牛顿莱布尼公式

牛顿莱布尼公式
牛顿 - 莱布尼茨公式学习资料。

一、公式内容。

1. 公式表达式。

- 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F(x)是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，那么∫_a^bf(x)dx = F(b)-F(a)。

- 这里F(x)满足F^′(x)=f(x)。

例如，对于函数f(x) = 2x，其一个原函数
F(x)=x^2，那么∫_1^22xdx=x^2big_1^2=2^2 - 1^2=3。

二、公式的意义。

1. 计算定积分的有力工具。

- 在牛顿 - 莱布尼茨公式出现之前，计算定积分是非常复杂的事情。

例如，对于∫_a^bx^2dx，如果按照定积分的定义（分割、近似、求和、取极限）来计算，过程十分繁琐。

而牛顿 - 莱布尼茨公式将定积分的计算转化为求原函数在区间端点的值的差，大大简化了定积分的计算过程。

2. 建立了导数与定积分之间的联系。

- 导数表示函数的变化率，定积分表示函数在区间上的累积效应。

牛顿 - 莱布尼茨公式表明这两种看似不同的概念实际上有着紧密的联系。

它是微积分基本定理的重要组成部分，体现了微分和积分这一对矛盾的相互转化关系。

三、公式的使用条件。

1. 函数的连续性。

- 函数f(x)在区间[a,b]上必须连续。

如果函数在区间内有间断点，那么直接使用牛顿 - 莱布尼茨公式可能会得到错误的结果。

例如，对于函数f(x)=(1)/(x)在区间[ - 1,1]上，x = 0是其间断点，不能直接用牛顿 - 莱布尼茨公式计算∫_-1^1(1)/(x)dx。

2. 原函数的存在性。

- 需要找到f(x)在区间[a,b]上的一个原函数F(x)。

有些函数的原函数不能用初等函数表示，如f(x)=e^-x^{2}，虽然它在任何区间[a,b]上连续，但它的原函数不能用我们常见的初等函数表示，这就给使用牛顿 - 莱布尼茨公式带来了一定的困难。

我们可以用数值方法或者其他特殊的函数表示方法来处理这类问题。

四、公式的证明（简单理解）
1. 从定积分的定义出发。

- 定积分∫_a^bf(x)dx的定义是limlimits_λ→0∑_i = 1^nf(ξ_i)Δ x_i，其中
λ=max{Δ x_1,Δ x_2,·s,Δ x_n}，[a,b]被分割成n个小区间[x_i - 1,x_i]，ξ_i∈[x_i -
1,x_i]。

- 设F(x)是f(x)的一个原函数，根据拉格朗日中值定理，在每个小区间[x_i - 1,x_i]上，F(x_i)-F(x_i - 1)=F^′(ξ_i)(x_i-x_i - 1) = f(ξ_i)Δ x_i。

- 那么∑_i = 1^nf(ξ_i)Δ x_i=∑_i = 1^n[F(x_i)-F(x_i - 1)]=F(b)-F(a)，当λ→0（也就是n→∞）时，就得到了∫_a^bf(x)dx = F(b)-F(a)。

五、例题讲解。

1. 例1：计算∫_0^1x^3dx
- 我们求f(x)=x^3的一个原函数，根据求导公式(x^n)^′ = nx^n - 1，可知
F(x)=(1)/(4)x^4+C（C为常数，在计算定积分时C会被消去，所以这里我们可以取C = 0）。

- 然后根据牛顿 - 莱布尼茨公式∫_0^1x^3dx=(1)/(4)x^4big_0^1=(1)/(4)×1^4-(1)/(4)×0^4=(1)/(4)。

2. 例2：计算∫_-2^2(x^2+1)dx
- 先求f(x)=x^2+1的原函数，F(x)=(1)/(3)x^3+x+C，取C = 0。

- 再根据公式∫_-2^2(x^2+1)dx=<=ft((1)/(3)x^3+x)big_-2^2
- =<=ft((1)/(3)×2^3+2)-<=ft((1)/(3)×(- 2)^3+(-2))
- =<=ft((8)/(3)+2)-<=ft(-(8)/(3)-2)
- =(14)/(3)-<=ft(-(14)/(3))=(28)/(3)。