电磁场与电磁波——Chap01 矢量分析E

标性Laplace算符
§1.6 场函数的二阶微分运算
标量场 φ
梯度 gradφ = φ v G 矢量
(1) × (φ ) = 0 无旋场
( 2) (φ ) = 2φ 标性拉普拉斯算符 v ( 3) ( × A) = 0 无源场
v 矢量场 A
v 旋度 × A为矢量
v 散度 A为标量
§1.8 亥姆霍兹定理(Helmholz Theorem)
v v v v 3,例:已知矢量函数 F = ex (3 y C1 z ) + e y (C2 x 2 z ) ez (C3 y + z )
(1)如果F是无旋的,确定常数C1,C2和C3; (2)用一标量函数的负梯度表示F
v ex v ×F = x (3 y C1 z ) v ey y (C 2 x 2 z )
v v v A = ( A) × × A
2
2称为矢性拉普拉斯算子,与标性拉普拉斯算符写法相同, 但本质完全不同,运算也不同,作用的对象不同, 直角坐标系中:
2
v v 2 v 2 v 2 A = e x Ax + e y Ay + e z Az
矢性Laplace算符
v v v = ex x + e y y + e z z 2 f 2 f 2 f 2 f = + 2 + 2 2 x y z
无源场可以表示为一个矢量场的旋度;
v v v 若divB = 0,则B = × A
§1.6 场函数的二阶微分运算
(3) 标量场的拉普拉斯(Laplace)运算
φ = φ
2
标量场的梯度的散度运算称为拉普拉斯运算 2=称为标性拉普拉斯算子,读作拉普拉辛(Laplacian) 直角坐标系中:
v v v v v v 2 2 2 2 = = ex x + e y y + ez z ex x + e y y + ez z = x 2 + y 2 + z 2
v v v v F = F1 + F2 = + × A
矢量场的散度和旋度满足的关系式称为矢量场基本方程的微分形 式,决定了矢量场的基本性质 – 散度表示场中某点的通量体密度,是通量源强度的量度 – 旋度表示场中某点的最大环量面密度,是漩涡源强度的量度 在不连续突出的一些表面,常只能用其通量和环量满足的积分形 式的矢量场基本方程进行分析;
∫(
V
φ + φ dV = ∫ φ dS S n
2
)
(1)
格林第一恒等式
S
– –
将上式中的和φ互换,可得 (1)(2)式相减得:
2 2Leabharlann ( φ + φ )dV = ∫ φ dS ∫ n
2 V
(2)
(φ φ )dV = ∫ φ φ dS ∫ n n
V S
(3) 格林第二恒等式
有"通量源", 有"漩涡源" 有"通量源"和"漩涡源"
§1.8 亥姆霍兹定理(Helmholz Theorem)
一般的场既有散度又有旋度,这个矢量场可以表示为一个 无旋场分量和一个无散场分量之和,即
v × F1 0 v v = F1 (r )是一个无旋场, v F1 ρ =
v v v v v v v F (r ) = F1 (r ) + F2 (r ) = + × A
× φ
可作梯度运算 v F
(
)
可作散度或旋度运算 v × F v × × F
( (
) )
其中一些二阶微分运算具有重要性质
§1.6 场函数的二阶微分运算
(1) 标量场的梯度的旋度恒为0
– 在直角坐标系下证明:
× φ = 0
v v v v φ v φ v φ = ex + ey + ez × ex rot (gradφ ) = × φ x + e y y + ez z y z x
v v v v v × F = × (F1 + F2 = × F2 = J ) v v v v F = (F1 + F2 ) = F1 ρ =
v v × F2 J v v = F2 (r )是一个无散场, v F2 0 =
矢量F的散度代表着形成矢量场的一种"源"——通量源/标量源, 矢量F的旋度则代表着形成的另一种"源"——漩涡源/矢量源. 当这两类源在空间的分布确定时,矢量场本身也就唯一的确定了. 散度方程和旋度方程组成了矢量场的基本微分方程,通量方程和环 流方程组成了矢量场的基本积分方程.
