2020版数学新攻略大一轮浙江专用精练:专项强化练五 三角函数最值或值域的求解策略 Word版含解析
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2
(1)求角 A 和角 B 的大小;
3
(2)已知当 x∈R 时,函数 f(x)=sin x(cos x+asin x)的最大值为 ,求 a 的值.
2
解析 (1)由(b+c)2-a2=(2+ 2)bc 得 b2+c2-a2= 2bc,
������2 + ������2 - ������2 2
∴cos A=
(2)若方程 f(x)=|t2-t|无解,则|t2-t|>f(x)max=2, ∴t2-t>2 或 t2-t<-2,
解 t2-t>2 得 t>2 或 t<-1,
解 t2-t<-2 得 t∈⌀.
综上可得 t>2 或 t<-1.
8.(2018 浙江名校协作体)已知函数 f(x)=sin ωxcos ωx+cos2ωx(ω>0)的最
������
������
������ 2
2
������
+km(k∈Z),即 x0= 2 +km(k∈Z).
( ) ( ) ( ) ( ) ������20+[������(������0)]2=
������
2 + km
2
+3sin2
π
2 + kπ
=
������
2 + km
2
+3cos2kπ=m2
1
2
2������
( ) (2)g(x)=f(2x)=
2
sin
2
4������ +
π 4
+1.
2
[ ] [ ] π
π
3π π
当 x∈
-
4,0
时,4x+ ∈
4
-
4 ,4 ,
( )3π 1 - 2
∴g(x)min=g - 16 = 2 ,g(x)max=g(0)=1.
9.(2018 暨 阳 联 谊 学 校 高 三 联 考 )已 知 函 数 f(x)=2cos x·(a2sin x+bcos
=
=2,则 b=2cos A,由 三 角 形 ACB 为 锐 角 三 角 形 可 得
sin������cos������ sin������cos������
π
{
0 < ������ < 2,
π
0 < ������ = 2������ < 2,
π
0 < ������ = π - ������ - 2������ < 2,
专项强化练五 三角函数最值或值域的求解策略
( ) ( ) 1.(2017 陕西西安改编)已知 f(x)=sin
2
π
019������ + 6
+cos
2
019������
-
π 3
的最大
值为 A,若存在实数 x1,x2,使得对任意实数 x 总有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则
A|x1-x2|的最小值为( )
1
3.已知向量 a=(sin ωx,cos ωx),b=(1,-1),函数 f(x)=a·b,且 ω> ,x∈R,若
2
f(x)的任何一条对称轴与 x 轴交点的横坐标都不属于区间(3π,4π),则 ω 的
取值范围是( )
[ ] [ ] [ ] [ ] 7 15 13 19
A. 12,16 ∪ 12,16
A. π
B. 2π
2 019
2 019
4π
π
C.
D.
2 019
4 038
( ) ( ) ( ) 答 案 B f(x)=sin
2
π
019������ + 6
+cos
2
019������
-
π 3
=sin
2
π
019������ + 6
+cos
( ) ( ) 2
π
019������ + 6
小正周期为 π.
(1)求 ω 的值;
1
(2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),得到函
2
[ ] 数 y=g(x)的图象,求函数 y=g(x)在区间
-
π
4,0
上的最值.
( ) 2
π1
2π
解析 (1)f(x)=
2
sin
2������������ + 4
+ ,∵T= =π,∴ω=1.
cos������
b 的取值范围是 .
答案 2;( 2, 3)
������ sin������
������sin������
������
解析 本题主要考查解三角形.由正弦定理得 = ,所以 b= ,所以 =
������ sin������
sin������
cos������
sin������ sin2������
������
其中tan������ = ������2
,
由题意可得 b- ������4 + ������2=-1,b+ ������4 + ������2=3,
解得 a2= 3,b=1.
( )π
∴f(x)=2sin 2������ + 6 +1.
( ) ∴f(x+φ)=2sin
2������
+
2������
=,
2������������
2
又 A∈(0,π),
π
∴A= .
4
由 sin
Asin
B=cos2������,得
2
sin
B=1 + cos������,
22
2
( ) 即
2sin
3
B=1+cos 4π
-
������ ,
( ) 2
整理得 sin
2
2
B+ cos
2
B=1,∴sin
π
4+B
=1,
( )3π
又由 2·π+φ=π+2kπ(k∈Z),得 φ=-π+2kπ(k∈Z),又|φ|<π,所以 φ=-π,所以
3
2
6
2
6
( )π
f(x)=2sin 2������ - 6 .
