萍乡市2016—2017学年度第一学期高三期中考试文科试卷(正)

准考证号 姓名
绝密★启用前 （在此卷上答题无效）
萍乡市2016—2017学年度第一学期高三期中考试
文 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：
1．答卷前，考生务必将自已的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答题无效．
3．考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回．
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
（1）设全集为R ，集合()(){}{}
210,128,x A x x x B x =-+>=<<则()R A B I ð等于 (A) [)1,3- (B)(]0,2 (C)(]1,2
(D)()2,3
（2）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是
(A)x x y 1
+
= (B)x x y 2
12+= (C) x x y +=3 (D) x y tan = （3）已知等比数列{}n a 满足 11353,21,a a a a =++=则357a a a ++= (A)42 (B)21 (C)84 (D) 63
（4）已知,a b 是任意实数，且a b <，则 (A) 22a b < (B) 1
b
a > (C)
log 0b a < (D) 22a b <
（5）若
sin cos 1
sin cos 2αααα-=+，则tan2α的值为
(A)43 (B)43- (C)34 (D)34
-
（6）若向量,a b 为两个非零向量，=a b 且-=+a b a b ，则向量a 与+a b 的夹角为
(A) 6π (B) 4π (C) 3
π (D) 34π
（7）已知函数()y f x =的图象如右图所示，则函数)(x f y =的图像不．可能是
(A) (B) (C) (D)
（8）下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件()()0f x f x -+=和()()2
f x f x π
-=的
函数是
(A) ()sin 2f x x =
(B)()cos2f x x = (C)x x f sin )(= (D) x x f cos )(=
（9）已知数列}{n a 满足：11=a ，且对任意的*,m n ∈N ，都有n m n m a a a +=+，n S 是数列}{n a 的前n 项和，则
5
5
a S = (A)2 (B)3 (C) 4 (D) 5
（10）将函数cos2y x =-图像上的点(,)3
P t π
在水平方向平移()0s s >个单位长度得到点P '，
若P '位于函数sin 2y x =的图像上，则
(A)12
t =， s 的最小值为4π
(B)t =
， s 的最小值为4π
(C)12
t =， s 的最小值为12π
(D) 2
t =
， s 的最小值为12π
(11)南宋数学家杨辉,在《续古摘奇演算法》中，列出了各式各样的纵横图（幻方），纵横图
中每行各数和、每列各数和及两对角线上各数和都相等，文中叙述三阶幻方构造法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”，比法国数学家提出的方法早三百余年.例：三阶纵横图
第一步：九子斜排. 第二步：上下对易，左右相更，四维挺出.
若把从1到25这25个正整数按上法排出五阶纵横图，则五阶纵横图中间行所有数的和为 (A) 15 (B) 25 (C) 45 (D) 65
(12) 已知函数()32133
f x x x x a =--+的图像与x 轴只有一个交点，则实数a 的取值范围是
(A) ()5,9,3⎛⎫
-∞-+∞ ⎪⎝⎭
U
(B) 5,93⎛⎫
- ⎪⎝⎭
(C) (),9-∞ (D)()5,9,3⎛
⎫-∞-+∞ ⎪⎝
⎭U
绝密★启用前
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文 科 数 学
第Ⅱ卷
注意事项：
第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答题无效．
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．
(13)函数()f x =
的定义域为 ． (14)已知ABC ∆的三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2,3sin 4sin a b A C ==，则cos A = .
(15) 已知ABC ∆三边长8,6,10,AB AC BC ===动点P 在平面ABC 内，且24,PB PC ⋅=-uu r uu u r
则PA uu r
的最小值为 .
(16) 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润6万元，每吨乙产品可获得利润4万元.若该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，那么在一个生产周期内该企业可获得最大利润，最大利润是_________万元.
三、解答题：本大题共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)（本小题满分12分）
已知ABC ∆的三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，B 为锐角，且满足sin a A =. （Ⅰ）求B 的值；
sin A C -的取值范围. (18)（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设11n n n n a b S S ++=
，数列{}n b 的前n 项和为n T ,证明:1
2
n T <． (19)（本小题满分12分）
如图，四面体ABCD 中，O 是BD 的中点，CA =CB CD =
BD =，且ABD ∆是以BD 为斜边的等腰直角三角形.
