新疆巴州市数学高一下期末基础卷(答案解析)

一、选择题
1．(0分)[ID ：12725]已知{}n a 是公差为d 的等差数列，前n 项和是n S ，若
9810S S S <<，则（ ）
A ．0d >，170S >
B ．0d <，170S <
C ．0d >，180S <
D ．0d >，180S >
2．(0分)[ID ：12724]已知向量()cos ,sin a θθ=，()
1,2b =，若a 与b 的夹角为6
π，则a b +=（ ）
A ．2
B
C
D ．1
3．(0分)[ID ：12704]在ABC ∆中，2AB =
，2AC =，E 是边BC 的中点.O 为
ABC ∆所在平面内一点且满足2
2
2
OA OB OC ==，则·AE AO 的值为（ ）
A ．
1
2
B ．1
C ．
2
D ．
32
4．(0分)[ID ：12703]已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则
•()PA PB PC +的最小值是（）
A ．6-
B ．3-
C ．4-
D ．2-
5．(0分)[ID ：12692]已知数列{}n a 的前n 项和2
2n S n n =+，那么它的通项公式是
（ ） A ．21n a n =- B ．21n a n =+ C ．41n a n =-
D ．41n a n =+
6．(0分)[ID ：12691]已知不等式220ax bx ++>的解集为{}
12x x -<<，则不等式
220x bx a ++<的解集为（ ）
A ．112x x ⎧⎫-<<
⎨⎬⎩⎭
B ．112x x x ⎧⎫<->
⎨⎬⎩⎭
或 C ．{}
21x x -<<
D ．{}
21x x x <->或
7．(0分)[ID ：12686]我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若11AA AB ==，当“阳马”即四棱锥
11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的表面积为
A 21
B 31
C ．
23
2
D 33
+8．(0分)[ID ：12685]已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足
(1)(1)f x =f +x -，若(1)2f =，则(1)(2)f +f (3)(2020)f f ++
+=（ ）
A ．50
B ．2
C ．0
D ．50-
9．(0分)[ID ：12676]已知函数()y f x =为R 上的偶函数，当0x ≥时，函数
()()2
10216()122x
x x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭
⎩，若关于x 的方程[]()2
()()0,f x af x b a b R ++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．51,24⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
B ．11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭
C ．1111,,2448⎛⎫
⎛⎫-
--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．11,28⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
10．(0分)[ID ：12630]已知两个正数a ，b 满足321a b +=，则32
a b
+的最小值是( ) A ．23
B ．24
C ．25
D ．26
11．(0分)[ID ：12654]已知二项式2(*)n
x n N x ⎛
∈ ⎝
的展开式中第2项与第3项的二
项式系数之比是2︰5，则3x 的系数为（ ） A ．14
B ．14-
C ．240
D ．240-
12．(0分)[ID ：12651]在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E ，F ，G ，H 四点，如EF 与HG 交于点M ，那么 ( ) A ．M 一定在直线AC 上 B ．M 一定在直线BD 上
C ．M 可能在直线AC 上，也可能在直线B
D 上 D ．M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上
13．(0分)[ID ：12639]在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知5a =，
7b =，8c =，则A C +=
A ．90︒
B ．120︒
C ．135︒
D ．150︒
14．(0分)[ID ：12636]如图，在△ABC 中, 1
3
AN NC =
,P 是BN 上的一点,若
29
AP m AB AC −−→
−−→
−−
→=+,则实数m 的值为( )
A ．
B ．
C ．
1
9
D ．
15．(0分)[ID ：12699]《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17
是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A ．
53
B ．
103
C ．
56
D ．
116
二、填空题
16．(0分)[ID ：12818]在ABC ∆中，若3
B π
=，3AC =2AB BC +的最大值为
__________．
17．(0分)[ID ：12803]已知函数())2
ln
11f x x x =++，()4f a =，则
()f a -=________．
18．(0分)[ID ：12796]直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且与直线20x y +=垂直，则直线l 的方程为 ．
19．(0分)[ID ：12795]已知2a b ==，()()
22a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为 .
20．(0分)[ID ：12791]如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1DD 、DC 上靠近点D 的三等分点，则异面直线EF 与11A C 所成角的大小是______.
