2017-2018学年高中数学选修1-2教材用书;第二章推理与证明阶段质量检测A卷学业水平达标含答案

(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．下列三句话按三段论模式排列顺序正确的是（)
①y＝cos x（x∈R)是三角函数；
②三角函数是周期函数；
③y＝cos x（x∈R)是周期函数．
A．①②③ B．②①③
C．②③①D．③②①
解析：选B 按三段论的模式，排列顺序正确的是②①③.
2．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：
①a·b＝b·a；
②（a·b）·c＝a·(b·c）；
③a·（b＋c)＝a·b＋a·c;
④由a·b＝a·c（a≠0）可得b＝c.
则正确的结论有( ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
解析：选B 平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由a·b＝a·c(a≠0)得a·（b －c)＝0，从而b－c＝0或a⊥(b－c),故④错误．
3．（山东高考)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3＋ax ＋b＝0 至少有一个实根”时，要做的假设是（）
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0 至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0 恰好有两个实根
解析:选A “至少有一个实根”的否定是“没有实根"，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．
4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”（)
A．各正三角形内一点
B．各正三角形的某高线上的点
C．各正三角形的中心
D．各正三角形外的某点
解析：选C 正三角形的边对应正四面体的面，边的中点对应正四面体的面正三角形的中心．
5．已知a∈（0,＋∞)，不等式x＋错误!≥2，x＋错误!≥3，x＋错误!≥4,…,可推广为x＋错误!≥n＋1，则a的值为( )
A．2n B．n2
C．22（n－1）D．n n
解析:选D 将四个答案分别用n＝1，2,3检验即可，故选D.
6．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f （x)满足［f（x）］y＝f(xy)”的是（）
A．指数函数B．对数函数
C．一次函数D．余弦函数
解析:选A 当函数f(x)＝a x（a〉0,a≠1)时，对任意的x〉0，y〉0,有［f（x）］y＝（a x）y＝a xy＝f（xy)，即指数函数f（x）＝a x（a>0,a≠1)满足[f(x）］y＝f(xy)，可以检验，B、C、D选项均不满足要求．7．观察下列各等式：错误!＋错误!＝2,错误!＋错误!＝2，错误!＋错误!＝2，错误!＋错误!＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( ) A。

错误!＋错误!＝2
B。

错误!＋错误!＝2
C.错误!＋错误!＝2
D.错误!＋错误!＝2
解析：选A 观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋（－2）＝8。

8．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( )
A．6n－2 B．8n－2
C．6n＋2 D．8n＋2
解析：选C 归纳“金鱼”图形的构成规律知,后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8,公差是6的等差数列，通项公式为a n＝6n＋2。

9．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内
切圆半径为r,则r＝2S
a＋b＋c；类比这个结论可知：四面体P。

ABC 的四个面的面积分别为S1，S2,S3，S4，内切球的半径为r,四面体P。

ABC的体积为V，则r＝( ）
A.
V
S1＋S2＋S3＋S4B。

错误!
C.错误!
D.错误!
解析：选C 将△ABC的三条边长a，b,c类比到四面体P.ABC
的四个面面积S1,S2，S3，S4,将三角形面积公式中系数错误!,类比到三棱锥体积公式中系数错误!，从而可知选C.证明如下：以四面体各面为底，内切球心O为顶点的各三棱锥体积的和为V，∴V＝错误!S1r＋错误!S2r ＋错误!S3r＋错误!S4r,∴r＝错误!.
10．数列｛a n}满足a1＝错误!，a n＋1＝1－错误!，则a2 015等于（）
A.错误!
B.－1
C．2 D．3
解析：选B ∵a1＝错误!，a n＋1＝1－错误!，
∴a2＝1－错误!＝－1，
a3＝1－错误!＝2，
a4＝1－错误!＝错误!，
a5＝1－错误!＝－1，
a6＝1－错误!＝2，
∴a n＋3k＝a n（n∈N*，k∈N＊）,
∴a2 015＝a2＋3×671＝a2＝－1.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．已知错误!＝2 错误!，错误!＝3 错误!，错误!＝4 错误!，…,若错误!＝6 错误!（a，b均为实数),则a＝________，b＝________。

解析：由前面三个等式，推测归纳被平方数的整数与分数的关
系，发现规律,由三个等式知，整数和这个分数的分子相同,而分母是这个分子的平方减1，由此推测错误!中:a＝6,b＝62－1＝35，即a＝6，b＝35。