(2)g(x)=f(x)+4sin2x= 3sin 2x-cos 2x+2(1-cos 2x)= 3sin 2x-3cos 2x+2=2
16 4
43
16
12 16
12 16
4
[ ] 1
7 11
现不属于区间(3π,4π),∴上面的并集在全集 <ω<1
2
中做补集,得
ω∈
12,16
[ ] ∪
11 15
12,16
,故选
B.
4.(2018 暨阳联谊学校高三联考)锐角三角形 ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边 分别为 a,b,c,若 a=1,B=2A,则 ������ = ,
x), f(x)=a·b+1.
(1)求函数 f(x)的最小正周期;
(2)若方程 f(x)=|t2-t|(t∈R)无实数解,求 t 的取值范围.
解析 (1)f(x)=a·b+1=2 3sin xcos x-2cos2x+1
= 3sin 2x-cos 2x
( )π
=2sin 2������ - 6 , 故 f(x)的最小正周期为 π.
2+k
2
+3,
∵k∈Z,∴k=0 时,������20+[������(������0)]2取得最小值���4���2+3,存在 f(x)的极值点 x0 满足������20+
[������(������0)]2<m2
只需������2+3<m2,即
4
m2>4,解得
m<-2
或
m>2.
7.(2018 杭州高三上学期期末)设向量 a=(2 3sin x,-cos x),b=(cos x,2cos
π
+6
+1.
π
π
ππ
由 y=f(x+φ)的图象关于直线 x= 对称得 2× +2φ+ = +kπ(k∈Z),
2
2
62
∴φ=������π-π(k∈Z),
23
π
∴|φ|min=6.
| ( ) | π
(2) 作出 y=|f(x)|,x∈[0,π]的图象,如图,故 y=|f(x)|= 2sin 2������ + 6 + 1 在
( ) 3sin
2������
-
π 3
+2,
[ ] [ ] 因为
x∈
π
0,2
,所以
2x-π∈
3
-
π 2π
3, 3
,
( ) [ ] 所以 sin
2������
-
π 3
∈
-
3
2 ,1 ,
所以 g(x)的值域为[-1,2+2 3].
11.(2018 宁波效实中学等五校联考)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, 且(b+c)2-a2=(2+ 2)bc,sin Asin B=cos2������.
( ) 再令 x-1=t,则 t>0,得 tan A+tan B+tan C=2
3·������2 + 2t + 1=2
������
3·
1
������ + ������ + 2
≥8
3,
当且仅当 tan Btan C=x=2 时,取到等号,则(tan A+tan B+tan C)min=8 3.
6.设函数 f(x)=
π
又 B∈ 0, 4
,故 B= .
4
(2)f(x)=sin x(cos x+asin x)=sin2������ - ������cos2������+������
63
5π
2π
C. D.
6
3
( ) 答案 D f(x)=asin
x-
3cos
x=
������2 + 3sin
(x-φ) tan������ =
3
,
������
∵f(x)图象的对称轴为直线 x=-π6,∴φ=kπ+π3(k∈Z),∵f(x1)·f(x2)=-4,
π
5π
2π
∴x1=-6+2k1π(k1∈Z),x2= 6 +2k2π(k2∈Z),∴|������1 + ������2|min= 3 ,故选 D.
( ) ������ >
0,������
> 0,|������|
<
π 2
的部分图象如图所示.
(1)求 f(x)的解析式;
[ ] (2)设函数
g(x)=f(x)+4sin2x,x∈
π
0,2
,求
g(x)的值域.
( ) 7π π
解析 (1)由题图得 A=2,最小正周期 T=4× 12 - 3 =π,
所以 ω=2,
7 11 11 15
B. 12,16 ∪ 12,16
( ] [ ] ( ] 19
12,16
D.
1 11
2,16
∪
11 15
12,16
( ) 答案 B f(x)=sin
ωx-cos
ωx=
2sin ������������
-
π
1
2π
������
,由 ω> ,得 T= <4π, >π,
4
2
������
2
( ) 1<ω<1,由对称轴
2
ωx-π=π+kπ(k∈Z),则
42
x= 1
������
3
4π + ������π
,(k∈Z),假设对称轴在
区间(3π,4π)内,可知 3 +������<ω<1+������,当 k=1,2,3 时, 7 <ω< 7 ,11<ω<11,15<ω<5,
x)(x∈R)的值域为[-1,3].