21．(0分)[ID ：12790]已知0,0,2a b a b >>+=，则14
y a b
=
+的最小值是__________． 22．(0分)[ID ：12787]已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，
2481a a ⋅=，记数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，则使不等式1
2019113n T ->成立的最大正
整数n 的值是_______． 23．(0分)[ID ：12773]如图，在矩形中，
为边
的中点，1AB =，2BC =，
分别以A 、D 为圆心，1为半径作圆弧EB 、EC （
在线段AD 上）.由两圆弧EB 、EC
及边
所围成的平面图形绕直线
旋转一周，则所形成的几何体的体积为 .
24．(0分)[ID ：12768]设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)
x y xy
++的最小值为
__________.
25．(0分)[ID ：12765]设α为锐角，若4cos()6
5π
α+
=
，则sin(2)12
π
α+的值为______. 三、解答题
26．(0分)[ID ：12889]已知：a b c 、、是同一平面内的三个向量，其中()1,2a = （1）若25c =，且//c a ，求c 的坐标； （2）若5
b =
，且2a b +与2a b -垂直，求a 与b 的夹角θ. （3）若()1,1b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.
27．(0分)[ID ：12878]已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点20M （，）
，AB 边所在直线
的方程为360x y --=，点11T -（，）在AD 边所在直线上. （1）求AD 边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD 外接圆的方程.
28．(0分)[ID ：12847]在ABC 中，a ， b ，c 分别是角A ， B ，C 的对边，
3
cos 5
B =
，21AB BC ⋅=- . （1）求ABC 的面积； （2）若7a = ，求角C .
29．(0分)[ID ：12839]某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
（I ）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P （A ）的估计值； （Ⅱ）记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P （B ）的估计值；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．
30．(0分)[ID ：12837]已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为()4,2A --，()4,2B ，
()13C ，．
（1）求边AB 上的高所在直线的一般式方程； （2）求边AB 上的中线所在直线的一般式方程.
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题
1．D
2．B
3．D
4．A
5．C
6．A
7．C
8．C
9．B
10．C
11．C
12．A
13．B
14．C
15．A
二、填空题
16．【解析】【分析】【详解】设最大值为考点：解三角形与三角函数化简点评：借助于正弦定理三角形内角和将边长用一内角表示转化为三角函数求最值只需将三角函数化简为的形式
17．【解析】【分析】发现计算可得结果【详解】因为且则故答案为-2【点睛】本题主要考查函数的性质由函数解析式计算发现是关键属于中档题
18．【解析】试题分析：设与直线垂直的直线方程：圆化为圆心坐标因为直线平分圆圆心在直线上所以解得故所求直线方程为考点：1直线与圆的位置关系；2直线的一般式方程与直线的垂直关系【思路点睛】本题是基础题考查直
19．【解析】【分析】【详解】根据已知条件去括号得：
20．【解析】【分析】连接可得出证明出四边形为平行四边形可得可得出异面直线与所成
角为或其补角分析的形状即可得出的大小即可得出答案【详解】连接在正方体中所以四边形为平行四边形所以异面直线与所成的角为易知为等
21．【解析】分析：利用题设中的等式把的表达式转化成展开后利用基本不等式求得y的最小值详解：因为所以所以（当且仅当时等号成立）则的最小值是总上所述答案为点睛：该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情
22．6【解析】【分析】设等比数列{an}的公比q由于是正项的递增等比数列可得q＞1由a1+a5=82a2•a4=81=a1a5∴a1a5是一元二次方程x2﹣82x+81=0的两个实数根解得a1a5利用通
23．【解析】由题意可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成；其中圆柱的底面半径为1母线长为2；体积为；两个半球的半径都为1则两个半球的体积为；则所求几何体的体积为考点：旋转体的组合体
24．【解析】【分析】把分子展开化为再利用基本不等式求最值【详解】由得得等号当且仅当即时成立故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立
25．【解析】试题分析：所以考点：三角恒等变形诱导公式二倍角公式同角三角函数关系【思路点晴】本题主要考查二倍角公式两角和与差的正弦公式题目的已知条件是单倍角并且加了我们考虑它的二倍角的情况即同时求出其正弦
三、解答题
26．
27．
28．
29．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】
利用等差数列的通项公式求和公式可判断出数列{}n a 的单调性，并结合等差数列的求和公式可得出结论. 【详解】
9810S S S <<，90a ∴<，9100a a +>，100a ∴>，0d >. 179017S a =<∴，()1891090S a a =+>.
