浙江省乐清市芙蓉中学2016届高三数学12月月考试题理

芙蓉中学高三数学（理科）第二次月考试卷
一、选择题（4085=⨯分） 1、已知集合2{20},{12}P x x x Q x x =-≥=<≤，则 =Q P C R )(（ ）
A.[0,1)
B. (0,2]
C. (1,2)
D. [1,2]
2、若向量()3,2-=x a 与向量()2,1+=y b 相等，则 ( )
A x=1,y=3
B x=3,y=1
C x =1,y= -5
D x=5,y= -1
3．已知a ，b 是实数，则“| a ＋b |＝| a |＋| b |”是“ab ＞0”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4、为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ） A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π
个单位
C.向右平移12π个单位
D.向左平移12π
个单位
5、设实数x ，y 满足不等式组
，若z=x+2y ，则z 的最大值为（ ） A ． ﹣1
B ． 4
C ．
D ．
6、若cos 2sin 5,αα+=-则tan α= ( )
（A ）
21 （B ）2 （C ）2
1- （D ）2- 7、已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则12231n n a a a a a a ++++=( ) （A ）16（n --4
1） （B ）16（n --21） （C ）332（n --41） （D ）3
32（n --21） 8、设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 成等比数列,则sin cos tan sin cos tan A A C B B C
+⋅+⋅的取值范围是( )
A.()0,+∞
B.51⎫-+∞⎪⎪⎝⎭
C.51⎛+ ⎝⎭
D.5151-+⎝⎭ 二、填空题（分364364=⨯+⨯）
9、若函数log ()(0,1)a y x b a a =+>≠的图象过两点(1,0)-和），（2
10，则实数a ＝ ， b ＝ ．
10、函数()()
213log 9f x x =-的定义域为______________, 单调递增区间为
_____________________________
11、设等差数列{}n a 的公差为6，且4a 为2a 和3a 的等比中项．则1a = ，数列{}n a
的前n 项和n S = ．
12、函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调递减区间是 _______________________ ．
13、若
2log 3a =，则22a a -+= ___ ．
14、设函数()22,0,,0.x x x f x x x ⎧+⎪=⎨-⎪⎩＜≥ 则方程f(f (x) ) = 2的解是 ． 15、正实数x,y 满足xy+x+2y=6，则x+y 的最小值为 ___ .
三、解答题（分7414154=+⨯）
16、已知ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且ABC △
的周长为1，
sin sin A B C +=．
（I ）求边c 的长；
（II ）若ABC △的面积为
1sin 6
C ，求角C 的度数．
17、已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且12PA AD DC ===，1AB =，M 是PB 的中点
（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ；
（Ⅱ）求AC 与PB 所成角的余弦值；
（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的余弦值的大小
18、已知数列{}*∈=+=N n a S a S n a n n n n ,222,1，满足项和为的前
(1)求n a
(2)求证：()()()()()()3
111 (11111321)
211<++++++++++n n n
a a a a a a a a a
19、函数
， （1）若，试讨论函数的单调性； （2）若，试讨论的零点的个数；
20、已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>过点3(1,)2P ，离心率为21. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）设12F F 、分别为椭圆C 的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同两点,M N ，
记1F MN ∆的内切圆的面积为
S ，求当S 取最大值时直线l 的方程，并求出最大值．
（答题卷） 一、选择题（4085=⨯分） 1 2 3 4 5 6 7 8 二、填空题（分364364=⨯+⨯） 9、____________________ __________________ 10、____________________ ___________________ 11、____________________ ___________________ 12、____________________ ___________________ 13、____________________ 14、____________________ 15、____________________ 三、解答题（分7414154=+⨯） 16、已知ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且ABC △
的周长为1，
sin sin A B C +=． （I ）求边c 的长； （II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．
班级______
_______
_____姓名_
_______
_________
_考号
___
___ 。

装。

订。

线。

17、已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且12
PA AD DC ===，1AB =，M 是PB 的中点 （Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ；
（Ⅱ）求AC 与PB 所成角的余弦值；
（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的余弦值的大小
18、已知数列{}*∈=+=N n a S a S n a n n n n ,222,1，满足项和为的前
（1）求n a （2）求证：()()()()()()3111...11111321211<++++++++++n n n a a a a a a a a a
19、函数，
（1）若，讨论函数的单调性
（2）若，试讨论的零点的个数；
20、已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>过点3(1,)2P ，离心率为21. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）设12F F 、分别为椭圆C 的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同两点,M N ，
记1F MN ∆的内切圆的面积为
S ，求当S 取最大值时直线l 的方程，并求出最大值．
答案
一、选择题
1、C
2、B
3、B
4、D
5、C
6、B
7、C
8、D
二、填空题
9、_4_ ， _ 2_ 10、(),3-∞-或（3，+无穷） (),3-∞- 11、-14，3n 2-17n 12、)](87,83[,z k k k ∈++πππππ 13、10/3 14、2 15、3-24 三、解答题
16、解：（I ）由题意及正弦定理，得21AB BC AC ++=+，2BC AC AB +=，
两式相减，得1AB =．
（II ）由ABC △的面积11sin sin 26
BC AC C C =，得13BC AC =， 由余弦定理，得222
cos 2AC BC AB C AC BC
+-= 22()2122
AC BC AC BC AB AC BC +--==， 所以60C =．
17. 证明：以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为
1(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2
A B C D P M （Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=⋅==所以故
由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD 又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD
（Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC
.510||||,cos ,2,5||,2||=⋅⋅>=<=⋅==PB AC PB AC PB AC PB AC PB AC 所以
故 （Ⅲ）解：在MC 上取一点(,,)N x y z ，则存在,R ∈λ使,MC NC λ=
..2
1,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x MC z y x NC 要使14,00,.25
AN MC AN MC x z λ⊥=-==只需即解得
0),52,1,51(),52,1,51
(,.
0),52
,1,51
(,54=⋅-===⋅=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λ
ANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=⋅=⋅所以得由.,0,0为 所求二面角的平面角
30
30
4
||,||,.
5552
cos(,).3||||2
arccos().
3AN BN AN BN AN BN
AN BN AN BN ===-∴==-⋅-故所求的二面角为
18、略)2(2)1(n n a =
19、解答：（1） 图像如下：
所以在和上为增函数，在上为减函数；
（2）的零点，除了零点以外的零点
即方程的根
作图和，如图可知：
当直线的斜率： 当
时有一根； 当
时有两根； 当
时，有一根； 当时，有一根； 当（当和相切时）没有实数根； 当（当和相切时）有一根； 当
时有两根． 综上所述： 当时，函数有且仅有一个零点； 当或或或时，函数有两个零点； 当或时，有三个零点．
20、解：（Ⅰ）由题意得222229
1141,,2
c a b c a b a +===+ 解得2,3,1a b c == 椭圆C 的标准方程为22
143
x y += （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ，2F MN ∆的内切圆半径为r ，则 22211()8422
F MN S MN F M F N r r r ∆=++== 所以要使S 取最大值，只需2F MN S ∆最大
212121212
F MN S F F y y y y ∆=-=- 设直线l 的方程为 1x ty =+
将1x ty =+代入22
143
x y +=可得22(34)690t y ty ++-=(*) 0∆>恒成立，方程(*)恒有解，1212226,3434t y y y y t t --+=
=++９
1234F MN S t
∆==+ 记(1)m m =≥ 121212
1
313F MN m S m m m
∆==++ 在[)1,+∞上递减
当1max 10)3F MN m t S ∆===即时，（，此时max 9:1
16l x S π==。