v Q × F = 0 v v v v ey ex ∴ F = = ex x y z
= 3xy + 2 yz + 1 z 2 + C 2
x = 3 y = 3 x + 2 z 对比可得 y = 2y + z z
C1 = 0 C2 = 3 C = 2 3
2 2φ v 2φ 2φ v 2φ 2φ vφ = ex yz yz + e y zx zx + ez xy xy = 0
– 旋度与梯度的定义与坐标系无关,所以上式在其他坐标系下也成立
v 任一标量场φ 的梯度所构成的矢量场 F = φ为无旋场; v × F = × φ = 0 v 反之,无旋场F可表示为一个标量场φ的梯度 F = φ 标量函数φ 称为矢量场F的标量位函数;矢量场F称为有位场 或位场;无旋场的标量位函数φ不是唯一的,相差一个常数; v F = (φ + C ) = φ
§1.6 场函数的二阶微分运算
– – 具有连续一阶偏导数的场函数都可作一阶微分运算,如梯度,散度,旋度等 具有连续二阶偏导数的场函数都可作二阶微分运算,有多种不同的组合方式
标量场 φ → 梯度场 φ为矢量场
v v 矢量场 F → 散度场 F为标量场 v → 旋度场 × F为矢量场
可作散度或旋度运算 φ
§1.8 格林(Green)定理
– 格林定理又称为格林恒等式(或格林公式)由英国数学家乔治格林于1982年独立地 提出,是一个原始的定理.从矢量分析的角度看,可以高斯公式简单地导出格林公式
v v v 由高斯定理有 ∫ A dS = ∫ AdV S V v 令 A = φ (其中φ和都是二阶偏导数连续的标量函数) v 则 A = (φ ) = φ + φ = φ + φ 2 v v v v dS 又 A dS = (φ ) dS = (φ ) en dS = φ n
§1.6 场函数的二阶微分运算
(2) 矢量场的旋度的散度恒为0 –在直角坐标系下证明:
v ( × A ) = 0
v ey y Ay v ez =0 z Az
v v div(rotφ ) = ( × A ) ex v v v = ex x + e y y + e z z x Ax
�
2
v × ( × A) r A
(
)
v v v (4) A = ( A) × × A 矢性拉普拉斯算符
§1.7 亥姆霍兹定理(Helmholtz Theorem)
1,定理: v 若矢量场 F 在无限空间中处处单值,且其导数连续有界, v 而场源分布在有限空间,则矢量场F 由其散度和旋度唯一 v v 地确定;且此矢量场 F 可表示为一个无旋场( F1 = ) v v 和一个无源场( F2 = × A )之和,即
圆柱坐标系中:
2 2 2 = 2+ + 2 2+ 2 ρ ρρ ρ z
2
1 2 1 2 1 2 + 2 sin θ + 2 2 球坐标系中: = 2 r r r r r sin θ θ θ r sin θ 2
§1.6 场函数的二阶微分运算
(4) 矢量场的拉普拉斯(Laplace)运算 矢量场散度的梯度减去旋度的旋度即矢量场的Laplace运算
v 解: (1)因为是无旋场,所以 × F = 0
v ez v v v -= = e x (C 3 2 ) + e y ( C1 ) + e z (C 2 3 ) 0 z (C 3 y + z )
(2)
v v v v 已知:F = ex 3 y + e y (3 x 2 z ) ez (2 y + z )
§1.8 亥姆霍兹定理(Helmholz Theorem)
2,几个场的名称和性质 根据矢量场的散度和旋度值是否为0分类: (1) 调和场:
v v 在某区域内处处有 F = 0 且 × F = 0
* 不存在整个空间散度和旋度处处为0的矢量场
(2) 有源,无旋场/保守场: v v F ≠ 0 = ρ 且 ×F = 0 (3) 有旋/非保守场,无源场: v v F ≠ 0 = ρ 且 ×F = 0 (4) 有源有旋场: v v v F ≠ 0 = ρ 且 ×F ≠ 0 = J