故选：D. 【点睛】
本题考查利用等差数列的前n 项和判断数列的单调性以及不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
先计算a 与b 的模，再根据向量数量积的性质2
2()a b a b +=+即可计算求值. 【详解】
因为()cos ,sin a θθ=，()
1,2b =， 所以||1a =，||3b =.
又
2222
22()2||2||||cos ||6
a b a b a a b b a a b b +=+=+⋅+=+π+
1372
=++=， 所以7a b +=，故选B. 【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量的模的计算，属于中档题.
3．D
解析：D
【分析】
根据平面向量基本定理可知()
1
2
AE AB AC =
+，将所求数量积化为11
22
AB AO AC AO ⋅+⋅；由模长的等量关系可知AOB ∆和AOC ∆为等腰三角形，根据三线合一的特点可将AB AO ⋅和AC AO ⋅化为212AB 和21
2
AC ，代入可求得结果.
【详解】
E 为BC 中点 ()
1
2
AE AB AC ∴=
+ ()
111
222
AE AO AB AC AO AB AO AC AO ∴⋅=
+⋅=⋅+⋅ 2
22
OA OB OC == AOB ∴∆和AOC ∆为等腰三角形
211
cos 22
AB AO AB AO OAB AB AB AB ∴⋅=∠=⋅=，同理可得：21
2
AC AO AC ⋅=
221113
14422
AE AO AB AC ∴⋅=+=+=
本题正确选项：D 【点睛】
本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用模长的等量关系得到等腰三角形，从而将含夹角的运算转化为已知模长的向量的运算.
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，利用向量坐标运算和平面向量的数量积的运算，求得最小值，即可求解. 【详解】
由题意，以BC 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，
则(0,(2,0),(2,0)A B C -，
设(,)P x y ，则(,23),(2,),(2,)PA x y PB x y PC x y =--=---=--，
所以22()(2))(2)22PA PB PC x x y y x y •+=-⋅-+⋅-=-+
222[(3]x y =+-，
所以当0,x y ==()PA PB PC •+取得最小值为2(3)6⨯-=-，
【点睛】
本题主要考查了平面向量数量积的应用问题，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5．C
解析：C 【解析】
分类讨论：当1n =时，11213a S ==+=，
当2n ≥时，2
2
1(2)2(1)141n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎣⎦， 且当1n =时：1414113n a -=⨯-== 据此可得，数列的通项公式为：41n a n =-. 本题选择C 选项.
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，结合韦达定理可构造方程求得
,a b ；利用一元二次不等式的解法可求得结果.
【详解】
220ax bx ++>的解集为{}12x x -<<
1∴-和2是方程220ax bx ++=的两根，且0a <
1212122
b
a a
⎧-=-+=⎪⎪∴⎨⎪=-⨯=-⎪⎩，解得：11a b =-⎧⎨
=⎩ 222210x bx a x x ∴++=+-< 解得：1
12x -<<，即不等式220x bx a ++<的解集为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩
⎭
故选：A 【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法、一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系等知识的应用；关键是能够通过一元二次不等式的解集确定一元二次方程的根，进而利用韦达定
理构造方程求得变量.
7．C
解析：C
【解析】
分析：由四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的23
，知只要三棱柱体积最大，则四棱锥体积也最大，求出三棱柱的体积后用基本不等式求得最大值，及取得最大值时的条件，再求表面积．
详解：四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的23，11111122ABC A B C V AC BC AA AC BC -=
⋅⋅=⋅222111()444AC BC AB ≤+==，当且仅当
AC BC ==
时，取等号．
∴121)12S =⨯
+++⨯= 故选C ． 点睛：本题考查棱柱与棱锥的体积，考查用基本不等式求最值．解题关键是表示出三棱柱的体积．
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
利用()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数可得：()()f x f x -=-且()00f =，结合(1)(1)f x =f +x -可得：函数()f x 的周期为4；再利用赋值法可求得：()20f =，()32f =-，()40f =，问题得解.