答案：6 35
12．已知圆的方程是x2＋y2＝r2,则经过圆上一点M(x0，y0）的切线方程为x0x＋y0y＝r2。

类比上述性质，可以得到椭圆错误!＋错误!＝1类似的性质为________．
解析：圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M（x0，y0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆错误!＋错误!＝1类似的性质为:经过椭圆错误!＋错误!＝1上一点P （x0，y0)的切线方程为错误!＋错误!＝1.
答案：经过椭圆错误!＋错误!＝1上一点P（x0，y0)的切线方程为错误!＋错误!＝1
13．若定义在区间D上的函数f（x）对于D上的n个值x1，x2,…，x n，总满足错误![f（x1）＋f（x2)＋…＋f(x n）］≤f错误!，称函数f（x）为D上的凸函数．现已知f（x）＝sin x在（0，π)上是凸函数，则△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．
解析:因为f(x）＝sin x在（0，π)上是凸函数（小前提),
所以错误!(sin A＋sin B＋sin C）≤sin错误!(结论)，
即sin A＋sin B＋sin C≤3sin错误!＝错误!.
因此，sin A＋sin B＋sin C的最大值是错误!。

答案:错误!
14．观察下图:
1
2 3 4
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10
……
则第________行的各数之和等于2 0152.
解析:观察知,图中的第n行各数构成一个首项为n，公差为1，共2n－1项的等差数列,其各项和为
S n＝(2n－1)n＋错误!
＝(2n－1）n＋（2n－1)(n－1）＝(2n－1）2，
令(2n－1）2＝2 0152，得2n－1＝2 015，解得n＝1 008。

答案：1 008
三、解答题（本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．(本小题满分12分）已知等差数列{a n}的公差为d,前n项和
为S n，{a n}有如下性质：（m,n，p，q∈N＊)
①通项a n＝a m＋(n－m）d；
②若m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q；
③若m＋n＝2p，则a m＋a n＝2a p；
④S n，S2n－S n,S3n－S2n构成等差数列．
类比上述性质，在等比数列{b n｝中,写出相类似的性质．
解：在等比数列{b n}中，公比为λ(λ≠0），前n项和为S n′,｛b n}有如下性质：（m，n，p，q∈N*）
①通项b n＝b m·λn－m；
②若m＋n＝p＋q,则b m·b n＝b p·b q；
③若m＋n＝2p，则b m·b n＝b错误!;
④S n′，S2n′－S n′,S3n′－S2n′（S n′≠0)构成等比数列．
16．(本小题满分12分）(北京高考节选)已知数列{a n}满足：a1∈N＊，a1≤36，且a n＋1＝错误!（n＝1,2，…)．记集合M＝｛a n｜n∈N*}．
(1)若a1＝6，写出集合M的所有元素；
（2)若集合M存在一个元素是3 的倍数,证明：M的所有元素都是3的倍数．
解：(1)6，12,24。

(2)证明：因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设a k 是3的倍数．
由a n＋1＝错误!可归纳证明对任意n≥k，a n是3的倍数．
如果k＝1，则M的所有元素都是3的倍数．
如果k>1，因为a k＝2a k－1或a k＝2a k－1－36,所以2a k－1是3的倍数，于是a k－1是3的倍数．类似可得,a k－2，…，a1都是3的倍数．从而对任意n≥1，a n是3的倍数，因此M的所有元素都是3的倍数．
综上,若集合M存在一个元素是3的倍数,则M的所有元素都是3的倍数．
17．(本小题满分12分）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，
且其中任意两边长均不相等，若1
a,错误!，错误!成等差数列．
(1)比较错误!与错误!的大小，并证明你的结论；（2）求证:角B不可能是钝角．
解：（1）错误!＜错误!。

证明如下：
要证错误!＜错误!，只需证错误!＜错误!.
∵a，b，c＞0，∴只需证b2＜ac。

∵错误!，错误!，错误!成等差数列,
∴错误!＝错误!＋错误!≥2 错误!，
∴b2≤ac.
又∵a，b,c均不相等，
∴b2＜ac.
故所得大小关系正确．
(2）证明：法一：假设角B是钝角，则cos B＜0.
由余弦定理得，
cos B＝错误!≥错误!＞错误!＞0，
这与cos B＜0矛盾,故假设不成立．
所以角B不可能是钝角．
法二：假设角B是钝角,则角B的对边b为最大边，即b＞a，b ＞c,所以错误!＞错误!＞0，错误!＞错误!＞0，则错误!＋错误!＞错误!＋错误!＝错误!,这与错误!＋错误!＝错误!矛盾，故假设不成立．
所以角B不可能是钝角．
18．(本小题满分14分）我们已经学过了等比数列，你有没有想到是否也有等积数列呢？
(1)类比“等比数列”，请你给出“等积数列"的定义．
（2）若｛a n}是等积数列，且首项a1＝2,公积为6，试写出{a n｝的通项公式及前n项和公式．
学必求其心得，业必贵于专精
解：(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数,那么这个数列叫做等积数列,其中,这个常数叫做公积．（2）由于｛a n｝是等积数列，且首项a1＝2,公积为6，所以a2＝3,a3＝2，a4＝3，a5＝2,a6＝3,…，即{a n}的所有奇数项都等于2，偶数项都等于3,因此{a n}的通项公式为
a n＝错误!
其前n项和公式
S n＝错误!。