(1)若函数 y=f(x+φ)的图象关于直线 x=π对称,求|φ|的最小值;
2
(2)当 x∈[0,π]时,方程|f(x)|=c 有四个实数根,求 c 的取值范围.
( ) 解析 (1)f(x)=a2sin
2x+bcos
2x+b=
������4 + ������2sin(2x+θ)+b
ππ
所以 <A< ,所以 b 的取值范围是(
2,
3).
64
5.(2018 金丽衢十二校联考)在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,
( ) 若 b2+c2=4bcsin
π
������ + 6
,则 tan
A+tan
B+tan
C 的最小值是 .
答案 8 3
( ) 解析 由余弦定理得 b2+c2=a2+2bccos
-
π 2
=2sin
2
π
019������ + 6
.
������ 2π
2π
∴A=2,|x1-x2|≥2=2 × 2
019,∴A|x1-x2|≥2
,故选
019
B.
2.已知函数 f(x)=asin
x-
3cos
π
x
关于直线
x=- 对称,且
6
f(x1)·f(x2)=-4,则
|x1+x2|的最小值为( )
A.πB.π
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] π π 2π 5π
π π 2π 5π
0,6 , 2, 3 , 6 ,π 上单调递增;在 6,2 , 3 , 6 上单调递减,
( ) ( ) ( ) 2π
π 5π
∵f(0)=f(π)=2, f =1, f =f =0,
3
2
6
∴c∈(0,1).
10.(2018 嘉 兴 高 三 上 学 期 期 末 )已 知 函 数 f(x)=Asin(ωx+φ)
3sinπ������.若存在
������
f(x)的极值点
x0
满足������20+[������(������0)]2<m2,则
m
的
取值范围是 .
答案 m<-2 或 m>2
3
π
ππ
������
解 析 f '(x)= πcos x,令 f '(x)=0,则 x= +kπ(k∈Z),解 得 x=
A⇒a2+2bccos
A=4bcsin
π
(1)求角 A 和角 B 的大小;
3
(2)已知当 x∈R 时,函数 f(x)=sin x(cos x+asin x)的最大值为 ,求 a 的值.
2
解析 (1)由(b+c)2-a2=(2+ 2)bc 得 b2+c2-a2= 2bc,
������2 + ������2 - ������2 2
∴cos A=
(2)若方程 f(x)=|t2-t|无解,则|t2-t|>f(x)max=2, ∴t2-t>2 或 t2-t<-2,
解 t2-t>2 得 t>2 或 t<-1,
解 t2-t<-2 得 t∈⌀.
综上可得 t>2 或 t<-1.
8.(2018 浙江名校协作体)已知函数 f(x)=sin ωxcos ωx+cos2ωx(ω>0)的最
������
������
������ 2
2
������
+km(k∈Z),即 x0= 2 +km(k∈Z).
( ) ( ) ( ) ( ) ������20+[������(������0)]2=
������
2 + km
2
+3sin2
π
2 + kπ
=
������
2 + km
2
+3cos2kπ=m2
1
2
2������
( ) (2)g(x)=f(2x)=
2
sin
2
4������ +
π 4
+1.
2
[ ] [ ] π
π
3π π
当 x∈
-
4,0
时,4x+ ∈
4
-
4 ,4 ,
( )3π 1 - 2
∴g(x)min=g - 16 = 2 ,g(x)max=g(0)=1.
9.(2018 暨 阳 联 谊 学 校 高 三 联 考 )已 知 函 数 f(x)=2cos x·(a2sin x+bcos
=
=2,则 b=2cos A,由 三 角 形 ACB 为 锐 角 三 角 形 可 得
sin������cos������ sin������cos������
π
{
0 < ������ < 2,
π
0 < ������ = 2������ < 2,
π
0 < ������ = π - ������ - 2������ < 2,
专项强化练五 三角函数最值或值域的求解策略
( ) ( ) 1.(2017 陕西西安改编)已知 f(x)=sin
2
π
019������ + 6
+cos
2
019������
-
π 3
的最大
值为 A,若存在实数 x1,x2,使得对任意实数 x 总有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则
A|x1-x2|的最小值为( )
1
3.已知向量 a=(sin ωx,cos ωx),b=(1,-1),函数 f(x)=a·b,且 ω> ,x∈R,若
2
f(x)的任何一条对称轴与 x 轴交点的横坐标都不属于区间(3π,4π),则 ω 的
取值范围是( )
[ ] [ ] [ ] [ ] 7 15 13 19
A. 12,16 ∪ 12,16
A. π
B. 2π
2 019
2 019
4π
π
C.