（Ⅰ）求证:BCD AO ⊥平面；
（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； (20)（本小题满分12分）
据统计，一电线零售店某种型号的电线定价为1.5元/m ,该电线日销售情况的扇形统计图如下：
该店规定，若一次购买这款电线长70m 以上（含70m ），则每米价格优惠10%.
（Ⅰ）求日销售优惠次数的频率；
（Ⅱ）作出电线长度日销售次数的频率分布直方图和折线图；
（Ⅲ）若以频率估计概率，销售电线长的区间中值为每次的平均长度.要这款电线日平均销售收入不低于．．．2000元，问每日至少进这款电线多少m (精确到1m )才合理？请说明理由. (21)（本小题满分12分）
已知函数()ln ()x e a
f x a x a x
-=-∈R .
（Ⅰ）当1=a 时，求函数)(x f 的最小值；
（Ⅱ）若函数)(x f 有两个极值点，且极大值小于ln2a ，求实数a 的取值范围.
(22)（本小题满分10分）
已知函数||()||x f x e x a =+-是偶函数
.
(Ⅰ)若不等式()f x λ>恒成立，求实数λ的取值范围； (Ⅱ)求不等式()|1|f x x ≤-的解集.
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文科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题（共60分）：;;.BCADD ACABC DD 二、填空题（共20分）：13．(1,)+∞；14．1
4
-；15．4；16．34． 三、解答题（共70分）
17．（Ⅰ）
由正弦定理得sin sin A B A .……………………………………………………(2分) 因为sin 0A ≠, ……………………………………………………………………………………(3分)
1B =，
即s i n 2
B =.……………………………………………………………………(4分) 又(0,)2
B π∈，则4
B π
=
.…………………………………………………………………………(5分)
（Ⅱ）sin sin()sin()4
C A B A π
=+=+
,…………………………………………………………(6分)
sin sin()4
A C A A A A π
-=-+=
-cos()4
A π
=+.……………（8分）
又3(0,
),4A π∈得(,)44
A ππ
π+∈,………………………………………………………………（10分）
由余弦函数在(,)4
π
π上性质可知，
所以1cos()4A π-<+<………………………………
（12分） 18．（Ⅰ）由已知12n n S a a =-，得1112n n S a a --=-(2)n ≥，
两式相减，1111(2)(2)n n n n S S a a a a ---=---，………………………………………………（2分） 所以，12(2)n n a a n -=≥，………………………………………………………………………（3分）
即数列{}n a 是以2为公比的等比数列，………………………………………………………（4分） 又123,1,a a a + 成等差数列，即：1322(1)a a a ∴+=+，11142(21)a a a ∴+=+，
解得12a =，………………………………………………………………………………………（5分） ∴2n n a =.…………………………………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知122n n S +=-，………………………………………………………………（7分）
∴1112121211
()(22)(22)2222
n n n n n n n n n a b S S +++++++=
==-----，…………………………………（9分） ∴2334451
11111111
(
)()()()2222222222222222n n n T +=-+-+-++-+--------L 1211()2222
n n +++---， ………………………………………………………………………（10分） 即22111
22222
n n T +=-<--.……………………………………………………………………
（12分）
19. （Ⅰ）连结OC .∵BO DO =，AB AD =∴AO BD ⊥.