【详解】
因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，
所以()()f x f x -=-且()00f =
又(1)(1)f x =f +x -
所以()()()()()21111f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=-=-⎣⎦⎣⎦
所以()()()()()4222f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=--=⎣⎦⎣⎦
所以函数()f x 的周期为4，
在(1)(1)f x =f +x -中，令1x =，可得：()()200f f ==
在(1)(1)f x =f +x -中，令2x =，可得：()()()3112f f f =-=-=-
在(1)(1)f x =f +x -中，令3x =，可得：()()()4220f f f =-=-=
所以(1)(2)f +f ()()()()2020(3)(2020)12344
f f f f f f ⎡⎤+++=⨯+++⎣⎦ 50500=⨯=
故选C
【点睛】
本题主要考查了奇函数的性质及函数的周期性应用，还考查了赋值法及计算能力、分析能力，属于中档题．
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
作出函数()y f x =的图像，设()f x t =，从而可化条件为方程20t at b ++=有两个根，利用数形结合可得114t =
，2104
t <<，根据韦达定理即可求出实数a 的取值范围. 【详解】
由题意，作出函数()y f x =的图像如下，
由图像可得，10()(2)4f x f ≤≤=
关于x 的方程[]()2()()0,f x af x b a b R ++=∈有且仅有6个不同的实数根，
设()f x t =，
20t at b ∴++=有两个根，不妨设为12,t t ；
且114t =
，2104t << 又12a t t -=+
11,24a ⎛⎫∴∈-- ⎪⎝⎭
故选：B
【点睛】
本题主要考查函数与方程、由方程根的个数求参数的取值范围，考查学生运用数形结合思想解决问题的能力，属于中档题.
10．C
解析：C
【解析】
【分析】 根据题意，分析可得()323232a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，对其变形可得326613a b a b b
a ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，由基本不等式分析可得答案． 【详解】
根据题意，正数a ，b 满足321a b +=，
则()32326632131325a b a b a b a b b
a ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当15a
b ==
时等号成立. 即32a b
+的最小值是25． 本题选择C 选项.
【点睛】
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
11．C
解析：C
【解析】
【分析】
由二项展开式的通项公式为()
12r n r r r n T C x -+⎛= ⎝及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得：6n =，令展开式通项中x 的指数为3，即可求得2r ，问题得解．
【详解】
二项展开式的第1r +项的通项公式为()
12r n r r r n T C x -+⎛= ⎝ 由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：12:2:5n n C C =.
解得：6n =.
所以()()3662
16221r
r n r r r r r r n T C x C x ---+⎛==- ⎝
令3632r -=，解得：2r ，
所以3x 的系数为()2262621240C --=
故选C
【点睛】
本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．
12．A
解析：A
【解析】 如图，因为EF∩HG=M，
所以M∈EF，M∈HG，
又EF ⊂平面ABC ，HG ⊂平面ADC ，
故M∈平面ABC ，M∈平面ADC ，
所以M∈平面ABC∩平面ADC=AC. 选A.
点睛：证明点在线上常用方法
先找出两个平面，然后确定点是这两个平面的公共点，再确定直线是这两个平面的交线．
13．B 解析：B
【解析】
【分析】
由已知三边，利用余弦定理可得1cos 2B =
，结合b c <，B 为锐角，可得B ，利用三角形内角和定理即可求A C +的值．
【详解】
在ABC ∆中，5a =，7b =，8c =，
∴由余弦定理可得：2222564491cos 22582
a c
b B a
c +-+-===⨯⨯， b c <，故B 为锐角，可得60B =︒，
18060120A C ∴+=︒-︒=︒，故选B ．
【点睛】
本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用．
14．C
解析：C
【解析】
【分析】
先根据共线关系用基底
AB AC →→，表示AP →，再根据平面向量基本定理得方程组解得实数m 的值.
【详解】
如下图，∵,,B P N 三点共线，∴，∴，即, ∴①,又∵13AN NC =，∴，∴28=99
AP m AB AC m AB AC →→→→→=++②， 对比①，②，由平面向量基本定理可得：．
【点睛】
本题考查向量表示以及平面向量基本定理，考查基本分析求解能力.
15．A
解析：A
【解析】
【分析】
设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，可得345127()a a a a a ++=+，5100S =，求出3a ，根据等差数列的通项公式，得到关于d 关系式，即可求出结论.
【详解】
设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，
依题意可得，15535()51002
a a S a +===， 33451220,7()a a a a a a ∴=++=+，
6037(403)d d ∴+=-，解得556
d =， 1355522033
a a d ∴=-=-
=. 故选:A.