D.
2 019
4 038
( ) ( ) ( ) 答 案 B f(x)=sin
2
π
019������ + 6
+cos
2
019������
-
π 3
=sin
2
π
019������ + 6
+cos
( ) ( ) 2
π
019������ + 6
小正周期为 π.
(1)求 ω 的值;
1
(2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),得到函
2
[ ] 数 y=g(x)的图象,求函数 y=g(x)在区间
-
π
4,0
上的最值.
( ) 2
π1
2π
解析 (1)f(x)=
2
sin
2������������ + 4
+ ,∵T= =π,∴ω=1.
cos������
b 的取值范围是 .
答案 2;( 2, 3)
������ sin������
������sin������
������
解析 本题主要考查解三角形.由正弦定理得 = ,所以 b= ,所以 =
������ sin������
sin������
cos������
sin������ sin2������
������
其中tan������ = ������2
,
由题意可得 b- ������4 + ������2=-1,b+ ������4 + ������2=3,
解得 a2= 3,b=1.
( )π
∴f(x)=2sin 2������ + 6 +1.
( ) ∴f(x+φ)=2sin
2������
+
2������
=,
2������������
2
又 A∈(0,π),
π
∴A= .
4
由 sin
Asin
B=cos2������,得
2
sin
B=1 + cos������,
22
2
( ) 即
2sin
3
B=1+cos 4π
-
������ ,
( ) 2
整理得 sin
2
2
B+ cos
2
B=1,∴sin
π
4+B
=1,
( )3π
又由 2·π+φ=π+2kπ(k∈Z),得 φ=-π+2kπ(k∈Z),又|φ|<π,所以 φ=-π,所以
3
2
6
2
6
( )π
f(x)=2sin 2������ - 6 .
(2)g(x)=f(x)+4sin2x= 3sin 2x-cos 2x+2(1-cos 2x)= 3sin 2x-3cos 2x+2=2
16 4
43
16
12 16
12 16
4
[ ] 1
7 11
现不属于区间(3π,4π),∴上面的并集在全集 <ω<1
2
中做补集,得
ω∈
12,16
[ ] ∪
11 15
12,16
,故选
B.
4.(2018 暨阳联谊学校高三联考)锐角三角形 ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边 分别为 a,b,c,若 a=1,B=2A,则 ������ = ,
x), f(x)=a·b+1.
(1)求函数 f(x)的最小正周期;
(2)若方程 f(x)=|t2-t|(t∈R)无实数解,求 t 的取值范围.
解析 (1)f(x)=a·b+1=2 3sin xcos x-2cos2x+1
= 3sin 2x-cos 2x
( )π
=2sin 2������ - 6 , 故 f(x)的最小正周期为 π.
2+k
2
+3,
∵k∈Z,∴k=0 时,������20+[������(������0)]2取得最小值���4���2+3,存在 f(x)的极值点 x0 满足������20+
[������(������0)]2<m2
只需������2+3<m2,即
4
m2>4,解得
m<-2
或
m>2.
7.(2018 杭州高三上学期期末)设向量 a=(2 3sin x,-cos x),b=(cos x,2cos
π
+6
+1.
π
π
ππ
由 y=f(x+φ)的图象关于直线 x= 对称得 2× +2φ+ = +kπ(k∈Z),
2
2
62
∴φ=������π-π(k∈Z),
23
π
∴|φ|min=6.
| ( ) | π
(2) 作出 y=|f(x)|,x∈[0,π]的图象,如图,故 y=|f(x)|= 2sin 2������ + 6 + 1 在
( ) 3sin
2������
-
π 3
+2,
[ ] [ ] 因为
x∈
π
0,2
,所以
2x-π∈
3
-
π 2π
3, 3
,
( ) [ ] 所以 sin
2������
-
π 3
∈
-
3
2 ,1 ,
所以 g(x)的值域为[-1,2+2 3].
