等可能条件下的概率(二)-2020-2021学年九年级数学上册同步课堂帮帮帮(苏科版)(解析版)

等可能条件下的概率（二）
无限个结果的等可能事件
如果区域I上有一个区域A，假设每次试验能够落在I上的任意一点处，并且落在任一点的可能性总是
相同的，记区域I的面积为S总，区域A的面积为S A，那么一次试验落在区域A上的概率.
特别地，如果区域A被划分为m等份，用其中的一等份作为基本面积单位来划分，区域I被分成n等份（其中n＞m），那么一次试验落在区域A上的概率.
1.试验的结果要有无限性和等可能性；
2.无限个结果的等可能事件的概率可转化为有限个结果的等可能事件的概率进行计算.
例：如图所示，转盘停止后，指针落在哪个颜色区域的可能性大？为什么？
【解答】落在黄色区域的可能性大
【解析】由图可知：黄色占整个转盘面积的，
红色占整个转盘面积的
蓝色占整个转盘面积的，
由于黄色所占比例最大，所以，指针落在黄色区域的可能性较大.
巩固练习
一．选择题
1．一个小球在如图所示的方砖上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则最终停在阴影部分上的概率是（）
A．2
5B．4
15
C．8
15
D．不确定
【解答】A
【解析】观察这个图可知：阴影区域（6块）的面积占总面积（15块）的6
15=2
5
，
则它最终停留在阴影部分的概率是2
5
，
故选A．
2．小华把如图所示的4×4的正方形网格纸板挂在墙上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是（）
A．3
16B．1
4
C．5
16
D．7
16
【解答】C
【解析】∵正方形的面积为4×4＝16，阴影区域的面积为1
2×4×1+1
2
×2×3＝5，
∴飞镖落在阴影区域的概率是5
16
，
故选C．
3．一只小花猫在如图的方砖上走来走去，最终停留在阴影方砖上的概率是（）
A．1
3B．1
5
C．2
15
D．4
15
【解答】A
【解析】∵图中共有15个方格，其中黑色方格5个，
∴黑色方格在整个方格中所占面积的比值5
15=1
3
，
∴最终停在阴影方砖上的概率为1
3
，
故选A．
4．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成黑、白两种颜色指针的位置固定，转动的转盘停止后，指
针恰好指向白色扇形的穊率为7
8
（指针指向OA时，当作指向黑色扇形；指针指OB时，当作指向白色扇形），则黑色扇形的圆心角∠AOB＝（）
A．40°B．45°C．50°D．60°
【解答】B
【解析】∵指针恰好指向白色扇形的穊率为7
8
，
∴黑、白两种颜色的扇形的面积比为1：7，
∴∠AOB=1
8
×360°＝45°，
故选B．
5．如图，小明在操场上画了一个半径分别为1，2，3的同心圆的图案，现在往这个图案中随机扔一颗石子，这颗石子恰好落在区域C中的概率是（）
A．1
3B．1
5
C．1
7
D．1
9
【解答】D
【解析】最小圆的面积为π，最大圆的面积为9π，
所以往这个图案中随机扔一颗石子，这颗石子恰好落在区域C中的概率是π
9π=1
9
，
故选D．
6．王刚设计了一个转盘游戏：随意转动转盘，使指针最后落在红色区域的概率为1
3
，如果他将转盘等分成12份，则红色区域应占的份数是（）
A ．3份
B ．4份
C ．6份
D ．9份
【解答】B
【解析】∵他将转盘等分成12份，指针最后落在红色区域的概率为1
3
，
设红色区域应占的份数是x ， ∴x
12=1
3， 解得x ＝4， 故选B ．
7． 正方形ABCD 的边长为4，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD 内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为（ ）
A ．
π−22
B ．
π−24
C ．
π−28
D ．π−2
16
【解答】A
【解析】如图，连接P A 、PB 、OP ； 则S 半圆O =
π⋅222
=2π，S △ABP =1
2×4×2＝4，
由题意得：图中阴影部分的面积＝4（S 半圆O ﹣S △ABP ）＝4（2π﹣4）＝8π﹣16， 则米粒落在阴影部分的概率为：8π−1616
=
π−22
；
故选A ．
8． 如图所示是“赵爽弦图”飞镖板，是由直角边长分别为2和1的四个直角三角形和一个小正方形（阴影部分）拼成．某人向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（ ）
A．1
3B．1
4
C．1
5
D．√5
5
【解答】C
【解析】直角三角形的两条直角边的长分别是2和1，则小正方形的边长为1，根据勾股定理得大正方形的边长为√5，
∴飞镖落在阴影部分的概率=小正方形的面积
大正方形的面积=1
5
，
故选C．
9．如图，随意向水平放置的大⊙O内部区域抛一个小球，△ABC为正三角形，则小球落在小⊙O内部（阴影）区域的概率为（）
A．1
2B．1
4
C．1
3
D．1
9
【解答】B
