）主要依据是：被减数与减数同时加上或减去同一个数， 差不变。
总结 • 对加减法采用一些简便快速的计算方法不仅 可以在计算中节省大量的时间，还可以保证计算 的正确，这种练习可以训练思维的灵活性，提高 计算能力。 • 加减法速算基本上是以课堂中所学的加法交 换律、加法结合律以及减法的性质等作为算理基 础的，因此，熟练掌握这些算律对加减法的速算 有很大帮助。 • 记住一些可以凑整的数的特征，能否迅速而 准确地区分哪些数可以凑整，而哪些数不可以， 对大多数加减法简算具有重要意义。 • 本节采用凑整法、拆数法、添数法、整齐划 一法，这些都是速算中常用的方法，是要求必须 掌握的内容。
第八讲 加法和减法中的巧算
• 加减混合式的巧算 • 巧算，就是借助一些运算定律和运算 的性质能使一些有特点的计算方法简便。 并不是说所有的计算都可以简便的。下面 给大家介绍一些常见的巧算方法 • 1.通常称为“凑整法”。 • 2.去括号和添括号。 • 3.带符号“搬家” 。 • 4.两个数相同而符号相反的数可以直接 “抵消”掉。 • 5.找“基准数”法。
• （2）计算下图中所有数的和：
• 分析：为了能凑整计算，可以给每个图补加两个中间数，用完后再减 去多加的部分即可。 • 解：上图的和可以这样计算： • （88+12）×3+（23+77）×3+（34+66）×3+（31+69） ×3 • -（12+23+34+31）×2 • =300+300+300+300-200 • =1000 • 说明：本例方法中，采用先添上数帮助简化计算，然后把添 • 上的数减去的方法，这种方法在今后的学习中经常会用到，希望大家 用心理解掌握。注意，添上的数和减去的数要大小相等，保证等式前 后的一致。
• • • • • • • • •
1.通常称为“凑整法”。 ①36+87+64②99+136＋101 ③ 1361＋972＋639＋28 解：①式=（36＋64）＋87 =100＋87=187 ②式=（99＋101）＋136 =200+136=336 ③式=（1361＋639）＋（972＋28） =2000+1000=3000
• 例1 计算下列各题。 • （1）46+73+54 （2）49+37+51+63 • 分析：这两道题都是加法算式，我们可以利用加法交换律和结合律使 计算简便。对于加法，无论先加哪几个数和都是一样的，通过观察， 我们很容易就判断出来，46和54可以凑100，49和51可以凑100， 37和63可以凑100。所以这两道题可以这样计算： • 解答：（1）46+73+54 • =(46+54)+73 • =100+73 • =173 • （2）49+37+51+63 • =(49+51)+(37+63) • =100+100 • =200 • 说明：本题的关键在于能够迅速而准确地判断出哪两个数可以凑整。 实际上，通过上面的游戏，大家不难发现一个规律，即能凑整十、整 百、整千……的数有如下特征：两个加数的个位加起来等于10，十位、 百位……分别加起来等于9。
•
4.两个数相同而符号相反的数可以直接 “抵消”掉 计算9+2-9＋3 • 解：原式=9-9＋2+3=5
• 5.找“基准数”法 几个比较接近于某一整数的数相加时， 选这个整数为“基准数”。 计算 78+76＋83＋82+77＋80＋79＋85 • 解：原式=80×8-2-4+3+2-3+0-1+5 ＝640
• • • • • • • • • • • • • • • •
2．用简便方法计算下列各题： （1）8216-236-216 （2）723-900+277 （3）2345-（345+187） 解答：（1）8216-236-216 =8216-216-236 =8000-236 =7764 （2）723-900+277 =723+277-900 =1000-900 =100 （3）2345-（345+187） =2345-345-187 =2000-187 =1813 说明：注意“带着符号搬家”的问题。本题经常出错的地方 是，很多同学通常只移动数的位置，不管前面的运算符号， 违反了加减法的运算定律和性质。
• 3．用简便方法计算下列各题： • （1）612-197 （2）897+163+499 • 分析：本题中含有接近整百的数，可以采用把一 个数拆成两个数的和或差的方法。 • 解答：（1）612-197 • =612-200+3 • =412+3 • =415 • （2）897+163+499 • =900+163+500-3-1 • =1563-3-1 • =1559
• 例5 （1）求下列所有数的和： • 45，37，46，39，40，42，40，41，39，39，37，41，45，49， 44； • （2）计算： • 9996-（5778-2782）+9997-（4559-1562）+9998-（6291-3289） +9999-（7546-4547） • 分析： • （1）这十五个数都接近40，可以将40看成基数，全部先按40计算，共有 15个40，然后再多退少补。 • （2）观察这个算式，我们可以根据运算及数的变化规律将这道题分成4个 部分：9996-（5778-2782） • 9997-（4559-1562） • 9998-（6291-3289） • 9999-（7546-4547） • 通过比较发现：9996与10000相差4，5778与2782的后三位也相差4； • 9997与10000相差3，4559与1562的后三位也相差3； • 9998与10000相差2，6291与3289的后三位也相差2； • 9999与10000相差1，7546与4547的后三位也相差1； • 可以将9996与5778同时补上4，差不变，此时5778加上4，后再减去 2782恰好等于3000，而9996加上4后正好等于10000。