【点睛】 本题以数学文化为背景，考查等差数列的前n 项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.
二、填空题
16．【解析】【分析】【详解】设最大值为考点：解三角形与三角函数化简点评：借助于正弦定理三角形内角和将边长用一内角表示转化为三角函数求最值只需将三角函数化简为的形式
解析：【解析】
【分析】
【详解】
设22sin sin 3AB BC A θθπθ====⎛⎫- ⎪⎝⎭22sin
,3AB πθ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ 2sin BC θ=()222sin 4sin 3
AB BC πθθθϕ⎛⎫∴+=
-+=+ ⎪⎝⎭
，最大值为考点：解三角形与三角函数化简
点评：借助于正弦定理，三角形内角和将边长用一内角表示，转化为三角函数求最值，只需将三角函数化简为()sin cos a b θθθϕ+=+的形式
17．【解析】【分析】发现计算可得结果【详解】因为且则故答案为-2【点睛】本题主要考查函数的性质由函数解析式计算发现是关键属于中档题 解析：2-
【解析】
【分析】
发现(
)()f x f x
2+-=，计算可得结果.
【详解】
因为()()))()22f x f x ln x 1ln x 1ln 122x x +-=+++=+-+=， ()()f a f a 2∴+-=，且()f a 4=，则()f a 2-=-.
故答案为-2
【点睛】
本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现()()f x f x 2+-=是关键，属于中档题.
18．【解析】试题分析：设与直线垂直的直线方程：圆化为圆心坐标因为直线平分圆圆心在直线上所以解得故所求直线方程为考点：1直线与圆的位置关系；2直线的一般式方程与直线的垂直关系【思路点睛】本题是基础题考查直 解析：2y x =
【解析】
试题分析：设与直线20x y +=垂直的直线方程：20x y b -+=，圆
22240x y x y +--=化为()()22
125x y -+-=，圆心坐标()12，．因为直线平分圆，圆心在直线20x y b -+=上，所以21120b ⨯-⨯+=，解得0b =，故所求直线方程为2y x =．
考点：1．直线与圆的位置关系；2．直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【思路点睛】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，直线与直线垂直的方程的设法，据此设出与已知直线垂直的直线方程，利用直线平分圆的方程，求出结果即可． 19．【解析】【分析】【详解】根据已知条件去括号得：
解析：60︒
【解析】
【分析】
【详解】
根据已知条件(2)()2a b a b +⋅-=-，去括号得：222422cos 242a a b b θ+⋅-=+⨯⨯-⨯=-，1cos ,602
θθ︒⇒== 20．【解析】【分析】连接可得出证明出四边形为平行四边形可得可得出异面直线与所成角为或其补角分析的形状即可得出的大小即可得出答案【详解】连接在正方体中所以四边形为平行四边形所以异面直线与所成的角为易知为等 解析：60
【解析】
【分析】
连接1CD ，可得出1//EF CD ，证明出四边形11A BCD 为平行四边形，可得11//A B CD ，可得出异面直线EF 与11A C 所成角为11BA C ∠或其补角，分析11A BC ∆的形状，即可得出11BA C ∠的大小，即可得出答案.
【详解】
连接1CD 、1A B 、1BC ，113
DE DF DD DC ==，1//EF CD ∴， 在正方体1111ABCD A B C D -中，11//A D AD ，//AD BC ，11//A D BC ∴，
所以，四边形11A BCD 为平行四边形，11//A B CD ∴，
所以，异面直线EF 与11A C 所成的角为11BA C ∠.
易知11A BC ∆为等边三角形，1160BA C ∴∠=.
故答案为：60.
【点睛】
本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线法，选择合适的三角形求解，考查计算能力，属于中等题.
21．【解析】分析：利用题设中的等式把的表达式转化成展开后利用基本不等式求得y 的最小值详解：因为所以所以（当且仅当时等号成立）则的最小值是总上所述答案为点睛：该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情 解析：92
【解析】 分析：利用题设中的等式，把y 的表达式转化成14(
)()2a b a b ++，展开后，利用基本不等式求得y 的最小值.
详解：因为2a b +=，所以12
a b +=，所以14145259()()222222
a b b a y a b a b a b +=+=+=++≥+=（当且仅当2b a =时等号成立），则14y a b =+的最小值是92，总上所述，答案为92
. 点睛：该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情况下求其分式形式和的最值的问题，在求解的过程中，注意相乘，之后应用基本不等式求最值即可，在做乘积运算的时候要注意乘1是不变的，如果不是1，要做除法运算.