【解析】∵如图所示的是正三角形，∴∠CAB＝60°，
∴∠OAB＝30°，∠OBA＝90°，设OB＝a，则OA＝2a，
则小球落在小⊙O内部（阴影）区域的概率为πa 2
π(2a)2=1
4
．
故选B．
10．正方形地板由9块边长均相等的小正方形组成，米粒随机地撒在如图所示的正方形地板上，那么米粒最终停留在黑色区城的概率是（）
A．1
3B．2
9
C．2
3
D．4
9
【解答】B
【解析】∵由图可知，黑色方砖2块，共有9块方砖，
∴黑色方砖在整个地板中所占的面积的比值=2
9
，
∴米粒停在黑色区域的概率是2
9
．
故选B．
11．如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了白色和红色两个区域，任意转动转盘一次，当转盘停止转动时（若指针停在边界处，则重新转动转盘），指针落在红色区域内的概率是（）
A．1
6B．1
5
C．1
3
D．1
2
【解答】C
【解析】指针落在红色区域内的概率是120
360=1
3
，
故选C．
12．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作两个半圆，向直角扇形OAB内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率是（）
A ．1−2
π
B ．12
−1
π
C ．2
π
D ．1
π
【解答】A
【解析】设OA 的中点是D ，则∠CDO ＝90°，半径为r S 扇形OAB =1
4πr 2
S 半圆OAC =12π（r 2）2=1
8πr 2
S △ODC =1
2
×r
2
×r
2
=1
8
r 2
S 弧OC =12S 半圆OAC ﹣S △ODC =1
16πr 2
−1
8r 2
两个圆的弧OC 围成的阴影部分的面积为1
8πr 2
−1
4r 2
图中阴影部分的面积为1
4
πr 2
﹣2×1
8
πr 2
+2（1
8
πr 2
−1
4
r 2
）=14
πr 2−1
2
r 2
∴该点刚好来自阴影部分的概率是：1−2
π． 故选A ．
二．填空题
13．一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为 ．
【解答】1
2
【解析】由图形知，
S ①＝S ②，
∴阴影部分的面积为正方形面积的一半， ∴蚂蚁停在阴影部分的概率为1
2， 故答案为1
2．
14．如图，小明在地上画了两个半径分别为2m 和3m 的同心圆．然后在一定距离外向圆内投掷小石子．若未投掷入大圆内则需重新投掷．则小明掷中白色部分的概率为 ．
【解答】4
9
【解析】∵同心圆的两个半径分别为2m 和3m ， ∵小明掷中白色部分的概率=π×22π×32
=4
9
．
故答案为4
9，
15．如图，BP 平分∠ABC ，AP ⊥BP ，垂足为P ，连接CP ，若三角形△ABC 内有一点M ，则点M 落在△BPC 内（包括边界）的概率为 ．
【解答】1
2
【解析】延长AP 交BC 于E ，
∵BP 平分∠ABC ， ∴∠ABP ＝∠EBP ， ∵AP ⊥BP ，
∴∠APB ＝∠EPB ＝90°， 在△ABP 和△EBP 中， {∠ABP =∠EBP
BP =BP ∠APB =∠EPB
， ∴△ABP ≌△EBP （ASA ）， ∴AP ＝PE ，
∴S △ABP ＝S △EBP ，S △ACP ＝S △ECP ， ∴S △PBC =1
2S △ABC ，
则点M 落在△BPC 内（包括边界）的概率S
△BPC S △ABC
=1
2．
故答案为1
2．
16．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 ．
【解答】π
8
【解析】根据图形的对称性知，黑色部分为圆面积的一半， 设圆的半径为1，则正方形的边长为2， 所以黑色部分的面积为S =1
2
•π•12
=π
2
，
则所求的概率P =π
222
=π
8，
故答案为π
8．
17．两同学玩扔纸团游戏，在操场上固定了如下图所示的矩形纸板，E 为AD 中点，且∠ABD ＝60°，每次
纸团均落在纸板上，则纸团击中阴影区域的概率是．
【解答】1
8
【解析】根据矩形的性质易证矩形的对角线把矩形分成的四个三角形均为等底等高的三角形，故其面积相等，
又∵E为AD中点，
∴S△ODE=1
2
S△OAD，
∴S△ODE=1
8
S矩形纸板ABCD，
∴击中阴影区域的概率是1
8
．
故答案为1
8
．
18．如图是由全等的小正方形组成的图案，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是．
【解答】5
9
【解析】设阴影部分的面积是5x，则整个图形的面积是9x，
则这个点取在阴影部分的概率是5x
9x =5
9
．
故答案为5
9
．
19．小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是．
【解答】1
4
【解析】飞镖落在阴影区域的概率是2
8=1
4
，
故答案为1
4
．