同样的道理，其 它三组数也采用这种方法处理，9997和4559分别加上3，9998和6291分 别加上2，9999与7546分别加上1。这样，每一部分保证差号和添括号的法则 • 在只有加减运算的算式里，如果括号 前面是“＋”号，则不论去掉括号或添上 括号，括号里面的运算符号都不变；如果 括号前面是“-”号，则不论去掉括号或添上 括号，括号里面的运算符号都要改变，“+” 变“-”，“-”变“+”，即： • a＋（b＋c＋d）＝a＋b＋c＋d • a-（b＋c＋d）＝a-b-c-d • a-（b-c）＝a-b+c
• • • • • • • • •
①100＋（10＋20＋30） ② 100-（10＋20+3O） ③ 100-（30-10） 解：①式=100＋10＋20＋30 =160 ②式=100-10-20-30 =40 ④ 100＋10＋20＋30 ③式=100-30＋10 ⑤ 100-10-20-30 ＝80 ⑥ 100-30＋10 解：④式=100＋（10+20+30） =100＋60=160 ⑤式=100-（10＋20+30） ＝100-60=40 ⑥式=100-（30-10） =100-20=80
• • • •
练习题 1．用简便方法计算下列各题： （1）997+785+215 （2）1456+7566+2434+8544
• • • • • • • •
解答：（1）997+785+215 =997+（785+215） =997+1000 =1997 （2）1456+7566+2434+8544 =（1456+8544）+（7566+2434） =10000+10000 =20000
• 3.带符号“搬家” • 计算 325＋46-125＋54 • 解：原式=325-125＋46+54 • ＝（325-125）+（46＋54） • =200+100＝300 • 注意：每个数前面的运算符号是这个数的 符号.如+46，-125，+54.而325前面虽 然没有符号，应看作是+325。
• • • •
• • • • • • • •
例3 用简便方法计算 （1）402-37-63 （2）479+47-79 （3）5-7+8-9+10-11+12 分析：（1）连续减去两个数，相当于减去这两个数的和，而37和63 正好可以凑成整百，所以可以先做加法，再用402减去它们的和； （2）先加上一个数再减去一个数，也可以先减后加，479减去79可 以凑成整百。（3）乍一看，小数不能减大数，可以采用“带着符号 搬家”的方法，先加后减，调整一下运算顺序即可。 解答：（1）402-37-63 （3）5-7+8-9+10-11+12 =402-(37+63) =5+8+10+12-7-9-11 =402-100 =35-27 =302 =8 （2）479+47-79 或者：5-7+8-9+10-11+12 =479-79+47 =5+8-7+10-9+12-11 =400+47 =5+(8-7)+(10-9)+(12-11) =447 =5+1+1+1
=8
• 说明：加减法的计算与生活更为接近，一种简算是不是合理，完全可 以用生活中的事情打比方。比如，用存钱与贷款来比喻加减法，先存 后贷与先贷后存，对于你的总钱数来讲是一样的。
• 例4 （1）计算：37+63+37+89+11+89+74+26+74 • 分析：（1）可以看出，37+63=100，89+11=100， 74+26=100，可以凑成整百计算，然后再把其它的几个数加起来， 这是一种方法；但这些数有一个明显的规律，即可以分成以下几组： 37+63+37，89+11+89，74+26+74。如果再分别补上一个63、 11、26就可以变成37+63+37+63，……，每组的和可以凑整为 200，然后再将补上的数减去。 • 解答：（1）方法一：37+63+37+89+11+89+74+26+74 • =（37+63）+（89+11）+（74+26）+（37+89+74） • =100+100+100+200 • =300+200 • =500 • 方法二：37+63+37+89+11+89+74+26+74 • =（37+63+63+37）+（89+11+11+89）+（74+26+26+74） -（63+11+26） • =200+200+200-100 • =500
• 例2 用简便方法计算： • （1）39+498 （2）1003-799 （3）999+99+9 • 分析：（1）498接近500，就把它看作500来加，由于多加了2，再 采取“多加要减”的方法，减去2；（2）799接近800，就把它看作 800来减，由于多减了1再采用“多减要加”的方法，加上1；（3） 把999看作1000，把99看作100，这样每个数都多加1，一共多加了 2，再减2。 • 解答：（1）39+498 • =39+500-2 • =539-2 • =537 • （2）1003-799 • =1003-800+1 • =203+1 • =204 • （3）999+99+9 • =1000+100+9-2 • =1100+9-2 • =1107 • 说明：其中（2）题还可以把1003看成1000，先用1000-799，然 后再加上3，结果相等。即1003-799=1000799+3=201+3=204。