22．6【解析】【分析】设等比数列{an}的公比q 由于是正项的递增等比数列可得q ＞1由a1+a5=82a2•a4=81=a1a5∴a1a5是一元二次方程x2﹣82x+81=0的两个实数根解得a1a5利用通
解析：6
【解析】
【分析】
设等比数列{a n }的公比q ，由于是正项的递增等比数列，可得q ＞1．由a 1+a 5=82，a 2•a 4=81=a 1a 5，∴a 1，a 5，是一元二次方程x 2﹣82x+81=0的两个实数根，解得a 1，a 5，利用通项公式可得q ，a n ．利用等比数列的求和公式可得数列{2n a }的前n 项和为T n ．代入不等式2019|
13
T n ﹣1|＞1，化简即可得出． 【详解】 数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，a 2•a 4=81=a 1a 5，
即15158281a a a a +=⎧⎨⋅=⎩解得15181
a a =⎧⎨=⎩，则公比3q =，∴13n n a -=， 则2122221333n n T -=++++ 11132311313n n -⎛⎫=⨯=- ⎪⎝⎭
-， ∴12019113n T ->，即1201913
n ⨯>，得32019n <，此时正整数n 的最大值为6. 故答案为6.
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、一元二次方程的解法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
23．【解析】由题意可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成；其中圆柱的底面半径为1母线长为2；体积为；两个半球的半径都为1则两个半球的体积为；则所求几何体的体积为考点：旋转体的组合体
解析：
【解析】
由题意，可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成；其中，圆柱的底面半径为1，母线长为2；体积为；两个半球的半径都为1，则两个半球的体积为；则所求几何体的体积为
.
考点：旋转体的组合体.
24．【解析】【分析】把分子展开化为再利用基本不等式求最值【详解】由得得等号当且仅当即时成立故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时
一定要验证等号是否能够成立 解析：
92
. 【解析】
【分析】 把分子展开化为
(1)(21)2212552x y xy x y xy xy xy xy xy
++++++===+，再利用基本不等式求最值．
【详解】
由24x y +=，得24x y +=≥，得2xy ≤ (1)(21)221255592222
x y xy x y xy xy xy xy xy ++++++===+≥+=， 等号当且仅当2x y =，即2,1x y ==时成立． 故所求的最小值为
92
． 【点睛】
使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立． 25．【解析】试题分析：所以考点：三角恒等变形诱导公式二倍角公式同角三角函数关系【思路点晴】本题主要考查二倍角公式两角和与差的正弦公式题目的已知条件是单倍角并且加了我们考虑它的二倍角的情况即同时求出其正弦
解析：50
【解析】 试题分析：2
47cos(2)213525πα⎛⎫+=⋅-= ⎪⎝⎭，24sin(2)325πα+=，所以sin(2)sin(2)1234π
ππ
αα+=+-
2472252550
⎫=-=⎪⎝⎭. 考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系．
【思路点晴】本题主要考查二倍角公式，两角和与差的正弦公式.题目的已知条件是单倍角，并且加了6π，我们考虑它的二倍角的情况，即247cos(2)213525πα⎛⎫+=⋅-= ⎪⎝⎭
，同时求出其正弦值24sin(2)325πα+=，而要求的角sin(2)sin(2)1234
πππαα+=+-，再利用两角差的正弦公式，就能求出结果.在求解过程中要注意正负号.
三、解答题
26．
（1）（2,4）或（-2，-4） （2）π （3）()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭
【解析】
【分析】
（1）设(,)c x y =，根据条件列方程组解出即可；
（2）令(2)(2)0a b a b +⋅-=求出a b ⋅，代入夹角公式计算；
（3）利用()
0a a b λ+>⋅，且a 与a λb +不同向共线，列不等式求出实数λ的取值范围.