11.(2018 宁波效实中学等五校联考)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, 且(b+c)2-a2=(2+ 2)bc,sin Asin B=cos2������.
( ) 再令 x-1=t,则 t>0,得 tan A+tan B+tan C=2
3·������2 + 2t + 1=2
������
3·
1
������ + ������ + 2
≥8
3,
当且仅当 tan Btan C=x=2 时,取到等号,则(tan A+tan B+tan C)min=8 3.
6.设函数 f(x)=
π
又 B∈ 0, 4
,故 B= .
4
(2)f(x)=sin x(cos x+asin x)=sin2������ - ������cos2������+������
63
5π
2π
C. D.
6
3
( ) 答案 D f(x)=asin
x-
3cos
x=
������2 + 3sin
(x-φ) tan������ =
3
,
������
∵f(x)图象的对称轴为直线 x=-π6,∴φ=kπ+π3(k∈Z),∵f(x1)·f(x2)=-4,
π
5π
2π
∴x1=-6+2k1π(k1∈Z),x2= 6 +2k2π(k2∈Z),∴|������1 + ������2|min= 3 ,故选 D.
( ) ������ >
0,������
> 0,|������|
<
π 2
的部分图象如图所示.
(1)求 f(x)的解析式;
[ ] (2)设函数
g(x)=f(x)+4sin2x,x∈
π
0,2
,求
g(x)的值域.
( ) 7π π
解析 (1)由题图得 A=2,最小正周期 T=4× 12 - 3 =π,
所以 ω=2,
7 11 11 15
B. 12,16 ∪ 12,16
( ] [ ] ( ] 19
12,16
D.
1 11
2,16
∪
11 15
12,16
( ) 答案 B f(x)=sin
ωx-cos
ωx=
2sin ������������
-
π
1
2π
������
,由 ω> ,得 T= <4π, >π,
4
2
������
2
( ) 1<ω<1,由对称轴
2
ωx-π=π+kπ(k∈Z),则
42
x= 1
������
3
4π + ������π
,(k∈Z),假设对称轴在
区间(3π,4π)内,可知 3 +������<ω<1+������,当 k=1,2,3 时, 7 <ω< 7 ,11<ω<11,15<ω<5,
x)(x∈R)的值域为[-1,3].
(1)若函数 y=f(x+φ)的图象关于直线 x=π对称,求|φ|的最小值;
2
(2)当 x∈[0,π]时,方程|f(x)|=c 有四个实数根,求 c 的取值范围.
( ) 解析 (1)f(x)=a2sin
2x+bcos
2x+b=
������4 + ������2sin(2x+θ)+b
ππ
所以 <A< ,所以 b 的取值范围是(
2,
3).
64
5.(2018 金丽衢十二校联考)在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,
( ) 若 b2+c2=4bcsin
π
������ + 6
,则 tan
A+tan
B+tan
C 的最小值是 .
答案 8 3
( ) 解析 由余弦定理得 b2+c2=a2+2bccos
-
π 2
=2sin
2
π
019������ + 6
.
������ 2π
2π
∴A=2,|x1-x2|≥2=2 × 2
019,∴A|x1-x2|≥2
,故选
019
B.
2.已知函数 f(x)=asin
x-
3cos
π
x
关于直线
x=- 对称,且
6
f(x1)·f(x2)=-4,则
|x1+x2|的最小值为( )
A.πB.π
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] π π 2π 5π
π π 2π 5π
0,6 , 2, 3 , 6 ,π 上单调递增;在 6,2 , 3 , 6 上单调递减,
( ) ( ) ( ) 2π
π 5π
∵f(0)=f(π)=2, f =1, f =f =0,
3
2
6
∴c∈(0,1).
10.(2018 嘉 兴 高 三 上 学 期 期 末 )已 知 函 数 f(x)=Asin(ωx+φ)
3sinπ������.若存在
������
f(x)的极值点
x0
满足������20+[������(������0)]2<m2,则
m
的
取值范围是 .
答案 m<-2 或 m>2
3
π
ππ
������
解 析 f '(x)= πcos x,令 f '(x)=0,则 x= +kπ(k∈Z),解 得 x=
A⇒a2+2bccos
A=4bcsin
π