∵BO DO =，BC CD =∴CO BD ⊥. ……………………………………………………（2分） 设2,BD =则在AOC ∆中，由已知可得1AO =，3CO =，
而2AC =，∴ 222AO CO AC +=，
∴90AOC ∠=︒即.AO OC ⊥ ………………………………………………………………（4分） ∵ BD OC O =I ，∴ C AO B D ⊥平面. ………………………………………………（6分） （Ⅱ）取AC 的中点为M ，BC 的中点为E ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥,AB OE ∥.DC
∴直线OE 与ME 所成的锐角OEM ∠就是异面直线AB 与DC 所成的角.…………………（8分）
设2,BD = 则在OME ∆中，122ME AB =
=
，1
12
OE DC ==， ∵OM 是直角AOC ∆斜边AC 上的中线，∴1
12
OM AC ==.………………………………（10分）
∴2222
cos 2OE ME OM OEM OE ME +-∠==
⋅⋅. ∴异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为2
4
.………………………………………………（12分）
20．（Ⅰ）销售优惠次数的频率为0.250.050.3+＝.……………………………………………（2分）
（Ⅱ）由扇形统计图易得，区间[10,30),[30,50),[50,70),[70,90的频率组距
分别为
0.0050.010.020.01250.0025，，，，. ………………………………………………………………（4分）
作出的频率直方图和折线图如图所示：
（正确作出频率直方图给2分，正确作出折线图给1分，作出了频率直方图最初2分不扣. ………………………………………………………………………………………………………（7分） （Ⅲ）设每日进这款电线为 x m ，日销售次数为a . 每次销售平均收入为
(200.1400.2600.4)1.5(800.251000.05)1.50.9
a a a a a a
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯84.75=元，………（8分）
每次销售电线平均长度为
(200.1400.2600.4)(800.251000.05)
59a a a a a a
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=m ，……………………（9分）
故
84.75
200059
x ≥，
………………………………………………………………………………（10分） 得1392.33x ≥.………………………………………………………………………………………（11分）
故每日进这款电线不少于1393m 才合理. …………………………………………………（12分）
21．（Ⅰ）1
1,()ln (0)x e a f x x x x
-=∴=->Q ，
2
2'
)
1)(1(1)1()(x x e x x e xe x f x x x --=
---=∴，…………………………………………………（1分） 0,x >0)('=∴x f 的解为1x =，………………………………………………………………（2分）
;0)(),1(;0)()1,0(''>+∞∈<∈∴x f x x f x 时，当时，当 ………………………………………（3分）
.),1()1,0()(为增函数为减函数，在在+∞∴x f ………………………………………………（4分）
.1)1()(min -==∴e f x f ………………………………………………………………………
（5分） (Ⅱ）()ln (R)x e a
f x a x a x
-=-∈Q
2
2'
)
1)(()()(x x a e x a x a e xe x f x x x --=---=∴ …………………………………………………（6分）
Q 函数)(x f 有两个极值点, ()0f x '∴=有两个不等正实根.
0,()(1)0x
x e a x >∴--=Q 要有两个不等正根, ()0f x '∴=的两个正根分别为12ln ,1x a x ==，
1a ∴>且a e ≠， ………………………………………………………………………………（8分）
当0ln 1a <<时，即1a e <<时，()f x 在(0,ln ),(1,)a +∞为增函数，在(ln ,1)a 为减函数，
()f x ∴的极大值为ln(ln )ln 2a a a -<,a e < ……………………………………
（10分） 当ln 1a >时，即a e >时，()f x 在(0,1),(ln ,)a +∞为增函数，在(1,ln )a 为减函数，
()f x ∴的极大值为ln2e a a -<,a e ∴>………………………………………………………（11分）
综上：)
(,)a e e ∴∈+∞ …………………………………………………………………（12分）
22．（Ⅰ）||()||x f x e x a =+-是一个偶函数，则
()()f x f x -=，即||||||||x x e x a e x a ++=+-，…………………………………………………（1分）
所以，||||x a x a +=-，从而0a =. ……………………………………………………………（2分） 故||()||x f x e x =+.
当0x ≥时，()x f x e x =+. ()10x f x e '=+>恒成立，即此时为增函数，
由偶函数性质，得0x <时()f x 为减函数，……………………………………………………（3分）
所以，当0x =时()f x 有最小值(0) 1.f =………………………………………………………（4分）
()f x λ>恒成立，则有1λ<.……………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）()|1|f x x ≤-即|||||1|x e x x +≤-.
当1x ≥时,不等式化为1x e ≤-，显然无解. ……………………………………………………（6分）
当01x ≤<时,不等式化为210x e x +-≤，令()21x g x e x =+-，其()20x g x e '=+>恒成立，故此时()g x 为增函数，且(0)0g =，故不等式的解为0x =.……………………………………（8分） 当0x <时,不等式化为1x e ≥，故也无解. ……………………………………………………（9分） 所以，原不等式的解集为{}|0x x =.…………………………………………………………（10分）
命题：曾建强（市教研室） 柳备战（上栗中学） 张国田（萍乡七中） 谢敏强（莲花中学）
彭小奇（湘东中学） 韩远忠（芦溪中学） 黄贤锋（萍乡中学） 李 淼（安源中学） 审核：曾建强。