【详解】
解：设(,)c x y =， ∵25c =，且//c a ， ∴222020y x x y -=⎧⎨+=⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩
或24x y =-⎧⎨=-⎩， ∴(2,4)c =或(2,4)c =--；
（2）∵2a b +与2a b -垂直，
∴(2)(2)0a b a b +⋅-=，
即222320a a b b +⋅-=，
∴52a b ⋅=-， ∴52cos 1||||5a b a b θ-⋅===-⋅，
∴a 与b 的夹角为π； （3）a 与a λb +的夹角为锐角
则()
0a a b λ+>⋅，且a 与a λb +不同向共线， ()25(12)0a a a a b b λλλ+==+>∴⋅++⋅， 解得：53
λ>-， 若存在t ，使()
a b a t λ=+，0t > ()()1,21,1(1,2)a b λλλλ+=+=++
则()1,2(1,2)t λλ=++，
122t t t t λλ+=⎧∴⎨+=⎩，解得：10t λ=⎧⎨=⎩
， 所以53
λ>-且0λ≠， 实数λ的取值范围是()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭．
【点睛】
本题考查了平面向量的数量积运算，利用数量积研究夹角，注意夹角为锐角，数量积大于零，但不能同向共线，夹角为钝角，数量积小于零，但不能反向共线，本题是中档题． 27．
（1）3x ＋y ＋2＝0；（2）(x －2)2＋y 2＝8.
【解析】
【分析】
(1) 直线AB 斜率确定，由垂直关系可求得直线AD 斜率，又T 在AD 上，利用点斜式求直线AD 方程；（2）由AD 和AB 的直线方程求得A 点坐标，以M 为圆心，以AM 为半径的圆的方程即为所求.
【详解】
(1)∵AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，∴直线AD 的斜率为－3． 又∵点T (－1,1)在直线AD 上，∴AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)， 即3x ＋y ＋2＝0．
(2)由360320x y x y --=⎧⎨++=⎩,得02x y =⎧⎨=-⎩
, ∴点A 的坐标为(0，－2)，
∵矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)，
∴M 为矩形ABCD 外接圆的圆心，又|AM |= ∴矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．
【点睛】
本题考查两直线的交点，直线的点斜式方程和圆的方程,考查计算能力，属于基础题. 28．
(1)14;(2) 45C =︒.
【解析】
试题分析：（1）先求出ac 的值，再由同角三角函数基本关系式求出sinB ，从而求出三角形的面积即可；（2）根据余弦定理即正弦定理计算即可．
试题解析：（1）∵21AB BC ⋅=- ，21BA BC ⋅= ，
cos arccos 21BA BC BA BC B B ⋅=⋅⋅==
∴35ac = ，∵3cos 5B = ，∴4sin 5B = ，∴114sin 3514225
ABC S ac B ==⨯⨯=
（2）35ac = ，7a = ，∴5c =
由余弦定理得，2222cos 32b a c ac B =+-=
∴b =，由正弦定理：
sin sin c b C B = ，∴4sin sin 5
2c C B b === ∵c b < 且B 为锐角，∴C 一定是锐角，
∴45C =︒
29．
（I ）
1120；（Ⅱ）310
；（Ⅲ）1.1925a ． 【解析】
【分析】 （I ）求出A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”的人数．总事件人数，即可求P （A ）的估计值；
（Ⅱ）求出B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”的人数．然后求P （B ）的估计值；
（Ⅲ）利用人数与保费乘积的和除以总续保人数，可得本年度的平均保费估计值．
【详解】
解：（I ）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．事件A 的人数为：60+50＝110，该险种的200名续保，
P （A ）的估计值为：1101120020
=； （Ⅱ）记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．事件B 的人数为：30+30＝60，P （B ）的估计值为：
60320010=； （Ⅲ）续保人本年度的平均保费估计值为
0.856050 1.2530 1.530 1.7520210200
a a a a a a x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
=1.1925a ． 【点睛】 本题考查样本估计总体的实际应用，考查计算能力．
30．
(1)250x y +-=；(2)30x y -=.
【解析】
试题分析:(1)根据垂直关系得到12
AB k =，过点()13C ，，得到直线方程为：250x y +-=；（2）由中点坐标公式得到()00D ，又因为过点()13C ，故得到中线方程. 解析：
（1）∵()4,2A --，()4,2B ，∴12
AB k =，
∴边AB 上的高所在直线的一般式方程为，即250x y +-=
（2）AB 的中点为D ，∵()4,2A --，()4,2B ∴()00D ，
∴边AB 的中线CD 的斜率为3k =，
∴边AB 上的中线CD 的一般式方程为30x y -=。