20．如图，一张圆形纸片中，画出7个同样大小的圆并涂上颜色．若一只蚂蚁（蚂蚁视为一点）随机的停留在该纸片上，则蚂蚁停留在涂有颜色部分的概率为．
【解答】7
9
【解析】设小圆的半径为r，则大圆的半径就是3r，
7个小圆的面积是：7•r2π＝7πr2，
大圆的面积是：（3r）2π＝9πr2，
则蚂蚁停留在涂有颜色部分的概率为7πr 2
9πr2=7
9
；
故答案为7
9
．
21．在正方形ABCD中，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD 内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为．
【解答】π−2
2
【解析】如图，连接P A、PB、OP；
则S 半圆O =π×122=π2，S △ABP =12×2×1＝1， 由题意得：图中阴影部分的面积＝4（S 半圆O ﹣S △ABP ）
＝4（π2−1）＝2π﹣4， ∴米粒落在阴影部分的概率为
2π−44=π−22， 故答案为π−22．
22．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在涂色部分的概率是 ．
【解答】14
【解析】∵总面积为4×4＝16，其中阴影部分面积为4，
∴飞镖落在涂色部分的概率是
416=14， 故答案为14．
23．小红随机地在如图所示的边长为6的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为 ．
【解答】√39π
【解析】∵如图所示的正三角形，
∴∠CAB ＝60°，
∵正方形的边长为6，
∴AB =12×6＝3，
∵⊙O 是内切圆，
∴∠OAB ＝30°，∠OBA ＝90°，
∴BO ＝AB tan 30°＝3×
√33=√3， 则正三角形的面积是
√34×62＝9√3，而圆的半径是√3，面积是π•（√3）2＝3π， 因此概率是9
√3=√39π， 故答案为√39π．
24．如图，边长为2的正方形MNEF 的四个顶点分在大圆O 上，小圆O 与正方形各边都相切，AB 与CD 是大圆O 的直径，AB ⊥CD ，CD ⊥MN ，小明随意向水平放置的该圆形区域内抛一个小球，则小球停在该图中阴影部分区域的概率为 ．
【解答】14
【解析】∵小圆O 与正方形各边都相切，AB 与CD 是大圆O 的直径，AB ⊥CD ，CD ⊥MN ，
∴图形是中心对称图形，大圆的半径为√2，
∴图中阴影部分的面积＝S 扇形OBC =90⋅π⋅(√2)2
360
=12π，大圆的面积是：（√2）2•π＝2π， ∴小球停在该图中阴影部分区域的概率为12π2π=14； 故答案为1
4．
三．解答题
25．已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3：7．如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，“落在陆地上”与“落在海洋里”哪种可能性大？
【解答】“落在海洋里”可能性大
【解析】宇宙中飞来一块陨石落在地球上，落在陆地上”的概率=33+7=310，“落在海洋里”的概率=73+7=710，
所以宇宙中飞来一块陨石落在地球上，“落在海洋里”可能性大．
26．在边长为1的正方形ABCD 内任意选取一点P ，分别联结P A 、PB ，构成△P AB ．
（1）求△P AB 的面积小于等于14的概率； （2）求△P AB 的面积在16至15之间的概率．
【解答】（1）12
；（2）115 【解析】（1）14×2÷1=12． 答：△P AB 的面积小于14的概率是12； （2）16×2=13
15
×2=25 （25−13）÷1=115．
答：△P AB 的面积在16至15之间的慨率是115．
27．如图，△ABC 为等边三角形，点P （x ，y ）在△ABC 内随机移动，求x ＞y 的概率．
【解答】12
【解析】如图，
当P 点在线段CB 上时，x ＞y ，
P （x ＞y ）=12． 28．如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ．如图②，现将与Rt △ABC 全等的四个直角三角形拼成一个正方形EFMN ．
（1）若Rt △ABC 的两直角边之比均为2：3．现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在四个直角三角形区域的概率是多少？
（2）若正方形EFMN 的边长为8，Rt △ABC 的周长为18，求Rt △ABC 的面积．
【解答】（1）1213；（2）9
【解析】（1）∵Rt △ABC 的两直角边之比均为2：3，
∴设b ＝2k ，a ＝3k ，
由勾股定理得，a 2+b 2＝c 2，
∴c =√13k ，
∴针尖落在四个直角三角形区域的概率是4×12×2k×3k
13k 2=1213；
（2）∵正方形EFMN 的边长为8，即c ＝8，
∵Rt △ABC 的周长为18，
∴a +b +c ＝18，
∴a +b ＝10，
则Rt △ABC 的面积=12ab
=1
[（a+b）2﹣（a2+b2）] 4
＝9．。